Изолированные особые точки однозначной функции

Ряд Лорана

Разложение аналитической функции в ряд Лорана.

Пусть f (z) есть функция, голоморфная внутри кругового кольца, граница, которого состоит из двух окружностей Кикс общим центром в точке а. Обозначим радиусы этих окружностей соответственно че-.

рез R и г (фиг. 86). Мы образуем ряд, расположенный по положительным и отрицательным степеням z— а, который сходится к функции / (z) в каждой точке z, лежащей внутри кольца, т. е. при условии: z — а|=р<^/?. С этой целью выберем два радиуса.

Фиг. 86.

г' и R' так, чтобы: r<^r' < р <^R и обозначим через с и С окружности этих радиусов с центром в точке а (фиг. 86).

Согласно условию функция f (z) будет голоморфной в кольце между этими окружностями, включая и сами окружности с и С. Применяя формулу Коши (гл. IV, § 3, п. 2), получаем:

где пути интегрирования С и с проходятся оба в положительном направлении. Замечая, что в первом интеграле формулы (1) С обозначает точку окружности С, имеем:

Полученный ряд (2) сходится равномерно для всех точек С на окружности С, потому что имеем:

(ср. гл. V, § 2, п. 2).

Во втором интеграле формулы (1) С обозначает точку окружности с; заметив, что имеем:

получаем ряд (3), равномерно сходящийся для всех точек С на окружности с_} так как

Подставляя разложения (2) и (3) в интегралы формулы (1) и выполняя почленное интегрирование, что возможно сделать вследствие равномерной сходимости относительно С, получим:

Полагая ради сокращения письма: перепишем равенство (4) в виде:

Формулы (5) и (6) для с_п и Ь_п можно объединить в виде одной формулы:

где контур интегрирования у есть произвольная окружность с центром в точке а> лежащая внутри данного кольца.

В самом деле, так как подинтегральные функции формул (5) и (6) суть голоморфные всюду внутри данного кольца, то, не изменяя значений с_п и Ь_п, мы можем принять в них за путь интегрирорования любую окружность у с центром в точке а, лежащую внутри этого кольца; с другой стороны, имеем: ^.

Отсюда, в частности, следует, что коэффициенты с_п, определяемые формулой (7), не зависят от точки г, так как под у мы вправе понимать любую окружность с центром в точке а, лежащую внутри данного кольца.

Разложение (4') на основании введённых обозначений мы можем записать так:

или г.

Таким образом, мы получили изображение функции f (z), справедливое для всех точек z, лежащих внутри данного кольца, посредством ряда (4*) состоящего из двух частей: первая его часть, 00.

2c_n(z — а)^п, есть ряд, расположенный по возрастающим степенно ням z — а (степенной ряд относительно z — а); вторая часть, 00.

2 ^сп (² — ^а)^я> представляет ряд, расположенный по убывающим от- «=—1.

рицатепьным степеням z — а^{степенной} ряд относительно j•.

Оба эти ряда сходятся в каждой точке z, лежащей внутри данного кольца. Ряд (4″) носит название ряда Лорана.