Крутильные колебания

• 1. Крутильные колебания
• 1.1 Крутильные колебания двухмассовой системы
• 2. Приведение многомассовой системы к линейной схеме
• 2.1 Определение расчетных моментов инерции и податливостей
• 3. Ступенчатая расчетная схема привода
• 4. Линейная расчетная схема
• 5. Упрощенная двухмассовая расчетная схема
• 5.1 Определение частоты возмущающей силы
• 5.2 Определение частоты возмущающей силы ременной передачи
• 6. Определение частоты возмущающей силы подшипников качения
• 6.1 Определение частоты возмущающей силы резания
• Литература

1. Крутильные колебания

1.1 Крутильные колебания двухмассовой системы

Сложные схемы конструкций коробок скоростей и коробок подач при расчетах динамических характеристик приводятся к более простым двухмассовым или трехмассовым системам.

Примером простейшей двухмассовой системы может служить гладкий цилиндрический вал с двумя дисками на противоположных концах.

Рис.1. Расчетная схема для определения крутильных колебаний

Диски диаметром D_{1, D2 и массой т1, т2 имеют моменты инерции масс J1=m1 (D1) ²/8 и J2=m2 (D2) ²/8 относительно оси вращения. Диски закреплены на концах вала длиной L, имеющим коэффициент крутильной жесткости с=GIp/L, где G - модуль упругости второго рода материала вала, Jp — полярный момент инерции сечения вала. Первоначально вал с дисками был закручен на некоторый угол. В результате закручивания к дискам приложены разнонаправленные упругие моменты М1 и М2.}

По длине вала имеется некоторое промежуточное сечение А, называемое узлом колебаний, которое не принимает участия в колебаниях, т. е. это сечение не смещается относительно исходного состояния и расположено на расстояниях l_{1 и l2 от соответствующих дисков. Таким образом, первый диск закрутится относительно сечения А на угол 1, а второй диск в противоположную сторону на угол 2, так что =1+2. Если пренебречь трением в подшипниках вала, можно записать уравнения колебаний каждого диска относительно сечения А.}

где — коэффициенты крутильной жесткости соответствующих участков вала l₁ и l₂;

— полярные моменты инерции сечения соответствующих участков вала.

Так как упругие моменты равны между собой (М_{1=М2) и вал имеет постоянный диаметр по всей длине, то}

с₁₁=с₂₂;

Если крутильные колебания происходят по синусоидальному закону с амплитудами угловых перемещений Ф₁ и Ф₂, уравнения изменения углов закручивания дисков во времени будет иметь вид

₁=Ф₁sin (щ₀₁t+₀₁); ₂=Ф₂sin (щ₀₂t+₀₂).

гдещ₀₁, щ₀₂, ₀₁, ₀₂ - частоты собственных колебаний и начальные углы.

Так как колебания дисков относительно сечения А происходят с одинаковой частотой, то щ₀₁= щ₀₂= щ₀ и ₀₁=₀₂=₀. Продифференцировав два раза последние уравнения и подставив значение второй производной угла закручивания в уравнение упругих моментов получим

или Ф₁*J₁ = - Ф₂*J₂.

Знак «-» показывает, что угловые амплитуды направлены при крутильных колебаниях в противоположные стороны. Из уравнения видно, что угловая амплитуда диска с большим моментом инерции меньше.

Аналогично можно получить зависимость положения узла колебаний — сечения А от моментов инерции дисков

или l₁*J₁ = l₂*J₂.

Уравнение показывает, что узел колебаний находится ближе к тому диску, момент инерции которого больше. При бесконечно большом моменте инерции одного диска возникает частный случай — заделка вала в массивную стенку. Узел колебаний находится в месте заделки.

Угловая частота щ₀, рад/с, собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор

.

Частота собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор f₀, Гц

f₀ = щ₀ / (2р).

Частота собственных крутильных колебаний растет при уменьшении длины и увеличении диаметра вала, а также при уменьшении момента инерции любого диска.

2. Приведение многомассовой системы к линейной схеме

2.1 Определение расчетных моментов инерции и податливостей

При проектировании и исследовании станков определяют частоты собственных колебаний приводов, максимальные динамические нагрузки при переходных процессах и частоты вынуждающих колебаний в установившемся процессе, чтобы знать область резонансных частот.

Любая реальная конструкция станка состоит из многозвенных узлов, имеющий до 15−20 степеней свободы, каждый узел представляет из себя динамическую систему с распределенными по длине валов массами конструктивных элементов. Все параметры системы — массы деталей, жесткости деталей и стыков, величины демпфирования — конструктор не задает, а получает в результате решения технических задач при проектировании станка. Колебательная система имеет столько различных частот собственных колебаний, сколько у нее степеней свободы. Расчет многокомпонентных систем со многими степенями свободы весьма затруднен и такую систему стараются заменить эквивалентной системой с одной степенью свободы. Действительная кинематическая схема привода заменяется линейной расчетной схемой.

Для примера приведения кинематической схемы привода в линейную расчетную схему можно рассмотреть простейшую конструкцию привода главного вращательного движения станка, состоящего из двигателя 1, ременной передачи (шкивы 2,3), двухдиапазонной коробки скоростей (валы I-V, зубчатые блоки 4,5) и зажимного приспособления 6.

Рис.2. Кинематическая схема привода главного движения

Все элементы привода — ротор электродвигателя, шкивы, зубчатые блоки и зажимной патрон рассматриваются как сосредоточенные массы с моментами инерции J_1,…,J6.

Моменты инерции массы деталей привода рассчитываются или принимаются по справочным данным. Для вычисления моментов инерции сплошных деталей вращения ступенчатого или фасонного профиля такую деталь условно разбивают на участки постоянного диаметра и определяют момент инерции детали как сумму участков постоянного диаметра.

(или, если задан маховый момент GD²)

гдеD — диаметр цилиндрического участка, м;

D — длина цилиндрического участка, м;

— плотность материала детали, кг/м³;

т — масса детали, кг.

Моменты инерции масс валов (участков валов J_{I, JII,…,JV, прилегающих к сосредоточенным массам) приводят к моментам инерции сосредоточенных масс путем определения расчетных моментов инерции масс Jp по формуле:}

J_p = J_c + J_в,

гдеJ_c - момент инерции сосредоточенной массы;

J_в — момент инерции вала, на котором закреплена сосредоточенная масса;

= 1/6 — коэффициент приведения для данного примера.

Для рассматриваемой схемы имеем:

J_p1 = J₁ + 1/6J_I;

J_p2 = J₂ + 1/6J_I;

J_p3 = J₃ + 1/6J_II;

J_p4 = J₄ + 1/6 (J_II + J_III);

J_p5 = J₅ + 1/6 (J_IV + J_V);

J_p6 = J₆ + 1/6 J_V.

Податливости отдельных элементов и податливости стыков между ними определяют взаимовлияние элементов привода и включаются в расчетную схему. Для привода вращательного движения рассчитываются крутильные податливости (^рад/_Н*м) отдельных элементов привода и стыков между элементами. Крутильная (или угловая) податливость е — это угол, на который закручивается данный участок под действием единичного крутящего момента.

1. Крутильная податливость асинхронного электродвигателя, ^рад/_Н*м

гдеn — количество пар полюсов электродвигателя;

М_кр — критический (пусковой) момент двигателя.

2. Податливость на кручение валов определяется в зависимости от вида вала.

2.1 Крутильная податливость гладкого цилиндрического вала, ^рад/_Н*м

Где G — модуль сдвига;

D - диаметр вала;

l - длина вала;

— полярный момент инерции.

2.2 Крутильная податливость шпоночного вала, ^рад/_Н*м

гдеh — глубина шпоночного паза; k=0,5 — для одного шпоночного паза на валу, k=1,2 — для двух диаметрально расположенных шпоночных пазов.

При шпоночном соединении деталей на валу расчетную длину вала на кручение l можно принимать равной расстоянию между серединами работающих ступиц.

2.3 Крутильная податливость шлицевого вала, ^рад/_Н*м

гдеd — внутренний диаметр шлицевого вала.

Так как крутящий момент распределяется по длине контакта в шлицевом соединении вал-ступица неравномерно, то расчетную длину вала l следует принимать равной

l = l₀ + 0,3 (l₁ + l₂),

гдеl₀ — расстояние между торцами ступиц;

l₁, l_{2 -} длина первой и второй ступицы.

3. Крутильная податливость (^рад/_Н*м) стыков шпоночных и шлицевых соединений вал-ступица суммируется с податливостью валов на кручение

гдеd = D, - для шпоночного соединения, d = d_ср — для шлицевого соединения; l — расчетная длина соединения; h — высота шпонки или шлица;

z — число шпонок или шлицев; k_ш = 6,4*10^-12 м³/Н — коэффициент для соединения с призматической шпонкой; k_ш = 13,6*10^-12 м³/Н — коэффициент для соединения с сегментной шпонкой; k_ш = 4,0*10^-12 м³/Н — коэффициент для шлицевого соединения.

4. Крутильная податливость (^рад/_Н*м) упругих втулочно-пальцевых муфт суммируется с податливостью валов на кручение

гдеК_дин = 1,5…4,0 — динамический коэффициент, зависит от типа каучука, твердости и состава резины, амплитуды колебаний;

HS = 25…100 — твердость резины по Шору;

d_max — наибольший диаметр соединенных валов.

5. Податливость зубчатой передачи определяется изгибными и контактными деформациями зубьев. Податливость зубчатой передачи приводится к крутильной податливости и суммируется с изгибной податливостью валов от действия радиальной силы зубчатой передачи. Изгибная податливость валов также приводится к крутильной податливости.

где е_{п. з. -} приведенная крутильная податливость зубчатых колес, ^рад/_Н*м;

е_{изг. -} приведенная к крутильной изгибная податливость валов под действием сил зубчатой передачи, ^рад/_Н*м.

Приведенная к одному из валов крутильная податливость зубчатой передачи

где k_з — упругая деформация пары зубьев при действии единичного нормального давления, приложенного на единицу ширины зуба. Для прямозубых колес k_з = 6,0*10^-11 м²/Н;

Для косозубых колес k_з = 3,6*10^-11 м²/Н;

b — рабочая ширина колеса, м;

R - радиус начальной окружности колеса, к которому приводится податливость зубчатой передачи, м;

— угол зацепления.

Передача вращения через зубчатые колеса сопровождается изгибом валов и упругой деформацией опор валов, что приводит взаимному перемещению зубчатых колес, которые находятся в зацеплении, на величину и к дополнительному взаимному повороту колес на угол .

Угол дополнительного поворота зубчатых колес, рад:

гдеТ — тангенциальная составляющая взаимного перемещения зубчатых колес от нагрузки, м;

R — радиальная составляющая взаимного перемещения зубчатых колес от нагрузки, м;

R_i — радиус начальной окружности зубчатого колеса Z₁, к валу которого приводится податливость, м;

, — угол зацепления зубчатой передачи и угол трения материала пары колес Z₁ и Z₂.

Рис.3. Податливость пары зубчатых колес

Приведенная к крутильной изгибная податливость валов под действием сил зубчатой передачи, ^рад/_Н*м

гдеМ_к — передаваемый зубчатым колесом крутящий момент, Н*м.

Таким образом эквивалентная крутильная податливость валов и зубчатой передачи

6. Податливость ременной передачи определяется деформациями ремня под действием окружной силы. Так как ремни обычно надеваются на шкивы с предварительным натяжением, то окружная сила воспринимается обеими ветвями ременной передачи. Однако, при больших передаваемых нагрузках, которые превышают двойную величину силы предварительного натяжения, вся нагрузка воспринимается одной ветвью передачи.

Приведенная крутильная податливость ременной передачи, ^рад/_Н*м

где k — коэффициент влияния предварительного натяжения.

k = 2 — для клиноременных передач при нормальной эксплуатации Р<2P₀;

k = 1 — при больших передаваемых нагрузках, которые превышают двойную величину силы предварительного натяжения Р>2P₀;

k = 1,5 — при больших передаваемых нагрузках, которые не превышают двойную величину силы предварительного натяжения и при колебаниях нагрузки;

R — радиус шкива, к валу которого приводится податливость, м;

F — площадь поперечного сечения ремня, м²;

,

гдеА₀ — межосевое расстояние передачи;

R₁, R₂ — радиусы шкивов, м;

V - окружная скорость ремня, м/сек;

Е - модуль упругости ремня, Н/м^2,для клиновых ремней Е = (2…6) *10⁸ Н/м²;

для поликлиновых ремней Е = (6…8) *10⁸ Н/м²;

для зубчатых ремней Е = (60…350) *10⁸ Н/м²_.

3. Ступенчатая расчетная схема привода

На первом этапе упрощения расчетной схемы составляется так называемая «ступенчатая» расчетная схема. Для этого кинематическая схема условно разбивается на отдельные участки. Все элементы такого участка вращаются с одной угловой скоростью.

Для определения приведенных податливостей все крутильные податливости каждого участка, детали которого вращаются с одной скоростью, суммируют с податливостью стыков, прилегающих к расчетным моментам инерции данного участка.

Для нашего примера.

Первый участок: электродвигатель 1, вал I и шкив 2 вращаются с одной частотой.

Податливость участка от двигателя до шкива 2

е₁₂ = е_{э. д. а.} + е_{к. в.} + е_шп.,

где е_{э. д. а. -} крутильная податливость электромагнитного сопряжения статор-ротор асинхронного двигателя;

е_{к. в. -} крутильная податливость первого вала;

е_{шп. -} крутильная податливость шпоночного соединения.

Податливость участка между шкивами 2 и 3

₂₃ = е_{р. п.,}

гдее_{р. п. -} крутильная податливость ременной передачи;

Второй участок: шкив 3, вал II и зубчатый блок 4 вращаются совместно.

Податливость участка от шкива 3 до зубчатого блока 4

е₃₄ = е_шп. + е_{шл. в.} + е_шл.,

где е_{шп. -} крутильная податливость шпоночного соединения шкива;

е_{шл. в. -} крутильная податливость шлицевого вала;

е_{шп. -} крутильная податливость шлицевого соединения зубчатого блока с валом.

Податливость участка от зубчатого блока 4 до зубчатого блока 5

е₄₅ = е_экв. = е_{п. з.} + е_изг.,

гдее_{экв. -} эквивалентная крутильная податливость зубчатой передачи блок 4-блок 5;

е_{п. з. -} крутильная податливость зубчатой пары;

е_{изг. -} приведенная к крутильной изгибная податливость вала.

Третий участок: с одной частотой вращаются зубчатый блок 5, вал V и патрон 6:

е₅₆ = е_шл. + е_{шп. в.} + е_п.,

гдее_{шл. -} крутильная податливость шлицевого соединения блока 5 с валом V;

е_{шп. в. -} крутильная податливость вала I (шпинделя);

е_{п. -} крутильная податливость соединения вала V с патроном 6.

На основании расчетных моментов инерции и приведенных крутильных податливостей участков имеется возможность построить ступенчатую приведенную расчетную схему.

крутильное колебание привод двухмассовая

Рис.4. Ступенчатая приведенная расчетная схема привода

На рисунке ступенчатой приведенной схемы привода прямоугольники обозначают расчетные приведенные массы, горизонтальные линии условно обозначают упругие приведенные к массам крутильные податливости, а пунктирные прямоугольники соответствуют «безинерционным» шкивам и зубчатым колесам, которыми заканчиваются участки с одинаковыми скоростями и которые осуществляют кинематическую связь в системе.

4. Линейная расчетная схема

Ступенчатая схема неудобна для расчетов и ее преобразуют в более простую линейную схему. Для этого все массы и податливости приводят к одному звену. Чаще всего приведение осуществляется к валу электродвигателя.

Приведенные моменты инерции находят из равенства кинетических энергий приведенных и заданных масс:

откуда

Таким образом можно заметить, что приведенный к какому-либо валу момент инерции равен произведению расчетного момента инерции на квадрат передаточного отношения от вала приведения до рассматриваемого элемента.

Приведенные податливости определяются как частное от деления расчетной податливости на квадрат передаточного отношения от вала приведения до рассматриваемого элемента. Для нашего примера

Рис.5. Линейная приведенная расчетная схема

5. Упрощенная двухмассовая расчетная схема

При исследовании привода приведение моментов и податливостей проводят для всех ступеней регулирования частоты вращения шпинделя или ряда подач. Решение такой сложной задачи по исследованию динамических характеристик привода возможно только при помощи математического моделирования на ЭВМ или используя электромоделирующие установки.

Для привода станка диапазон частот возмущающих сил ограничен. Поэтому достаточно определить только первые низшие собственные частоты крутильных колебаний. Это позволяет значительно упростить расчетную схему до системы с одной-двумя степенями свободы.

Метод упрощения был предложен А. П. Черевковым. Суть метода заключается в том, что небольшие моменты инерции и податливости заменяют эквивалентными, а одну-две крупные массы сохраняют.

Упрощенная двухмассовая система имеет две массы, сосредоточенные на концах и взаимодействуют между собой посредством эквивалентной приведенной податливости. Обычно одной из масс является первая расчетная масса — якорь электродвигателя, а второй — все остальные массивные элементы привода, которые приводятся к эквивалентному моменту инерции.

Рис.6. Упрощенная двухмассовая расчетная схема

Эквивалентный момент инерции масс равен сумме приведенных моментов инерции

J_Э = J_p2 + J_np3 + J_np4 + J_np5 + J_np6.

Эквивалентная приведенная податливость равна

.

Зная расчетные параметры последней «двухмассовой» системы можно вычислить частоту собственных крутильных колебаний привода. Угловая частота р, рад/с, собственных крутильных колебаний двухмассовой системы без учета сопротивления опор

Двухмассовую упрощенную схему можно в некоторых случаях упростить еще больше. В таких приводах, где вращение передается с помощью ременной передачи, именно ременная передача оказывается наиболее податливым звеном привода.

Поэтому можно иногда не рассчитывать эквивалентную податливость упрощенной двухмассовой системы, а сразу принять ее равной податливости ременной передачи.

5.1 Определение частоты возмущающей силы

Источниками возмущающего крутильного воздействия во вращательных приводах станков выступают колебания ременной передачи, колебания, вызванные влиянием тел качения в подшипниках, колебания силы резания при работе фрезами.

5.2 Определение частоты возмущающей силы ременной передачи

В станках токарной группы наиболее существенно влияние возмущающей силы, вызванное колебаниями ременной передачи и в подшипниках качения. В ременной передаче источником колебаний являются поперечные колебания самого ремня передачи. При передаче вращения несколькими клиновыми ремнями влияние поперечных колебаний несколько меньше, чем в передаче поликлиновым ремнем, из-за взаимовлияния нескольких клиновых ремней между собой.

Частота собственных поперечных колебаний ременной передачи, рад/с

где = 1, 2, 3 — номер собственной частоты;

Q — сила натяжения ведущей ветви передачи, Н;

L_эф, — эффективная длина ремня, м,

гдеА₀ — межосевое расстояние передачи;

R₁, R₂ — радиусы шкивов, м;

V - окружная скорость ремня, м/сек;

т_к - масса клиновых ремней длиной L_эф, кг,

для поликлинового ремня:

гдет₁₀ — погонная масса поликлинового ремня длиной 1 м и шириной 10 ребер, кг;

z — фактическое количество ребер передачи.

Частота вынуждающей силы в f, Гц определяется по формуле

Частота поперечных колебаний ремня определяется для крайних значений силы натяжения ремня — наибольшей и наименьшей. Частота вынуждающих поперечных колебаний ременной передачи не должна совпадать с частотой собственных крутильных колебаний привода.

6. Определение частоты возмущающей силы подшипников качения

Вращающиеся подшипники качения являются источниками колебаний из-за невозможности изготовления тел качения подшипников идеально круглой формы и дорожек качения без микро и макро неровностей. При вращении одного кольца подшипника относительно другого возникают вынужденные колебания с частотой, Гц

гдеn — частота вращения рассматриваемого вала, мин^-1;

d, d_T — диаметр внутренней дорожки качения и диаметр тела качения, мм;

z — число тел качения в одном ряду подшипника.

Колебания, вызванные подшипниками качения, являются сравнительно высокочастотными и низкоамплитудными, поэтому оказывают незначительное воздействие на крутильные колебания вращательного привода. Они могут оказать вредное влияние при резонансе с частотой собственных изгибных колебаний шпинделя.

6.1 Определение частоты возмущающей силы резания

Процесс резания может быть источником колебаний при циклическом изменении сил резания во время обработки детали. При токарной обработке возникновение возмущающей колебательной силы возможно из-за эксцентричного закрепления заготовки или эксцентричности, вызванной технологической наследственностью. Такие случаи довольно редки. Фрезерование по своей природе это процесс резания, происходящий с чередующимися силовыми нагрузками для каждого режущего элемента инструмента. При фрезеровании возникает крутильная возмущающая сила, частота которой зависит от частоты вращения шпинделя и количества ножей фрезы. Амплитуда этого возмущающего воздействия зависит от величины подачи на зуб и глубины резания, а также от количества одновременно участвующих в резании зубьев. Частота возмущающей силы на шпинделе станка, Гц

гдеn — частота вращения рассматриваемого вала, мин^-1;

z — число зубьев фрезы.

1. Орликов М. Л. Динамика станков. — 2-е изд. перераб. и доп. — К.: Выща школа. Головное изд-во, 1989. — 272 с.; 8 табл.; 138 ил. — Билиогр.: 70 назв.

2. Металлорежущие станки и автоматы: Учебник для машиностроительных втузов / Под ред.А. С. Проникова. — М.: Машиностроение, 1981. — 479 с., ил. (стр.144−184).

3. Кудинов В. А. Динамика станков. — М.: Машиностроение, 1967. — 360 с.

4. Металлорежущие станки: Учебник для машиностроительных втузов / Под ред.В. Э. Пуша. — М.: Машиностроение, 1985. — 256 с., ил. (стр.357−411).

5. Попов В. И., Локтев В. И. Динамика станков. — К.: Технiка, 1975. — 135 с.

6. Детали и механизмы металлорежущих станков, т.1. / Под ред.Д. Н. Решетова. — М.: Машиностроение, 1972. — 664 с.

7. Детали и механизмы металлорежущих станков, т.2. / Под ред.Д. Н. Решетова. — М.: Машиностроение, 1972. — 520 с.

8. Кедров С. С. Колебания металлорежущих станков. М., «Машиностроение», 1978, 199 с. с ил.

9. Ривин Е. И. Динамика привода станков. — М.: Машиностроение, 1966, 203 с.

10. Маслов Г. С. Расчеты колебаний валов. Справочное пособие. — М.: Машиностроение, 1968.

11. Проников А. С. Программный метод испытания металлорежущих станков. — М.: Машиностроение, 1985. — 288 с., ил.

12. ЭНИМС, Типовые методики и программы испытаний металлорежущих станков. Методические рекомендации. — М.: НИИмаш, 1984.