Краткие сведения из теории

В общем случае система счисления представляет собой совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми и другими знаками.

Все системы представления чисел делят на непозиционные и позиционные.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием. Основание (базис) естественной позиционной системы счисления — это число знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления.

Для позиционной системы счисления справедливо равенство:

где A (q) — произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q;

аiцифры (символы) системы счисления; n, m — число целых и дробных разрядов.

В ЭВМ для записи чисел используется двоичная система счисления. В этой системе всего две цифры: 0 и 1, основание системы равно 2.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 24 и 8 = 23. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.

При записи чисел значение каждой цифры зависит от ее положения. Место для цифры в числе называется разрядом, а количество цифр в числе называется разрядностью числа. Например, десятичное число 1990 является четырёхразрядным.

Для перевода целых чисел и целых частей неправильных дробей используется метод, базирующийся на делении переводимого числа на основание новой системы счисления.

Целое число с основанием N1 переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного деления числа AN1на основание N2, записанного в виде числа с основаниемN1, до получения остатка. Полученное частное следует вновь делить на основаниеN2, и этот процесс надо повторять до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном порядку деления. Сформированное число и будет являться числом с основаниемN2.

Дробное число (< 1) с основанием N1 переводится в систему счисления с основанием N2 путем последовательного умноженияА (N1)на основание N2, записанное в виде числа с основанием N1. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего числоА (N1) в системе счисления N2.

Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны через степени числа 2, то преобразования между ними можно выполнять другим более простым способом.

Преобразуемое двоичное число разбивают вправо и влево от границы целой и дробной части на группы по четыре двоичные цифры (тетрады). Затем каждую группу двоичных цифр выражают одной шестнадцатеричной цифрой, где.

Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему команд, включающую в свой состав десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложение и сдвиг. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Правила сложения двоичных цифр двух чиселА и В представлены в таблице 1.

Различают прямой код (ПК), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДК) представления двоичных чисел.

Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (ноль или единица) перед его старшим числовым разрядом.

Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, то есть нули заменяются единицами, а единицы нулями.

Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (20 — для целых чисел, 2-kдля дробных).