Прямая и обратная задачи

При расчете размерных цепей встречаются две задачи — прямая и обратная.

При решении прямой задачи определяют параметры составляющих звеньев: номинальные размеры Д, допуски /7Д, расположение поля допуска каждого составляющего звена относительно номинала (координаты середин полей допусков Д (Д) и предельные отклонения (ЕЯА^ ЕІА) всех составляющих звеньев размерной цепи, исходя из требований к замыкающему звену.

При решении обратной (проверочной) задачи определяют характеристики смыкающего звена (/7″ Д, Ау4д, ЕЗА&9 Е1АА), исходя из значений номинальных размеров Д, допусков /ГД, координат середин полей допусков Д, у4″ предельных отклонений составляющих звеньев ЕЗА" ?УД.

Основные уравнения размерных цепей с параллельными звеньями

Метод максимума-минимума

Уравнение номиналов

Рис. 5.149. Линейная размерная цепь с параллельными звеньями.

На рис. 5.149 представлена схема линейной размерной цепи с параллельными звеньями.

Значение номинального размера Лд смыкающего звена зависит от номинальных размеров составляющих звеньев. Эту зависимость в общем случае можно представить в следующем виде:

Исходя из условия замкнутости, для размерной цепи, представленной на рис. 5.149, эту зависимость можно представить следующим образом:

Перепишем уравнение (5.121):

При номинальных размерах звеньев в уравнении (5.122) стоят коэффициенты (-1) (звенья I и 2) и (+1) (звенья 3−5). Звенья 1 и 2 являются уменьшающими, а звенья 3−5 — увеличивающими. '$ги коэффициенты показывают, как влияет изменение размеров каждого из звеньев на величину замыкающего звена, и называются передаточными отношениями. Обозначим передаточное отношение /'-го звена буквой & Тогда уравнение (5.122) можно представить следующим образом:

где т — общее количество звеньев в размерной цепи, включая замыкающее.

В уравнениях с непараллельными звеньями коэффициент? может принимать значения, отличные от (-1) и (+1). В общем случае передаточное отношение есть частная производная от функции ЛЛ по аргументу А{ при средних значениях всех аргументов функции, т. е.

где /' = 1, 2, 3, …; т — I — порядковый номер звена.

Отметим, что для увеличивающих звеньев 0, а для уменьшающих ^ < 0. В сложных размерных цепях, особенно с непараллельными звеньями, характер звена не всегда ясен, т. е. трудно сразу определить, относится звено к увеличивающим или уменьшающим. В таких случаях характер звена можно определить по знаку передаточного отношения.

Уравнение (5.124) будем называть уравнением номиналов.

Уравнение допусков (точности)

Допуск любого параметра определяется как разность между наибольшим и наименьшим предельными его значениями. Определим наибольшее и наименьшее значения размера замыкающего звена А&.

Замыкающее звено примет наибольшее предельное значение, когда увеличивающие звенья будут наибольшими, а уменьшающие — наименьшими, т. е.

Замыкающее звено примет наименьшее предельное значение, когда увеличивающие звенья будут наименьшими, а уменьшающие — наибольшими:

где п — количество увеличивающих звеньев в размерной цепи; т — п — I — количество уменьшающих звеньев в размерной цепи.

Вычитая почленно из выражения (5.125) выражение (5.126), получим.

Учитывая, что А?" - А^" = /ТА, а для уменьшающих звеньев? < 0, окончательно будем иметь.

Выражение (5.128) будем называть уравнением допусков.

Из выражения (5.128) видно, что на точность замыкающего звена оказывают влияние как допуски составляющих звеньев, так и число этих звеньев. Повысить точность смыкающего звена можно за счет уменьшения допусков на обработку, что экономически может быть неоправданным (уменьшение допусков ведет к увеличению стоимости), или за счет сокращения количества звеньев в размерной цепи, т. е. при конструировании необходимо стремиться соблюдать принцип кратчайшего пути.

Уравнение координат середин полей допусков

Координата середины поля допуска /'-го звена (ДД) однозначно определяет его расположение относительно номинала. Через параметры, характеризующие размер составляющего звена, координату середины поля допуска можно выразить следующим образом (рис. 5.150):

Рис. 5.150. Определение параметров составляющего звена.

Предельные отклонения размера через координату середины поля допуска и допуск размера определяются по формулам.

Выразим среднее значение /'-го составляющего звена через номинальный размер А (и координату середины поля допуска Д^Л;

Для средних размеров должно выполняться условие (5.123) (условие замкнутости). Напишем условие (5.123) для средних размеров.

С учетом (5.133) получим.

Вычтем почленно из выражения (5.134) выражение (5.123), получим уравнение, которое связывает координату середины поля допуска замыкающего звена с координатами середин полей допусков составляющих звеньев.

Выражение (5.135) называют уравнением координат.

Вероятностный метод

При расчете допусков методом максимума-минимума учитывались только предельные значения размеров — наибольшие и наименьшие. Однако в реальности сочетание предельных значений (только наибольших или только наименьших) встречается крайне редко. Профессор H.A. Бородачев показал, что при сборке изделия с 10 размерами наихудшее сочетание при выпуске изделий по 1000 штук ежедневно может повторяться один раз в 3000 лет. Столь малая вероятность сочетания крайних предельных размеров составляющих звеньев послужила основанием для разработки Н. А. Бородачевым и Б. С. Балакшиным метода расчета размерных цепей, основанного на теории вероятностей и математической статистики.

Данный метод расчета учитывает законы распределения отклонений размеров при их изготовлении и случайный характер сочетания составляющих размеров деталей при их сборке.

При вероятностном методе расчета размерных цепей размеры составляющих звеньев рассматриваются как случайные величины. Тогда и смыкающее звено можно рассматривать как случайную величину.

На основании теоремы о математическом ожидании суммы случайных величин из формулы (5.123) получим.

а на основании теоремы о дисперсии суммы независимых случайных величин (дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий отклонений составляющих звеньев) будем иметь.

Учитывая, что дисперсия есть квадрат среднего квадратичного отклонения, выражение (5.137) перепишем в виде.

При проектных расчетах конструктору, как правило, известны величины допусков размеров, а не их дисперсии. Для перехода от о1 к допуску 1ТА1 (полю рассеяния со) используется коэффициент относительного рассеяния Л1 = /7-^2^ПРИ а> = ^А) — Выразим среднее квадратичное значение через допуск и коэффициент относительного рассеяния, получим.

С учетом (5.139) выражение (5.138) перепишем в следующем виде:

Выражение (5.140) является уравнением допусков при расчете вероятностным методом.

При изготовлении деталей математическое ожидание (среднее значение размера в партии деталей) может не совпадать с серединой поля допуска (рис. 5.151). Величина такого несовпадения, выраженная в долях половины поля допуска /7Д, называется коэффициентом относительной асимметрии ак. Коэффициент относительной асимметрии определяется по формуле.

где М (А) — математическое ожидание (средний размер) /'-го звена; Д. р, — размер, соответствующий середине поля допуска; 1ТА1 — поле допуска 1-го звена.

Выразим математическое ожидание /'-го звена через коэффициент относительной асимметрии и поле допуска /'-го звена.

Рис. 5.151. Схема для определения коэффициента относительной асимметрии.

Аналогичные зависимости имеют место и для смыкающего звена, т. е.

С учетом выражений (5.142) и (5.143) выражение (5.136) можно представить в виде.

Уравнение (5.144) является уравнением координат при расчете вероятностным методом.

Значения коэффициентов а, и Л, зависят от условий и масштаба производства и различны для разных категорий размеров, технологических операций и методов обработки. При выборе значений а, и Л, можно руководствоваться данными, приведенными в табл. 5.69.

5.69. Выбор коэффициентов ?1 и ?1

Значение коэффициента относительной асимметрии замыкающего звена принимается равным нулю (ал = 0) при выполнении следующих условий: при симметричных законах распределения всех составляющих звеньев (ц = 0); при количестве составляющих звеньев более пяти, с однородными по величине допусками и любыми законами распределения.

Значение коэффициента относительного рассеяния замыкающего звена принимается равным ^ (ЛА = ^) при выполнении следующих условий: при распределении всех составляющих звеньев по закону Гаусса с диапазоном рассеяния, совпадающим с границами поля допуска (Л, = при количестве составляющих звеньев более пяти, с однородными по величине допусками и с любыми симметричными законами распределения; при количестве составляющих звеньев не менее восьми, с неоднородными по величине допусками и любыми одновершинными законами распределения.

Если эти условия не выполняются, то характеристики замыкающего звена ал и Лд рассчитываются по приближенным формулам.

Рассеяние размеров замыкающего звена часто можно считать подчиняющимся нормальному закону распределения, для которого Яд = у. В этом случае уравнение допусков можно переписать в следующем виде:

При нормальном законе рассеивания размеров замыкающего звена 99,73% размеров этого звена заключено в пределах поля допуска /7ИД, вычисленного по формуле (5.147), т. е. процент риска /° составляет 0,27%. Если можно допустить иной процент выхода размера за пределы поля допуска (процент брака), формула (5.147) примет вид.

где / - коэффициент риска, зависящий от допустимого процента брака /*: