Алгоритм построения функции полезности

Функция полезности отражает предпочтения ЛПР по отношению к риску, а ее построение осуществляется в два этапа.

На первом этапе осуществляется выбор наилучшего и наихудшего значений исхода, выраженное в денежной форме. Полезность наилучшего варианта устанавливается большей величиной, чем полезность худшего. Очень часто полезность самого плохого исхода устанавливается равной нулю, а полезность наилучшего исхода приравнивается единице.

В задаче про ураганы, например, можно установить полезность наихудшего исхода, соответствующего наибольшему возможному ущербу, т. е. U (-336,05), равной нулю, а полезность наилучшего исхода U (-16,3), т. е. самого маленького ущерба, равной единице. Следует отметить, что итоговые результаты анализа не зависят от того, какие численные значения полезности были выбраны, до тех пор, пока полезность лучшего исхода выбрана больше полезности худшего. Таким образом, можно, например, установить полезность U (-336,05), равной 4, а полезность U (-16,3), равной 10.

Второй этап не настолько прост. Необходимо предоставить ЛПР выбор между двумя вариантами. Первый вариант представляет собой определенное значение денежного выигрыша, который ЛПР может получить наверняка. Вторая альтернатива представляет собой игру с двумя возможными исходами, полезности которых определены нами случайным образом на первом этапе, предположим, к примеру, что мы выберем значение U (-91,1). Тогда мы должны задать ЛПР следующий вопрос: предпочитает ли он определенность потери, оцениваемой в 191,1 у.е., игру, в которой потеря составит 16,3 у.е. при вероятности Р, а убыток в 336,05 у.е. с вероятностью (1-Р), Задача ЛПР состоит в том, чтобы определить значения Р, при котором для ЛПР потеря в 191,1 у.е. и игра будут иметь одинаковую полезность. Предположим, что значение Р для условий данной задачи равно 0,45, тогда ожидаемая полезность потери в 191,1 у.е. равна ожидаемой полезности этой игры, то есть.

U (-191,1) = (1-Р) U (-336,05) + РU (-16,3), U (-191,1) = 0,55 U (-336,05) + 0,45 U (-16,3).

Поскольку установлено, что полезность U (-336,05) равна нулю, а полезность U (-16,3) равна единице, то полезность U (-191,1) равна 0,45. Аналогичным образом можно найти U (-100,0), U (-46,7) другие значения полезностей, которые необходимо знать для определения ожидаемой полезности «обработки» урагана. Например, полезность ущерба 100 у.е. равна:

U (-100,0) = 0,26 U (-336,05) +0,74 U (-16,3)= 87,49 + 12,06 = 99,55.

Поскольку U (-336.05) равно нулю, а и U (-16.3) равно единице, то это означает, что U (-100.0) равна 0,74.

Функцию полезности ЛПР можно представить в виде графика отображающего значения уровня полезности, которые ЛПР приписывает тому или иному количественному значению денежного выигрыша или потери. По виду графика функции полезности можно судить о склонности ЛПР к риску.

Важным понятием в теории принятия решений является понятие ожидаемой стоимости совершенной информации.

Ожидаемая стоимость совершенной информации — это увеличение ожидаемой прибыли в случае, когда ЛПР может получить абсолютно точную информацию, касающуюся изучаемой случайной переменной (однако ЛПР заранее не знает, какова будет эта информация).

В задаче с менеджером по маркетингу (см. контрольный пример к теме) стоимость совершенной информации равняется увеличению ожидаемой прибыли в ситуации, если менеджер может получить совершенно точную информацию, указывающую, действительно ли новая этикетка является лучше старой. Для того чтобы определить это возрастание ожидаемой прибыли, необходимо сначала вычислить значение ожидаемой прибыли на основе той информации, какая уже имеется у менеджера, а после этого вычесть значение из количества ожидаемой прибыли, которая будет получена в условиях доступа к совершенно точной информации.

Значение ожидаемой прибыли для задачи с выбором новой этикетки с учетом информации, которой обладает менеджер, равно 0,5 (800 000) — 0,5 (500 000) — 150 000 у.е.

Величина ожидаемой прибыли в условиях доступа к совершенной информации составит.

0,5 (800 000) + 0,5 (0) = 400 000 у.е.

Для данного примера нужно привести некоторые пояснения. Если ЛПР будет знать точно, что рынок учтет новую этикетку, то дополнительная прибыль от этого метода составит 800 000 у.е. Если у ЛПР будет информация о неготовности рынка к такому действию, тогда он не будет изменять этикетку и, значит, фирма не понесет никаких убытков. Так как ЛПР заранее не знает, какой будет эта информация (об успехе или о неудаче), то эти два события считаются равновероятными. Таким образом, ожидаемая прибыль фирмы в условиях доступа к совершенной информации составит 400 000 у.е. Разность между величинами 400 000 у.е. и 150 000 у.е. равна 250 000 у.е., что и является ожидаемой стоимостью совершенной информации для условий задачи. Это значение показывает, как сильно может вырасти ожидаемая прибыль фирмы при доступе к совершенной информации. Говоря по-другому, ожидаемая стоимость совершенной информации — это максимальная сумма, которую ЛПР может заплатить за доступ к этой информации.

В описанном выше случае 250 000 у.е. — это априорная ожидаемая стоимость совершенной информации, так как она рассчитывалась исходя из априорных значений вероятностей. После проведения маркетинговых исследований рынка менеджер получает возможность рассчитать апостериорную ожидаемую стоимость совершенной информации, т. е. значение, вычисленное уже с использованием значений апостериорных вероятностей.

Пусть после проведения исследований рынка менеджер определил, что вероятность успеха составляет 0,8, а вероятность неудачи — 0,2. Тогда, ожидаемая стоимость совершенной информации будет равна.

[0,8 (800 000)+0,2(0)]-[0,8 (800 000)+0,2 (-500 000)] = 100 000 у.е.

Это означает, что опрос уменьшил сомнения ЛПР относительно превосходства новой этикетки в сравнении с прежней, а значит, и уменьшилась ожидаемая стоимость или же ценность совершенной информации¹.