Использование метода вспомогательных источников в задачах дифракции

Использование метода вспомогательных источников в задачах дифракции

• Введение
• 1. Постановка задачи дифракции и методы её решения
• 1.1 Общая характеристика задач дифракции
• 1.2 Краткие сведения о методах решения задач электродинамики
• 2. Метод вспомогательных источников
• 3. Вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода для двумерной задачи
• 3.1 Постановка задачи и вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода
• 3.2 Интегральные уравнения в случае H — волн
• 3.3 Интегральные уравнения в случае E-волн
• 4. Численное решение интегрального уравнения
• Заключение
• Список использованных источников

Среди различных методов решения задач дифракции наиболее широкий круг получили:

Точные решения

Численные решения

Интегральные решения

Точное решение задачи электромагнитного возбуждения тел аналитическими методами можно получить только в весьма ограниченном числе случаев. При этом жесткие ограничения, накладываемые на конфигурацию тел и свойства их поверхности, не позволяют решить аналитически большинство задач, встречающихся на практике.

Численные решения применяются в резонансной области, т.к. они свободны от ограничений накладываемые на точные решения.

Для использования численных методов в инженерных расчетах желательна разработка достаточно общих вычислительных алгоритмов, позволяющих исследовать широкий класс задач. Современный уровень требований, предъявляемый при проектировании излучающих устройств, требует расчета электромагнитных полей в различных областях пространства с высокой точностью.

Интегральные уравнения являются наиболее подходящим математическим аппаратом с точки зрения универсальности.

Они позволяют подойти с единых позиций к исследованию возбуждения тел, форма поверхности и свойства которых достаточно разнообразны, и получить при этом необходимую точность решения.

Для трехмерной задачи возбуждения тела произвольной конфигурации найти численное решение даже при современном уровне развития вычислительной техники весьма затруднительно. Только в частном случае тела вращения задача упрощается и становится вполне разрешимой.

Для двумерной задачи при произвольной конфигурации тела получить численное решение значительно проще. Двумерные задачи дифракции на идеально проводящих телах могут быть сведены к одномерным интегральным уравнениям второго рода, содержащим интеграл по контуру поперечного сечения тела. Задача возбуждения импедансной поверхности, вдоль которой может распространяться поверхностная волна и сводится к интегральным уравнениям второго рода. Задача при этом сводится к интегральным уравнениям первого рода или интегро-дифференциальным уравнениям.

Метод интегральных уравнений широко применяется и при анализе периодических структур.

В данной работе рассмотрим использование метода вспомогательных источников при выводе интегральных уравнений для плотности поверхностного тока, а также численное решение интегральных уравнений и вывод интегральных уравнений Фредгольма II рода для двумерной задачи.

1. Постановка задачи дифракции и методы её решения

1.1 Общая характеристика задач дифракции

В настоящей пункте рассмотрим внешние граничные задачи электродинамики. Считаем, что в объеме V заданы сторонние токи и заряды (рис. 1.1).

Рис 1.1

Имеется объект V1, ограниченный поверхностью S1, на которой электромагнитное поле удовлетворяет заданным граничным условиям. Поверхность S0 удалена на бесконечность. Среда, заполняющая объем V0, является однородной и изотропной с параметрами еа, ма. Объем V в общем случае может быть расположен на любом расстоянии от объекта V1. Случай, когда объем V расположен в непосредственной близости от поверхности S1 объекта или на самой поверхности, часто встречается в антенной технике. Практический интерес при этом представляет полное поле, являющееся наложением первичного (падающего) поля и вторичного (отраженного или рассеянного объектом V1). Источником электромагнитного поля является вся система, состоящая из стороннего источника и объекта. Целью решения граничной задачи в этом случае может быть, например определение характеристики направленности излучателя и амплитуды напряженности поля при заданных форме поверхности S1 объекта, граничных условиях на S1 и положении стороннего источника.

Случай, когда объем V расположен на большом расстоянии от поверхности S1, встречается в радиолокации. Размеры объекта при этом намного меньше расстояния между антенной и объектом; можно считать, что это расстояние стремится к бесконечности. Значит, на объект падает локально плоское поле. Целью решения граничной задачи в этом случае может быть, например, вычисление амплитуды поля, рассеянного объектом, в той точке наблюдения, где расположена приемная антенна (зонд), вычисление зависимости рассеянного поля от угла (диаграммы рассеяния) при заданных форме объекта, положении стороннего источника (антенны радиолокатора), граничных условиях на S1. Вектор Пойнтинга рассеянного поля в дальней зоне определяет так называемую эффективную площадь рассеяния объекта, которая входит в основное уравнение радиолокации.

Считаем, что первичное (или падающее) поле Еп, Нп, возбуждаемое сторонним источником в неограниченном пространстве в отсутствие объекта V1, и соответствующие векторные потенциалы Аэп, Амп известны. Вторичное поле и соответствующие векторные потенциалы обозначим через Ев, Нв и Аэп, Амп. Полное поле определяется векторными суммами:

Е=Еп+Ев; Н=Нп+Нв; Аэ (м) =Аэ (м) п+Аэ (м) в. (1.1.1)

Для обозначения объекта V1 употребляют следующие термины, применение которых зависит от назначения объекта или его формы: препятствие, переизлучатель, отражатель, рассеиватель, экран, пассивная антенна, поглотитель, радиолокационная цель.

Возбуждаемое сторонним источником электромагнитное поле, распространяясь в пространстве, как бы огибает встречающееся на пути препятствие. Это явление на раннем этапе развития волновой теории получило название дифракции. В настоящее время под явлением дифракции в широком смысле понимается поведение волн в некоторой области, имеющей границу с теми или иными свойствами. Полем дифракции (дифракционным полем) является полное поле Е, Н. К дифракционным задачам относятся задачи о распространении волн в неоднородных направляющих системах, проникновение волн через отверстия в экранах, огибание волнами различных препятствий, проникновение волн через различного рода решетки, явления отражения и поглощения волн препятствиями, возбуждение поверхностных волн, распространение воля в неоднородной атмосфере Земли и др.

Поскольку первичное поле известно, то основной целью при изучении дифракции является определение амплитуды, фазы и поляризации рассеянного или полного поля как функций формы и параметров еа1, ма1 препятствия. Форма и параметры еа1, ма1 практически важных препятствий могут быть разнообразными; накопление информации об их рассеивающих свойствах возможно путем:

1) точных решений в замкнутой форме или численных решений для условий, достаточно строго соответствующих физической модели;

2) аналитических или численных решений для условий, приближенных к реальной физической модели;

3) экспериментальных исследований. Результаты измерений и приближенных решений должны сопоставляться с результатами точных решений. Поэтому точные решения в замкнутой форме могут играть роль эталонных решений, с их помощью можно проверять точность приближенных решений.

Примерами задач, для которых можно получить точные решения, достаточно строго соответствующие физической модели, являются задачи дифракции на плоской поверхности раздела сред, на идеально проводящих бесконечных круговом и эллиптическом цилиндрах, клине, сфере и др.

1.2 Краткие сведения о методах решения задач электродинамики

В том случае, когда граница возбуждаемого тела не совпадает с координатной поверхностью одной из ортогональных систем координат или когда граничные условия являются сложными (например, поверхностное сопротивление в (6.80) есть функция координат), получить строгое решение граничной задачи электродинамики невозможно. Иногда оказывается, что и полученное строгое решение непригодно для проведения вычислений из-за плохой сходимости рядов. Например, если электрический радиус цилиндра ka>? (б=0), то, поскольку количество (N) учитываемых членов ряда

(1.2.1)

должно быть больше ka, N>? и выполнить вычисления с помощью формулы (1.2.1) невозможно.

Возникающие на практике электродинамические задачи чаще всего должны быть решены своевременно (в сжатые сроки) с минимальными экономическими затратами. Получение результатов экспериментальными методами (путем макетирования и измерений) часто сопряжено с большими экономическими затратами и потерей времени. Поэтому если нельзя получить строгое решение, которое можно использовать для анализа и вычислений, то стараются найти решение граничной задачи приближенными методами или получить численные результаты.

В граничной задаче можно выделить характерный линейный максимальный размер l области V для внутренней задачи или области V1, для, внешней задачи (рис. 2.1). Например, для задачи возбуждения цилиндра 1=а.

Подход к построению решения задачи зависит от значения l/л. Различают три характерные области:

1) квазистатическую (релеевскую) область, когда l/л «1,2) квазиоптическую область, когда l/л «1,3) резонансную область, когда l/л ?1.

Если l/л «1 (л велико, щ мало), то решение уравнения Гельмгольца или уравнений Максвелла представляется в виде разложения в ряд по степеням малого параметра l/л. Если в разложении пренебречь всеми членами, имеющими порядок малости l/л, то уравнения Гельмгольца

(1.2.2)

и

(1.2.3)

для скалярного и векторного потенциалов перейдут приближенно в уравнения Пуассона (1.2.4), так как k2цэ>0 и k2Aэ>0 в (1.2.2) и (1.2.3) при л>?. Поскольку значение л хотя и велико, но конечно, при этом приближенное решение электродинамической задачи называют квазистатическим или решением в длинноволновом приближении. Решение уравнений Пуассона и Лапласа проще решения уравнения Гельмгольца. Но не всегда удается аналитически решить и граничную задачу для уравнений Пуассона или Лапласа. Если в разложении в ряд учитывать члены, имеющие порядок малости l/л, (l/л) 2 и т. д., то придем к последовательному решению ряда статических и стационарных задач.

Когда l/л" 1 (л мало, щ велико), то, представив решение уравнений Максвелла или Гельмгольца в виде разложения в ряд по степеням малою параметра l/л (или по степеням параметра 1/kl) и ограничившись нулевым приближением, получим, уравнения геометрической оптики. Поскольку л хотя и мало, но отличается от нуля, приближенные решения задачи называют квазиоптическими или решениями в коротковолновом приближении.

Квазиоптические методы решения граничных задач электродинамики можно разделить на две группы: на асимптотические методы исследования точных решении и эвристические методы, основанные на привлечении различных физических идей. К эвристическим методам относятся лучевые и волновые. Лучевым называют метод геометрической оптики и такие его уточнения, как геометрическая теория дифракции, распространяющая геометрические методы на задачи дифракции, комплексная геометрическая оптика, метод параболического уравнения. Волновые методы включают в себя метод физической оптики и уточняющие его методы, такие как метод краевых волн, позволяющий найти поправку к полю рассеяния, связанную с возможным наличием изломов (ребер) на граничной поверхности.

Квазиоптические методы позволяют решать значительно более широкий класс граничных задач, чем точные методы.

В резонансной области параметр l/л, (или л/l) не является малым и приближенные методы решения задач электродинамики применять трудно. В этой области требуются строгие решения граничных задач. Для построения строгих решений применяются метод интегральных преобразований и метод собственных функций. Схема применения методов состоит в том, что при решении граничной задачи подбирается такая система координат, чтобы граничная поверхность совпала с одной из координатных поверхностей. Затем находятся решения однородного уравнения Гельмгольца при однородном граничном условии. Эти решения при определенных условиях образуют волную ортогональную систему функций. Решение неоднородного уравнения Гeльмгольца при однородных граничных условиях или решение однородного уравнения Гельмгольца при неоднородных граничных условиях ищется в виде разложения в ряды (метод собственных функций) или интегралы (метод интегральных преобразований) по этой системе функций Методы применимы, как уже отмечалось, лишь при простых граничных условиях и простой форме граничной поверхности.

Как в резонансной, так и коротковолновой и длинноволновой областях аналитическое решение граначной задачи строго или приближённо часто не удаётся. В это случае для получения численных результатов могут быть применены методы интегральных уравнений и вариационные методы. Как отмечалось, интегральные уравнения для поверхностного тока, например на идеально проводящей поверхности объекта, могут быть получены на основе интегральных соотношений

(1.2.5)

для векторов напряженности поля. Интегральные уравнения можно составить для тел практически любой формы. Интегральное уравнение включает и граничное условие задачи. Методы решения интегральных уравнений хорошо разработаны. На их основе строятся алгоритмы решения задач на ЭВМ.

Вариационные методы являются численными. Существует ряд модификаций этих методов.

2. Метод вспомогательных источников

Я.П. Фельд и ряд других авторов разработали предложенный А. И. Мандельштамом и М. П. Свешниковой метод вспомогательных источников для строгого решения задач электродинамики. Прежде, чем приступить к изложению метода, приведем вывод леммы Лоренца, на которой основывается метод. Предположим, что нам известно два электромагнитных поля:, и ,. Оба поля удовлетворяют уравнениям

(2.1.1), что позволяет писать

(2.1.2)

Умножим правые и левые части уравнения (2.6) соответственно на, , а затем сложим порознь правые и левые части всех четырех уравнений, причём у двух последних поменяем знаки на обратные. Тогда получим:

(2.1.3)

Учитывая известное из векторного анализа соотношение

(2.1.4)

получаем лемму Лоренца

(2.1.5)

Уравнение (2.1.5) используется для решения задач электродинамики следующим образом. Одно из рассматриваемых полей принимается за искомое, а другое — за вспомогательное. В качестве вспомогательного поля может быть взято любое поле, удовлетворяющее уравнениям (2.1.1). Произвольность вспомогательного поля позволяет выбрать его таким, чтобы исключить из (2.1.5) максимальное число членов и тем самым упростить его. Далее правая и левая части (2.1.5) интегрируются по объему, содержащему все источники электромагнитного поля и точки, в которых определяется поле.

Воспользуемся методом вспомогательных источников для вывода ряда важных соотношении, широко применяемых в теории антенн сверхвысоких частот. Одновременно эти выкладки послужат иллюстрацией метода.

Обратимся к рис. 2.1 Имеем объем Vi, окруженный замкнутой поверхностью S. Эта поверхность, вообще говоря, произвольна и к ней предъявляется лишь требование регулярности. Вне этой поверхности в объеме Va заданы источники — токи плотностью и. Токи должны быть конечны в рассматриваемом объеме. Внешней средой (Va) является воздух с соответствующими параметрами (). Требуется определить поле, в точке М, созданное источниками и, если известны значения поля на поверхности S.

Введение

в рассмотрение поверхности Slсвязано с тем, что внутри поверхности также имеются токи и. Однако они неизвестны. Известными являются значения поля на поверхности S.

Окружим точку М двумя сферами большого R и малого с радиусов с центром в этой точке. Поверхность первой сферы обозначим через у1, а поверхность второй сферы — через у2. Объем внутри последней обозначим через V0.

Далее поместим в точке М вспомогательный источник сначала в виде электрического диполя с моментом, ток которого обозначим через

Рис. 2.1 К выводу основных уравнений теории антенн СВЧ методом вспомогательных источников.

Поле вспомогательного источника, и ток связаны с искомым полем, и токами, соотношением (2.1.5). Проинтегрируем правую и левую части уравнения (2.1.5) по объему. Поскольку из объема интегрирования исключен объем V0, то в оставшейся части. Учитывая теорему Гаусса—Остроградского, получаем:

(2.1.5a)

где n — внутренняя нормаль по отношению объема .

Поверхностный интеграл по у1, при стремлении радиуса R сферы к бесконечности равен нулю. Действительно, обозначив и, получим

(2.1.6)

Поскольку =, а =0 и =0, как скалярные произведения перпендикулярных векторов. Поверхностный интеграл по у2 найдем следующим путём. Проинтегрируем правую и левую части уравнения (2.1.5) но объему V0. Так как в этом объеме =0 и = 0, то получим:

(2.1.7)

В левой части (2.1.7) взят положительный знак, так как означает нормаль, внешнюю к объему V0.

Стягивая объем V0 в точку, можем считать под интегралом в правой части (2.1.7) постоянной величиной и равной, что даёт

(2.1.8)

где — момент тока,

— электрический момент диполя.

Стягивание объема V0 в точку позволяет распространить интеграл в правой части (2.9а) на весь объем Va, поскольку и в точке М не имеют особенностей по условию.

Подставив (2.1.6), (2.1.7) и (2.1.8) в (2.1.5), получаем после простых преобразований

(2.1.9)

Как известно, векторы поля и электрического диполя выражаются через его электрический момент следующим образом:

(2.1.10)

где r — расстояние от точки М до точки интегрировании,

а

Подставим Е, и Н, из (2.1.10) в отдельные слагаемые (2.1.9). При этом будем иметь в виду, что вектор — постоянная величина. Подстановка приводит к следующей цепи преобразований:

а)

б)

Интеграл б) может быть иначе преобразован к следующему виду:

Где — контурный интеграл по границе Г [поверхностей S1 и S2.

— так называемый оператор «набла» .

Поскольку поверхность S принята замкнутой, контурный интеграл =0. При незамкнутой поверхности его необходимо будет учитывать.

в)

Интеграл в) также можно привести к другому виду

г)

Через выше обозначена объемная плотность электрического заряда, связанная с соотношением. Подставив преобразованные выражения в (2.1.9) и исключив в правой и левой частях общий множитель, получаем

(2.1.11)

либо

(2.1.12)

Если теперь в качестве вспомогательного источника в точке М взять магнитный диполь, задавшись его моментом или током, и произвести аналогичные выкладки, то получим для магнитного поля в точке М следующее выражение:

(2.1.13)

либо

(2.1.14)

Здесь под понимаются магнитные заряды, вводимые в рассмотрение по тем же соображениям, по каким вводятся магнитные токи и связанные с последними соотношением Таким образом, методом вспомогательного источника мы получили для произвольной точки М точные значения векторов и, выраженные через объемное распределение электрических и магнитных токов и зарядов, ,, и через векторы поля и на выделенной поверхности S. Формулы (2.1.11) и (2.1.13) как непосредственно, так и преобразованные широко используются ниже для расчета полей излучения. Формулы (2.1.12) и (2.1.14) отличаются тем, что в них поле в точке М выражено только через касательные составляющие электрического и магнитного векторов на поверхности S и только через токи и, в то время как в (2.1.11) и (2.1.13) входят, наряду с ними, нормальные составляющие поля и заряды.

Если в объеме Va отсутствуют токи и и внешнее по отношению к S поле, определяется значением поля на S, то (2.1.11) и (2.1.13) сводятся соответственно к

(2.1.15)

В свою очередь (2.1.12) и (2.1.14) приводятся соответственно к виду

(2.1.16)

Рассматривая замкнутую поверхность, можно положить контурные интегралы в (2.1.15) равными нулю. Тогда получим:

(2.1.17)

В том случае, когда, определяются лишь внешними токами, они равны согласно (2.1.11) и (2.1.13)

(2.1.18)

или, согласно (2.1.12) и (2.1.14)

(2.1.19)

В случае хорошо проводящих металлических поверхностей токи и заряды сосредоточены в чрезвычайно тонком поверхностном слое. В теоретических исследованиях обычно принято считать этот слой бесконечно тонким. Это позволяет перевести интегралы (2.1.18) и (2.1.19) из объемных в поверхностные, и мы получаем:

(2.1.20)

Где, , , — поверхностная плотность токов и зарядов.

Или иначе

(2.1.21)

Полученные формулы (2.1.15) — (2.1.21) используются для расчета электромагнитного поля в объеме Va.

3. Вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода для двумерной задачи

3.1 Постановка задачи и вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода

При современном уровне развития вычислительной техники получить численное решение интегральных уравнений для трехмерных задач в общем случае затруднительно. Поэтому разработка метода численного решения для тел произвольной конфигурации с произвольным поверхностным импедансом будет проведена для двумерных задач, которые сводятся к одномерным скалярным интегральным уравнениям для случаев H — и E — поляризации.

Пусть в неограниченном однородном и изотропном пространстве имеются заданное распределение сторонних токов, занимающее объем Vст, и тело, занимающее объем Vт, ограниченный поверхностью Sт. Требуется найти полное поле в точке наблюдения р (рис. 3.1).

Рис 3.1

Для пространства за исключением объема Vт справедлива лемма Лоренца в дифференциальной форме:

(3.1.1)

Здесь , — векторы искомого поля, создаваемого заданными сторонними токами и, , — векторы поля, создаваемого вспомогательными источниками и. Оба поля монохроматические, одной частоты и удовлетворяют уравнениям Максвелла.

На поверхности Sт могут быть заданы импедансные граничные условия Леонтовича:

(3.1.2)

Где Z — матрица поверхностного импедансе. Если использовать известные соотношения для плотности эквивалентных поверхностных токов то (1.7) запишется в виде

(3.1.3)

В таком виде граничные условия будем использовать в дальнейшем, полагая для простоты Z скалярной величиной. Выделим объем V, ограниченный поверхностью У, причем последняя может располагаться сколь угодно далеко от объемов Vт и Vст и точки р. Проинтегрируем (1.6) по объему V — Vт:

(3.1.4)

Выберем в качестве вспомогательного источника электрический диполь Герца

где р' - переменная точка интегрирования, пробегающая объем V — Vт. Учитывая, что в правой части (3.1.14) сторонние токи отличны от нуля только в объеме Vст, и применив к левой части (3.1.14) теорему Остроградского — Гаусса, получим

(3.1.5)

Составляющие поля на поверхности У, сколь угодно удаленной от источников поля, в соответствии с условиями излучения на бесконечности можно принять равными нулю, тогда в левой часто (3.1.5) останется только интеграл по Sт. Преобразуем в нем подынтегральное выражение с учетом соотношений

;, (3.1.6)

Где и — векторы плотности тока на поверхности Sт. С учётом (3.1.6) получаем

. (3.1.7)

Правая часть в (3.1.7) — это составляющая вектора в точке р в направлении .

Если в качестве вспомогательного источника взять магнитный диполь Герца то в правой части (3.1.7) вместо Еб (р) получим Нб (р), т. е. составляющую вектора в направлении .

Полученное интегральное соотношение для полей (3.1.7), правая часть которого определяется выбором вспомогательного источника, является исходным при получении интегральных уравнений для поверхностного тока. Если точку р устремить к поверхности тела Sт (p>p0), то Нб (р) и Еб (р) при надлежащей ориентации будут численно равны плотности электрического и магнитного поверхностных токов в точке р0. Используем граничные условия (3.1.3) на поверхности Sт, связывающие между собой и, Тогда выражение (3.1.7) превратится в интегральное уравнение для определения или (в дальнейшем и будем называть поверхностными токами, опуская термин «плотность»).

Рассмотрим двумерную задачу, когда сторонние токи, компоненты поля и свойства поверхности Sт не зависят oт одной из координат. Как известно, векторная задача сводится к двум скалярным двумерным задачам для случаев H — и E — волн. Интеграл по Sт в (3.1.7) переходит в интеграл по контуру lт (рис. 3.2, где u1 и u2 — соответственно нормаль и касательная к контуру lт), а интеграл по Vст, — в интеграле по Sст (Sст — площадь сечения объёма, в котором заданы сторонние токи).

Рис 3.2

Будем полагать, что сторонние токи распределены не во всем объёме Vст., а только на ограничивающей его поверхности. Это справедливо для источников типа излучающей апертуры, на которой заданы эквивалентные электрические и магнитные токи, или системы дискретных источников, расположенной на некоторой поверхности. Тогда в (3.1.7) интеграл нужно брать по контуру lст. Таким образом, для двумерной задачи получаем скалярные интегральные уравнения, в которых интегрирование ведётся по контуру, что значительно упрощает их численное решение.

3.2 Интегральные уравнения в случае H — волн

Введём (рис. 3.3.) две системы координат: декартовую (x, y, z) и ортогональную криволинейную (u1, u2, z). Угол между положительными направлениями х и u1 обозначим и (и>0, если угол отсчитывается от х к u1 против часовой стрелки).

Рис. 3.3

В случае H-волн сторонние токи имеют составляющие и поле в любой точке имеет компоненты Hz,,. На контуре lт существуют поверхностные токи и. Импедансное граничное условие на контуре lт имеет вид

(3.2.1)

В зависимости от вида вспомогательного источника можно получить интегральное уравнение для электрического поверхностного тока или для магнитного поверхностного тока .

Пусть вспомогательный источник — нить магнитного тока, расположенная в точке с координатами xp и yp ориентированная в направлении оси z:

(3.2.2)

Вычислим компоненты поля этого источника, воспользовавшись известными соотношениями:

(3.2.3)

В данном случае =0, имеет только одну компоненту

(3.2.4)

Так как под интегралом в (3.2.4) стоит д-функция, то

(3.2.5)

где — двумерная функция Грина для свободного пространства

(3.2.6)

x', y' - координаты точки, в которой определяется поле вспомогательного пространства. Из (3.2.3) и (3.2.4) видно, что имеет только компоненту Hz; компоненты и можно определить из уравнений Максвелла. В результате получим выражение для компонент поля вспомогательного источника, заданного в виде (3.2.2):

(3.2.7)

Вследствие двухмерности (см. п. 3.1) перейдём в (3.1.7) к скалярной задаче и интегрированию по контуру.

Используем соотношение (3.2.1) и заметим, что в правой части (3.1.7) для вспомогательного источника (3.2.2) получим компоненту Hz.

Поменяв в (3.1.7) местами правую и левую части, получим

(3.2.8)

Подставив в (3.2.8) выражение (3.2.7) для поля вспомогательного источника, получим

(3.2.9)

Если в (3.2.9) устремить точку р к контуру тела lт (p-p0), то

И получим интегральное уравнение для тока. При этом необходимо учесть, что при p>p0 производная функции Грина имеет на контуре lт разрыв. Для вычисления этого разрыва используем аналогию с логарифмическим потенциалом двойного слоя.

Исходя из представления функции Грина в виде (3.2.5) и используя для функций Неймана аппроксимацию

где г = 1,781 (постоянная Эйлера), получаем

(3.2.10), (3.2.11)

С учетом (3.2.11) слагаемое, терпящее разрыв в (3.2.9), имеет вид

(3.2.12)

Логарифмический потенциал двойного слоя определяется выражением

(3.2.13)

Дифференцирование по нормали n в (3.2.13) производится в точке интегрирования. Выражения (3.2.12) и (3.2.13) аналогичны, что даст возможность использовать известный результат для вычисления разрыва (3.2.13) на контуре L:

где u 10 — значение интеграла (3.2.13), а с20 — значение плотности с2, взятые на контуре L. Соответственно для (3.2.12) имеем

(3.2.14)

где u10 — значение u1 на контуре lт; и u2 — значения u2 в точке интегрирования и точке определения тока. Выражение (3.2.14) справедливо, если поверхность Sт удовлетворяет некоторым условиям (поверхность Ляпунова):

в каждой точке ST существует касательная плоскость;

для каждой точки р на поверхности S, существует такая окрестность Sp, что всякая прямая, параллельная нормали в точке р, пересекает Sр не более одного раза;

угол г (p, p1), образованный нормалями в соседних точках р и р1, удовлетворяет условию где — расстояние между точками р и p1 и 0<�д?1.

Эти требования накладывают некоторые ограничения на конфигурацию контура lт. Впрочем, для большинства практических задач эти условия выполняются. Если теперь в (3.2.9) перейти к пределу при p>p0 снаружи и воспользоваться соотношением (3.2.14), то получим

(3.2.15)

где u2 и — координаты точки определения тока и переменной точки интегрирования; приводная в левой части вычисляется при u1=u10. Выражение (3.2.15) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода для тока. Получим интегральное уравнение для тока. Вывод его во многом аналогичен проделанному для (3.2.15). Выбираем вспомогательный источник в виде полоски электрических диполей Герца, ориентированных в направлении орта сама полоска направлена по оси z (рис. 1.4):

(3.2.16)

При этом ток имеет компоненты и, и соответственно имеются отличные от нуля две компоненты потенциала

(3.2.17)

Подставляя (3.2.17) в (1.15), определим компоненты поля вспомогательного источника в системе координат x, y, z:

(3.2.18)

Перейдём от (3.2.18) к выражениям для компонент поля в системе координат u1, u2, z и учтём, что нам понадобится только компонента. Используем соотношения

(3.2.19)

Где индекс p указывает на дифференцирование по точке расположения вспомогательного источника. Учтём также, что

В результате получим

(3.2.20)

Учтя (3.2.19), выражение в фигурных скобках можно представить как вторую производную функции Грина Тогда получим окончательное выражение для компонент поля вспомогательного источника, заданного в виде (3.2.16).

(3.2.21)

Из (3.1.7) подобно тому, как это сделано при выводе (3.2.8), и учитывая, что в правой части (3.1.7) будет стоять компонента, получим

(3.2.22)

Подставив в (3.2.22) выражения (3.2.21) для компонент поля вспомогательного источника, получим

(3.2.23)

Если теперь устремим точку наблюдения к контуру тела lт (p>p0) и учтем, что-то выражение (3.2.23) перейдет в интегральное уравнение для магнитного поверхностного тока. При этом также необходимо учесть, что производная функции Грина имеет на контуре lт разрыв. Поскольку в (3.2.23) в отличие от (3.2.9) дифференцирование производится по точке расположения вспомогательного источника, аналогия с выражением (3.2.13) здесь неприменима. Для вычисления разрыва воспользуемся аналогией с нормальной производной логарифмического потенциала простого слоя.

Нормальная производная логарифмического потенциала простого слоя определяется выражением

(3.2.24)

здесь индекс 0 означает дифференцирование по точке определения тока (p0). Слагаемое, терпящее разрыв в (3.2.23) с учетом аппроксимация (3.2.11) аналогично (3.2.24), что возможность использовать известный результат вычисления разрыва (3.2.24) м контуре L:

(3.2.25)

В правой части (3.2.25) значения интеграла и плотности с1 берутся на контуре L. Аналогично для слагаемого, терпящего разрыв в (3.2.23), имеем

(3.2.26)

Все обозначения в (3.2.26) те же, что и в (3.2.14); (3.2.26) справедливо при тех же требованиях к поверхности Sт, что и (3.2.14). Если теперь в (3.2.23) перейти к пределу при p>p0 и учесть (3.2.26), то получим

(3.2.27)

Выражение (3.2.27) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода для тока, все обозначения здесь те же, что и в (3.2.15). Из сравнения. (3.2.15) и. (3.2.27) видно, что в (3.2.15) ядро более простое, чем в (3.2.27). При =0 ядро в (3.2.15) значительно упрощается, а в (3.2.27) обращается в бесконечность. При совпадении точек интегрирования и определения тока ядро в (3.2.15) имеет логарифмическую особенность, а в (3.2.27) — более сильную особенность.

3.3 Интегральные уравнения в случае E-волн

В случае Е-волн сторонние тони имеют составляющие и, поле в любой точке имеет компоненты Ez,,. На контуре lт существуют поверхностные токи и. Импедансное граничное условие на контуре lт имеет вид

(3.3.1)

Для E-волн, также как и для H-волн, в зависимости от вида вспомогательного источника можно получить интегральное уравнение для электрического поверхностного тока или для магнитного поверхностного тока .

Кратко рассмотрим вывод интегрального уравнения для электрического поверхностного тока.

Рис. 3.4

Выберем вспомогательный источник в виде полоски магнитных диполей Герца, ориентированных в направлении орта сама полоска направлена по оси z (см. рис. 3.4):

(3.3.2)

Мы уже находили поле источника такого вида в случае электрических диполей Герца. Воспользовавшись принципом перестановочной двойственности уравнений Максвелла, вместо (3.2.21) получим

(3.3.3)

Все обозначения здесь такие же, как и в (1.33). При выборе вспомогательного источника в виде (3.3.2) с учетом соотношения (3.3.1) из исходного выражения (3.1.7) получаем

(3.3.4)

Далее, если устремить, как это сделано при выводе (3.2.15) и (3.2.27), точку наблюдения к контуру lт и учесть, что производная имеет на lт разрыв, аналогичный (3.2.26), то получим

(3.3.5)

Получили интегральное уравнение Фредгольма второго рода для. Все обозначения здесь такие же, как и в (3.2.15), производная — в левой части (3.3.5) вычисляется при u1=u10. Ядро уравнения (3.3.5) имеет при совпадении точек интегрирования и определения тока особенность, аналогичную (3.2.27).

Видно, что для одной и той же задачи можно получить различные интегральные уравнения. В случае Н-волн, кроме уравнения (3.2.15) для тока, получили уравнение (3.2.27) для тока. В случае E-вол и, кроме уравнения (3.3.5) для тока, можно получить уравнение для тока. Для того, чтобы определить, какое из уравнений лучше попользовать, рекомендуется руководствоваться следующим:

для численного решения выгоднее взять уравнение с более простым ядром. Так в (3.2.15) ядро значительно проще, чем в (3.2.27);

нужно учитывать возможные значения импеданса Z (u2) на контуре lт. При Z (u2) =0 ядро уравнения (3.2.15) значительно упрощается, оставаясь конечным, а ядро уравнения (3.2.27) обращается в бесконечность.

Поскольку мы стремимся разработать достаточно универсальную математическую модель, пригодную для любых значений Z (u2), то для численного решения выбираем уравнения (3.2.15) и (3.3.5) для электрического поверхностного тока.

Заметим, что ядра уравнений (3.2.27) и (144) содержат слагаемые вида, из-за чего ядро имеет сильную особенность, и численное решение данных уравнений затруднительно.

4. Численное решение интегрального уравнения

Здесь остановимся на методах решения уравнений Фредгольма второго рода, полученных в разделе 4, причем подробно рассмотрим только один из методов, используемый в дальнейшем в разработанном алгоритме.

Уравнения

(4.1.1)

и

(4.1.2)

это линейные неоднородные уравнения Фредгольма второго рода. Ядро K (x, s) такого уравнения непрерывно или имеет разрывы, при этом выполняется условно

Если интеграл при любом x из интервала х [a, b] сходится абсолютно, то имеем уравнение со слабой особенностью, если он сходится только в смысле главного значения, то уравнение носит название сингулярного.

Методы численного решения уравнения (4) можно разделить на две группы: с использованием квадратурных формул и вариационные.

В основе квадратурных методов лежит замена интеграла в (4) суммой в соответствии с какой — либо квадратурной формулой (прямоугольников, трапеций, Симпсона). Рассмотрим уравнение (4) в ряде фиксированных точек x=xi (i=1,2,…, n) и заменим интеграл суммой

(4.1.3)

Здесь — коэффициенты, не зависящие от подынтегральной функции, — ошибка замены интеграла суммой. После отбрасывания малой величины для отыскания приближенных значений решения у (x) в узлах x1, x2,…, xn получается линейная система алгебраических уравнений

(4.1.4)

i=1,2,…, n

где; fi=f (xi). Решение системы (4.1.4) даёт значение y1, y2,…yn, по которым путем интерполяции находится приближённое решение уравнения на всём отрезке [a, b]. При этом за приближенное решение можно принять функцию, полученную из таблицы значений yi линейной интерполяцией. За аналитическое выражение приближенного решения уравнения принимается функция

(4.1.5)

Отметим некоторые особенности применения квадратурных формул. Точность результатов существенно зависит от гладкости ядра и свободного члена. При выборе квадратурной формулы необходимо учитывать, что чем более точную формулу предполагается применить, тем большие требования предъявляются к гладкости ядра, правой части и решения. В некоторых случаях целесообразно предварительно преобразовать исходное уравнение с целью получения более точного приближенного решения. Так, можно вместо y (x) ввести новую неизвестную функцию Z (x) =y (x) — f (x), использование которой в исходном уравнении позволяет перейти к уравнению

(4.1.6)

Этот приём можно использовать, если заранее известно, что решение интегрального уравнения осциллирует вокруг значения f (x).

Вариационные методы основаны на представлении приближённого решения функцией определенного вида

(4.1.7)

зависящей от свободных параметров сi (i=1,2,…, n). Определение свободных параметров основано на использовании выражения для невязки

(4.1.8)

где U — оператор, получающейся в результате переноса всех членов интегрального уравнения в одну сторону. Так для уравнения

(4.1.9)

Подстановка в (4.1.9) функции Ф (х, сi) вместо y (x) представляет собой переход к соотношению (4.1.8), откуда уже в процессе решения определяется такая совокупность свободных параметров сi (i=1,2,…, n), которая делает невязку малой в каком-либо смысле. Чаше всего наиболее удобно приближенное решение представлять в виде функции, линейно зависящей от параметров ci, например, в виде выражения

(4.1.10)

в котором цi (x) (i=1,2,…, n) — известные линейно-независимые функции, называемые координатными (базисными) функциями. В зависимости от способов представления приближенного решения и определения свободных параметров различают те или иные методы численного решения (наименьших квадратов, Бубнова — Галеркина, коллокаций).

Исходя из имеющегося опыта и учтя изложенное выше, при выборе алгоритма численного решения уравнений (4.1.1) и (4.1.2) нужно руководствоваться следующим:

Вариационные методы при надлежащем выборе базисных и проекционных функции для конкретных задач могут быть более эффективными, чем квадратурные. Использование вариационных методов требует, как правило, вычисления большого числа сложных квадратур.

Квадратурные методы более универсальны, поскольку не требуют предварительного выбора базисных и проекционных функций.

Исходя из универсальности разрабатываемого алгоритма, выберем один из квадратурных методов. При выборе формулы для замены интеграла суммой и шага точек xi в (4.1.3) приходится идти на компромисс между желанием получить более точное решение и возможностями используемых ЭВМ. При этом следует учитывать:

1) Увеличения точности решения можно добиться увеличением числа точек xi и порядка N система алгебраических уравнений. При этом помимо увеличения требований к оперативной памяти ЭВМ растёт (пропорционально N3) и время, необходимое для решения.

2) Точность решения при том же N можно увеличить применением более точных квадратурных формул, что также несколько увеличивает время счета.

В для уравнений с логарифмической особенностью в ядре, что характерно для уравнений (4.1.1) в (4.1.2), исследовано влияние различного вида аппроксимаций подынтегральной функции на точность решения, время счета и устойчивость полученного решения применительно к некоторым характерным задачам электродинамики. Сделан вывод, что наиболее предпочтительной является кусочно-постоянная аппроксимация благодаря простоте алгоритма и наименьшему времени счета. Вывод справедлив для ошибки решения (1−5) %, которой соответствует шаг между узлами интерполяции (0,08−0,2) л. Преимущества более точной аппроксимации сказывается при меньшем шаге.

Исходя из изложенного, выбираем кусочно-постоянную аппроксимацию подынтегральной функции и для решения применим метод Крылова-Боголюбова. Запишем уравнения (4.1.1) и (4.1.2) в виде

(4.1.11)

Разобьём контур интегрирования lt на N интервалов величиной, полагая в пределах каждого интервала ток постоянным.

Тогда (4.1.11) приближенно сводится к системе N линейных алгебраических уравнений

(4.1.12)

p=1,2,…, N

где индексы р и q имеют nочки определения тока и интегрирования, а

(4.1.13)

Интеграл в (4.1.13) вычисляем по формуле прямоугольников. В результате система (4.1.12) запишется в виде

(4.1.14)

В (4.1.14) I1… IN — поверхностные токи, f1… fN — правые части уравнения в точках p=1…N, а Spq (p=1…N, q=1…N) — коэффициенты системы уравнений. Система (4.1.14) может быть записана в матричной форме

MI=f, (4.1.15),

где I — вектор-столбец неизвестных токов, f — вектор-столбец правых частей, M — матрица коэффициентов. Системы (4.1.14) и (4.1.15) решаются с помощью ЭВМ.

Коэффициенты системы и правые части в (4.1.14) имеют определенный физический смысл. Правые части — это ток в точке р, наводимый под действием только сторонних токов (приближение физической оптики). Коэффициент Spq учитывает влияние тока в точке q на ток, определяемый в точке р.

Для решения систем (4.1.14) и (4.1.15) можно использовать стандартные методы (метод Гаусса или метод решения путем умножения обращённой матрицы коэффициентов на вектор-столбец правых частей). Последний, способ требует больше машинного времени, но имеет преимущество при исследовании возбуждения одной и той же системы тел различными источниками. В атом случае коэффициенты Spq, зависящие от геометрии тел и граничных условий, не изменяются, и один раз обратив матрицу коэффициентов решение для различных правых частей получаем умножением обращенной матрицы на соответствующий вектор-столбец правых частей.

Заключение

В данной работе мы рассмотрели использование метода вспомогательных источников при выводе интегральных уравнений для плотности поверхностного тока, постановку задачи дифракции и методы её решения, метод вспомогательных источников, вывод интегрального уравнения Фредгольма II рода для двумерной задачи, интегральные уравнения в случае H — волн и в случае E — волн и численное решение интегральных уравнений.

Список использованных источников

1. Э. М. Инспекторов. Численный анализ Электромагнитного возбудителя проводящих тел. Минск, «Университетское», 1987 г., 120 стр. Глава 1.

2. А. З. Фрацин. Антенны сверхвысоких частот М., «Сов. радио», 1957 г., 648 стр. стр.50−61

3. Г. Т. Марков, Б. М. Петров, Г. П. Грудинская. Электродинамика и распространение радиоволн. М., «Сов. радио», 1979 г., 376 стр. разделы 6.1, 6.9, 6.13

4. Э. М. Инспекторов. Численное решение электродинамических задач. Минск, 1988 г., 16 стр.