Макромоделирование асинхронных машин с учетом динамики

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

1.1 Основные определения

1.2 Классификация математических моделей

1.3 Блочно-иерархический подход к моделированию

2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ ДИНАМИКИ

2.1 Исследование динамического момента асинхронного двигателя с опытными образцами роторов

2.2 Вращающий момент асинхронного двигателя и гистерезис

2.3 Определение параметров интегрального контура вихревых токов

3. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МАКРОМОДЕЛИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ МАШИН С УЧЕТОМ ДИНАМИКИ

3.1 Математическая модель асинхронного двигателя в фазной заторможенной системе координат

3.2 Особенности построения алгоритмов макромоделирования асинхронных двигателей с учетом динамики

3.3 Проблемно-ориентированный численный метод — основа реализации алгоритмов динамики асинхронной машины

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Развитие технической кибернетики, динамичность современной программной среды существенно влияют на электромеханику и, в частности, разработку методов и средств математического моделирования. Так, блочно-иерархический подход к моделированию отражает концепцию системного подхода, позволяющую оптимально решать задачи анализа и синтеза. Актуальной проблемой сегодня остается разработка методов, математических и программных средств моделирования объектов электромеханики.

При преобразовании электрической энергии в механическую широкое использование находят асинхронные двигатели. Существенная доля вырабатываемой в стране электроэнергии потребляется асинхронными двигателями в динамических режимах работы. Для машин нестандартного, специализированного исполнения и машин общепромышленного применения, у которых динамический режим в процессе эксплуатации является определяющим (частые пуски, реверсы, повторные включения), необходим учет динамических режимов на стадии проектирования.

На протяжении ряда лет в курсе «Физическое и математическое моделирование, специальная электромеханика» для студентов старшего курса специальности «электромеханика» вопросы моделирования асинхронных машин с учетом динамики изучаются на основе проблемно-ориентированного программного комплекса.

В ходе научно-исследовательских работ по созданию САПР, а затем компонентов САПР нового поколения (экспертных систем) в научной группе профессора И. П. Копылова разрабатывались математические и программные средства моделирования электромеханических систем. В этой связи необходимо упомянуть работу канд.техн.наук А. С. Коризны, много сделавшего в разработке фортран-программ.

Настоящий программный комплекс представляет собой адаптированную, применительно к персональным компьютерам и современным средствам программирования, подсистему моделирования динамических режимов асинхронных двигателей. Комплекс построен по принципу многоуровневого моделирования и позволяет учитывать многообразие физических процессов в асинхронной машине, представленной макромоделью в фазной «заторможенной» системе координат. Моделируются роторные вихревые токи (двухклеточный ротор), вытеснение токов в стержнях ротора, насыщение магнитопроводов машины, несинусоидальность напряжения питания, процессы энергообмена в динамике.

Для решения уравнений динамики используется проблемно-ориентированный, разработанный в Омском политехническом институте, «канонический метод», не требующий приведения исходных уравнений к нормальной форме Коши. Метод обладает повышенной устойчивостью, что

задачи анализа динамических режимов при изменении параметров схемы замещения асинхронной машины, величин момента сопротивления, инерции, параметров сети. Макромодели комплекса удобны для решения задач планирования эксперимента и многокритериальной оптимизации.

Разработке макромоделей предшествовали оригинальные экспериментальные исследования физических процессов в асинхронной машине, проводившиеся в электромашинной лаборатории ВНИИЭМ. Для асинхронной машины средней мощности был изготовлен комплект опытных роторов, и проводился целый ряд экспериментов, в частности, по определению характеристик динамического момента вращения, по опытному определению «скачка гистерезиса» в асинхронной машине. Эксперименты послужили серьезной основой для подтверждения адекватности моделирования. Была установлена степень влияния отдельных групп роторных контуров на момент вращения асинхронной машины. Было введено понятие интегрального контура вихревых токов и предложена методика определения его параметров.

Развитие теории автоматизированного проектирования сыграло определенную положительную роль в моделировании систем. Возникла потребность в четких определениях, систематизации знаний. Доказана целесообразность системного подхода к моделированию, отражающего системные свойства и отношения элементов. Электрическая машина, сама по себе, рассматривается как электромеханическая система, в то же время электрическая машина является, как правило, элементом другой электромеханической системы.

В предлагаемом учебном пособии материал распределен следующим образом.

В первой главе рассматриваются основные понятия моделирования объектов электромеханики.

Вторая глава посвящена специальным экспериментальным исследованиям асинхронной машины с опытными образцами роторов.

В третьей главе приводятся алгоритмы программного комплекса моделирования динамических режимов асинхронных двигателей и примеры численных экспериментов.

Работу завершают контрольные вопросы по изложенному материалу.

1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

Не решай сложную задачу, не решив простую

(Принцип простоты)

1.1 Основные определения

Моделирование является одним из важнейших методов научного познания. Модель определяется как заменитель реального объекта, находящийся в некотором неполном соответствии с объектом-оригиналом.

Существуют различные виды моделирования. При изучении объектов электромеханики большую роль играют физическое и математическое моделирования.

Физические модели это модели, характеризующиеся одинаковой физической природой с оригиналом, идентичностью протекания физических процессов с оригиналом. К физическому моделированию относится, например, макетирование, широко применяемое в практике проектирования технических устройств. Недостатком физического моделирования является необходимость технических ресурсов, экономические затраты. Тем более, что каждый вариант объекта предполагает создание своей модели.

Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений, объектов внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с развитием вычислительной техники.

Итак, математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений, объектов внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Процесс математического моделирования, т. е. изучения явления, объекта с помощью математической модели, подразделяют обычно на четыре этапа.

Первый этап — формулирование законов, связывающих основные элементы модели. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между элементами модели.

Второй этап — исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т. е. получение в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых объектов. На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа математических моделей, и вычислительная техника — мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математических задач.

Третий этап — выяснение того, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, т. е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых объектов, называются обратными задачами. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых объектов.

Четвертый этап — последующий анализ модели в связи с накоплением знаний об изучаемых объектах и модернизации модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых объектах уточняются и возникает необходимость в построении новой, более совершенной математической модели.

Процесс выделения задачи, поддающейся математическому анализу, часто бывает продолжительным и требует владения многими навыками, не имеющими отношения к математике. Например, беседы с коллегами, работающими в смежной области, изучение литературы с целью определения «состояния вопроса» являются важными элементами процесса моделирования.

Часто, параллельно с этой стадией постановки задачи идет процесс выявления основных или существенных особенностей объекта. В частности, этот процесс схематизации или идеализации может играть решающую роль. Реально имеет место множество процессов, некоторые их них представляются важными, многие другие несущественными. Если к примеру, обратиться к движению маятника, образованного тяжелым грузом, подвешенным на конце нити. В этой «ситуации» существенным является регулярный характер колебаний маятника, а несущественным обстоятельством — то, что нить белая, а груз черный. Математическая модель представляет собой упрощение реальной ситуации. Несущественные особенности ситуации отбрасываются, и исходная сложная задача сводится к идеализированной, поддающейся математическому анализу. После того, как существенные факторы выявлены, следующий шаг состоит в переводе этих факторов на язык математических понятий, величин и постулирования соотношений между этими величинами.

Одно из требований, предъявляемых к математической модели, требование точности.

Точность математической модели — ее свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта, с истинными значениями этих параметров. Количественная оценка точности модели в большинстве случаев вызывает затруднения по следующим причинам.

Реальные объекты, следовательно и их модели характеризуются не одним, а несколькими параметрами. Отсюда вытекает первоначальный векторный характер оценки точности и необходимость сведения векторной оценки к скалярной для возможности сопоставления моделей друг с другом.

Модели составляются для многократного использования при анализе разных вариантов объекта или многих типов объектов определенного класса (так математическая модель транзистора обычно может применяться при анализе транзисторных схем разных типов с транзисторами разных марок). Поскольку характер проявления тех или иных свойств объекта зависит от особенностей взаимосвязей объекта с внешней средой и другими объектами системы, то и показатели точности отображения этих свойств в модели будут зависеть от конкретных условий функционирования объекта. В результате оценка точности перестает быть однозначной.

Истинные значения параметров объекта обычно отождествляют с экспериментально полученными. Однако погрешности эксперимента во многих случаях оказываются соизмеримыми с погрешностями математической модели, а иногда и заметно их превышают. Зачастую целесообразно проводить сравнение моделей по результатам их использования в некоторых стандартных ситуациях, отражающих характерные особенности функционирования объектов, на практике называемых тестовыми ситуациями.

Существует несколько аспектов проверки адекватности. Во-первых, сама математическая основа модели не должна быть противоречивой и подчиняться всем обычным законам математической логики. Во-вторых, справедливость модели зависит от ее способности адекватно описывать исходную ситуацию. Модель можно заставить отражать действительность, однако она не есть сама действительность. Маятник, о котором шла речь, математическая идеализация реального объекта. Это становится очевидным, когда размах колебаний маятника уменьшается, и он останавливается. Модель математического маятника не предсказывает такого поведения. Модель не обязательно не верна. До полного затухания колебаний может пройти больше часа, а нас возможно, интересуют лишь события, происходящие в первые пять минут после начала движения.

Следует подчеркнуть еще одно обстоятельство.

Можно потратить много времени на такое улучшение решения для данной модели, которое не оправдано самой постановкой задачи. Это связано, в частности, со степенью точности опытных данных. Так, если имеющиеся исходные данные известны с погрешностью 5%, то разумеется бессмысленно предлагать «решения», обеспечивающие погрешность не превышающую 1%. Итак, точность результата не может быть выше точности исходных данных, точности промежуточных вычислений должны быть согласованы.

Ответ, который невозможно реализовать на практике (хотя он и получен с помощью тонкого математического анализа), может оказаться бесполезным. Приближенный ответ, быстро полученный, может быть эффективнее, чем более точный ответ, на получение которого уходит больше времени.

Среди требований, предъявляемых к свойствам математических моделей, следует отнести их экономичность. Она определяется, прежде всего, затратами времени на численный эксперимент. Здесь имеет значение количество внутренних параметров, используемых в модели. Чем больше параметров, тем больше затраты компьютерной памяти и больше усилий требуется для получения сведений о численных значениях параметров и их разбросе. Если моделирование включает в себя процесс передачи информации, то в этом случае наиважнейшее значение приобретает скорость передачи информации.

К математическим моделям предъявляется также требование универсальности. Универсальность определяется применимостью модели к анализу более или менее многочисленной группы однотипных объектов, анализу в одном или многих режимах функционирования.

Требования высокой точности, большой степени универсальности с одной стороны и высокой экономичности — с другой, противоречивы. Удачное компромиссное удовлетворение требований к математической модели в задачах одного вида анализа и определенного класса объектов может иметь место, когда для одного и того же объекта имеется не одна, а несколько математических моделей, различающихся значениями показателей эффективности.

Говоря об особенностях математического моделирования, можно упомянуть о различиях целей моделирования. Это могут быть, в частности, задачи прогнозирования, проектирования, задачи контроля.

1.2 Классификация математических моделей

В зависимости от характера отображаемых свойств объекта модели делятся на функциональные и структурные.

Функциональные модели отображают процесс функционирования объекта. Эти модели чаще всего имеют форму систем уравнений.

Структурные модели отображают только структурные (в частном случае геометрические) свойства моделируемого объекта.

Такие модели могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве, наличие непосредственньых связей между элементами в виде каналов, проводников. Структурные модели используются обычно в тех случаях, когда задачи структурного синтеза удается ставить и решать абстрагируясь от особенностей протекания физических процессов в объекте.

Функциональные математические модели по способам получения или природе рассматриваемых математических переменных делят на теоретические модели и формальные.

Теоретические математические модели это модели, которые получают на основе изучения физических закономерностей. Структура уравнений и параметры моделей имеют определенное физическое толкование. Здесь могут быть известные характеристики, величины, поддающиеся, по крайней мере теоретически, точному измерению и управлению. Они называются детерминированными переменными.

Формальные математические модели это модели, которые получают на основе проявления свойств моделируемого объекта во внешней среде, т. е. при рассмотрении объекта как кибернетического черного ящика.

В этот класс входят неизвестные характеристики, т. е. величины, которые никогда не могут быть точно измерены и имеют случайный характер. Они называются стохастическими переменными. Модель, содержащая стохастические переменные должна описываться математическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики.

Детерминированные переменные в большинстве случаев требуют привлечения обычного математического анализа.

К классу формальных моделей можно отнести применяемые в практике математического моделирования электрических машин модели, получаемые методом планирования эксперимента.

Формальные модели по сравнению с теоретическими моделями обычно более точны в окрестностях той точки пространства параметров, в которой проводились измерения. Их точность снижается по мере удаления от этой точки.

В зависимости от линейности или нелинейности уравнений модели классифицируются как модели линейные и нелинейные.

По мощности множества значений переменных модели делят на непрерывные и дискретные. В непрерывных моделях переменные непрерывны или кусочно — непрерывны. Множество вариантов решений здесь имеет мощность континиума. Переменные дискретных моделей — дискретные величины, и множество решений счетно.

В зависимости от того, учитывают уравнения модели инерционность процессов в объекте или не учитывают, различают модели динамические и статические.

По форме связей между выходными, внутренними и внешними параметрами различают модели в виде систем уравнений и модели в виде явных зависимостей выходных параметров от внутренних и внешних. Первые из них называются алгоритмическими, а вторые — аналитическими. Алгоритмические модели воспроизводят пошаговый процесс численного решения уравнений, представляющих математическую модель исследуемого объекта. Применение компьютеров делает алгоритмические модели наиболее универсальными. Все преобразования информации выполняются процессором, последовательность решения задается программой, а алгоритмические модели также называют цифровыми.

Машинную программу, реализующую модель, не следует путать с самой моделью. Различные языки программирования кодируют одну и ту же модель разными способами. Необходимо различать структурные свойства программы, написанной для имитации модели, и структурные свойства самой модели.

Особняком стоят математические модели — аналоги, использующие свойства изоморфизма (одинаковости) математического описания процессов различной физической природы. Например, уравнения, устанавливающие в механической системе взаимосвязь между силой, приложенной к телу, его массой и ускорением, будут иметь тот же вид, что уравнения, устанавливающие взаимосвязь между напряжением, индуктивностью и скоростью изменения тока во времени в электрической цепи. На основе изоморфизма, с помощью, как правило, электрических цепей исследуются процессы в объектах другой физической природы.

1.3 Блочно-иерархический подход к моделированию

В моделировании реализуется блочно-иерархический подход. В зависимости от сложности моделируемых объектов и решаемых исследовательских задач используется принцип многоуровневого моделирования. Принято рассматривать математические модели функционирования объектов на трех уровнях, каждый из которых также подчиняется блочно-иерархическому принципу.

На микроуровне математические модели отражают процессы, протекающие в общем случае в трехмерных сплошных средах. Математические модели объектов этого уровня представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. Решение дифференциальных уравнений в частных производных представляет значительные вычислительные трудности. Типичными фазовыми переменными здесь являются плотности потоков, напряженности полей, электрические потенциалы и др. Независимыми переменными — время и пространственные координаты. Моделирование на этом уровне вводится к решению краевых задач математической физики.

На макроуровне производится дискретизация пространства, переход от распределенных к сосредоточенным моделям. Элементами этого уровня являются объекты, которые на микроуровне рассматриваются как системы. Это могут быть элементы отдельных деталей, электронные, электрические компоненты. Типичными фазовыми переменными здесь являются токи и напряжения, скорости и силы, потоки и давления. Из числа независимых переменных исключаются пространственные координаты. Математические модели макроуровня представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. В частных случаях алгебраические и трансцендентные уравнения. Принято считать, что на макроуровне моделируются системы с сосредоточенными параметрами, и на этой основе строится теория цепей.

На метауровне производится дальнейшее абстрагирование от особенностей протекания физических процессов в моделируемых объектах и строятся модели информационных процессов. Для построения математических моделей этого уровня используется математическая логика, теория массового обслуживания, методы теории автоматического управления. В качестве объектов здесь могут быть комплексы вычислительных машин, радиолокационных станций, систем управления летательными аппаратами. Функционирование систем на метауровне рассматривается как цепь событий, происходящих в дискретные моменты времени и заключающихся в изменении состояний элементов. Дискретное представление пространства и времени обуславливает дискретность фазовых переменных, которыми являются величины, характеризующие состояния элементов. Роль элементов и внутренних параметров выполняют системы и выходные параметры макроуровня.

2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ ДИНАМИКИ

Можно пренебрегать чем угодно, нужно

только точно знать как это повлияет на

результат

(Э. Хемингуэй)

2.1 Исследование динамического момента асинхронного двигателя с опытными образцами роторов

Разработке многоуровневой математической макромодели асинхронной машины с учетом динамики, учитывающей многообразие происходящих в ней физических процессов, предшествовали экспериментальные исследования асинхронного двигателя, для которого был изготовлен набор специальных опытных роторов. Для проведения исследований был взят трехфазный четырехполюсный асинхронный двигатель, номинальной мощностью 3 кВт при напряжении 380 B и 50 Гц с короткозамкнутым ротором с алюминиевой заливкой (штатный ротор). К этому электродвигателю были изготовлены дополнительно к штатному восемь экспериментальныx роторов: а) массивный ротор из ст.45; б) ротор с круглыми полузакрытыми пазами, с сердечником, набранным из изолированных листов ст. 3, толщиной 2 мм, имеющий медную короткозамкнутую обмотку (беличью клетку с диаметром стержней 8 мм); в) ротор такой же, как и (б), но с закрытыми круглыми пазами; г) ротор такой же, как и (б), но с толщиной листов ст. 1211 0,35 мм; д) ротор такой же, как и (б), но с толщиной листов ст. З 1,0 мм; е) ротор такой же. как и (б), с пустыми пазами (без беличьей клетки); ж) ротор такой же, как и (в), с пустыми пазами (без беличьей клетки); з) ротор без пазов, набранный из изолированных дисков ст. З, толщиной 2 мм (рис. 2.1).

Кроме того, был изготовлен комплект круглых медных стержней диаметром 8 мм для возможности размещения их в пустых пазах роторов (е, ж) с целью испытания двигателя с разомкнутой беличьей клеткой (без колец).

Цель изготовления роторов в указанных вариантах обусловлена следующими соображениями:

оценить степень влияния вихревых токов в стальном сердечнике ротора при различной толщине листов на динамический момент вращения двигателя как при закрытых, так и при полузакрытых пазах ротора;

оценить степень влияния на динамический момент вращения вихревых токов сердечника с пустыми пазами и беспазового сердечника (установить влияние пазовости);

оценить степень влияния на динамический момент вращения двигателя вихревых токов в контуре стержень — сталь — стержень при неизолированных стержнях.

Были сняты характеристики холостого хода, короткого замыкания и U-образные характеристики (зависимости P = ц1(f); I = ц2(f), где P и I соответственно мощность и ток статорной цепи, а f — частота тока в роторе). При разбеге двигателя с различными вариантами роторов снимались характеристики момента вращения с помощью лабораторного прибора «Память-4» (рис. 2.2). Прибор предназначен для снятия механических характеристик электродвигателей с временем разбега от 0,2 до 10 сек. с точностью не хуже ±3,5 определяемой величины. Регистрацию характеристик этот прибор производит, осуществляя запись сигналов с частотами, пропорциональными скорости вращения и угловому ускорению двигателя на магнитной ленте, с последующим воспроизведением их при меньшей скорости протяжки ленты на двухкоординатном самопишущем устройстве. Снятие характеристик производится с помощью фотоэлектрического датчика, многометочный диск которого укрепляется на валу исследуемого двигателя. Прибор «Память 4» работает с запаздыванием по времени на 25 мсек, что не позволяет производить с его помощью запись пусковых моментов, а также приводит к некоторому искажению начального участка механических характеристик.

Регистрация характеристик двигателя в переходных режимах осуществлялась также с помощью другого прибора «приставки к осциллографу для регистрации изменения скорости и ускорения ротора двигателя». Действие прибора основана на использовании асинхронного тахогенератора. Блок — схема прибора показана на рис. 2.3. Схема состоит из преобразователя (преобразователь Роэра), преобразующего постоянный ток в переменный.

Рис. 2.1. Комплект экспериментальных роторов Рис. 2.2. Прибор «Память 4» с испытуемым двигателем

Рис. 2.3. Блок-схема приставки к осциллографу для регистрации изменений скорости и ускорения двигателя Напряжение переменного тока подается на обмотку возбуждения асинхронного тахогенератора. На сигнальной обмотке наводится переменная составляющая напряжения, амплитуда которой пропорциональна скорости вращения. При изменении направления вращения фаза напряжения на сигнальной обмотке изменяется на 180 градусов. Напряжение сигнальной обмотки усиливается усилителем и выпрямляется фазочувстви-тельным детектором. Постоянная составляющая напряжения на выходе фазового детектора, пропорциональная скорости вращения тахогенератора, регистрируется с помощью шлейфового осциллографа или наблюдается на экране запоминающего электронного осциллографа.

Выходное напряжение фазового детектора дифференцируется с помощью R-C цепочки, с которой также подается на осциллограф для регистрации или наблюдения. Оба процесса могут рассматриваться одновременно.

Несмотря на полное отсутствие беличьей клетки (все контуры вихревых токов, за исключением контуров в активной стали, разомкнуты), под действием вихревых токов в сердечнике, набранном из отдельных изолированных листов стали, все указанные выше роторы, преодолевая момент сопротивления трения, разворачивались до устойчивой скорости, которая была не менее 50% номинальной.

Время разбега двигателя с различными вариантами опытных роторов приводится в таблице:

В результате сравнения характеристик динамического момента вращения двигателя с различными опытными роторами получен ответ на ряд вопросов, поставленных перед экспериментом.

Так, изменение толщины стали ротора в диапазоне 0,35−2 мм незначительно сказывается на величине момента вращения двигателя (рис. 2.4).

При рассмотрении двух предельных случаев: ротор массивный из ст. 45 и ротор, набранный из дисков, толщиной 2 мм, если сравнивать кривые разбега двигателя по величине максимального момента, то для ротора набранного из дисков, она составляет всего лишь около 2% от величины максимального момента, развиваемого сплошным ротором.

Влияние раскрытия паза на динамический момент вращения двигателя показывает сравнение двух кривых момента для ротора с круглыми закрытыми пазами, набранного из изолированных листов стали, толщиной 2 мм и ротора с такой же толщиной листов с полузакрытыми пазами. Кривые практически совпадают.

Влияние раскрытия паза на момент вращения двигателя, выполненного без обмотки, можно проследить, совмещая три кривые (рис. 2.5) для ротора без обмотки с полузакрытыми пазами, для ротора без обмотки с закрытыми пазами и для ротора, набранного из дисков. Во всех случаях ротор набран из изолированных листов стали, толщиной 2 мм. Первые две кривые, для роторов с пазами близки друг другу. Момент вращения для ротора без пазов меньше. В нашем случае, если сравнивать по максимальному моменту, наличие пазов увеличивает момент вращения двигателя приблизительно на 35%.

Характеристики динамического момента вращения двигателя дали возможность определить: какую часть в интегральном моменте составляют те или иные элементы ротора, т. е. выделить какие — то группы контуров при их раздельном действии.

Чтобы посмотреть, какую долю в интегральном моменте вращения двигателя с нормально выполненной беличьей клеткой составляет момент от контуров в стали ротора, сравнивались кривые разбега двигателя для случая ротора с клеткой и ротора без обмотки (с пустыми пазами). Для двух вариантов раскрытия паза, если сравнивать кривые по величине максимального момента, развиваемого в процессе разбега двигателя, доля момента от контуров в стали составляет порядка 1,3% от интегрального момента.

Чтобы оценить, какую долю в интегральном моменте составляет момент от контуров, образованных стернями клетки и сталью ротора, сравнивались кривые разбега двигателя для случая ротора с клеткой, ротора со стержнями, уложенными в пазы (без колец), и ротора с пустыми пазами (рис. 2.6). При сравнении по величине максимального момента, развиваемого двигателем в процессе разбега, доля контура, образованного стержнями клетки и сталью ротора, в интегральном моменте составляет и в случае с полузакрытыми пазами и для закрытых пазов порядка 29%.

Итак, в результате исследований двигателя с опытными образцами роторов установлено, что контуры вихревых токов в стальном шихтованном сердечнике ротора оказывают малое влияние на момент вращения двигателя. В создании же вращающего момента двигателя принимают участие контуры, образованные стержнями клетки и сталью ротора.

При расчете двигателя, как правило, во внимание принимается действие одной только беличьей клетки, т. е. стержней и колец. В расчетных методиках физический процесс идеализируется. Это можно было бы считать допустимым, если бы в ряде случаев не стоял вопрос о точном расчете пусковых характеристик и режимах работы двигателя, когда частота тока в роторе становится близкой к частоте питающей сети, а при реверсе противотоком даже превышает ее вдвое. К тому же в настоящее время получают развитие электроприводы с двигателями на 400 — 1000 Гц.

Taким образом для машин специализированного исполнения, для машин общепромышленного применения, у которых динамический режим в процессе эксплуатации является определяющим, схема замещения двигателя должна быть аналогична схеме замещения многообмоточного трансформатора с числом вторичных обмоток, равных числу рассматриваемых контуров, или, наконец, схеме с двумя вторичными обмотками, если свойства всех контуров вихревых токов в роторе обобщаются в одной интегральной обмотке вихревых токов.

Рис. 2.4. Влияние толщины стали ротора на динамический момент вращения асинхронного двигателя с круглыми полузакрытыми пазами ротора, набранного из листов ст. 1211, толщиной 0,35 мм —; ст. 3, толщиной 2 мм —;

Рис. 2.5.Влияние толщины стали ротора на динамический момент вращения асинхронного двигателя без короткозамкнутой обмотки. Ротор набран из листов ст. З, толщиной 2 мм, с круглыми полузакрытыми пазами —; с круглыми закрытыми пазами —-; ротор, набранный из дисков — * -;

Рис. 2.6. Зависимости динамического момента вращения двигателя с опытными роторами. Ротор с круглыми полузакрытыми пазами, набранный из листов ст. З, толщиной 2 мм

1— ротор с короткозамкнутой обмоткой; 2— со стержнями без колец

асинхронный двигатель вращающий электромеханический

2.2 Вращающий момент асинхронного двигателя и гистерезис С целью выявить факторы, требующие учета в моделировании динамических режимов асинхронных машин, целесообразно было установить какая доля в создании вращающего момента двигателя приходится на явление гистерезиса и сравнить ее с величиной момента, создаваемого вихревыми токами. С этой целью был проведен опыт «скачка гистерезиса» .

Метод скачка гистерезиса служит для разделения потерь холостого хода в асинхронных двигателях. Обмотку ротора размыкают и ротор вращают с различными скоростями при помощи постороннего двигателя. Обмотка статора питается переменным током номинальной частоты, причем напряжение на зажимах статора во время опыта поддерживается постоянным. Потери в роторе на гистерезис и вихревые токи изменяются в зависимости от числа оборотов, а также изменяются потери на трение и добавочные потери, а потери в статоре остаются постоянными. Разделение потерь основано на том, что из мощности, передаваемой на ротор, только одна часть ее, пропорциональная скольжению, идет на покрытие потерь ротора. Другая же часть идет на создание механической мощности, и что добавочные потери так же, как и потери на трение могут быть компенсированы только механической мощностью потому, что пульсации поля, вызывающие при вращении добавочные потери, имеют совсем иное число периодов, чем ток статора, который, таким образом, не может непосредственно компенсировать эти потери.

Результаты опыта скачка гистерезиса приведены на рис. 2.7 для ротора с круглыми закрытыми пазами со стержнями, уложенными в пазы без колец. Кривая 1 имеет скачок, величина которого равна 2Ргист, где Ргист — потери на гистерезис в неподвижном роторе. Если через середину вышеупомянутого отрезка провести горизонталь S S', то расстояние прямой I до этой горизонтали выражает мощность, предаваемую на ротор. Умножая полученные значения на скольжение s, получаем ординаты точек кривой II, расстояние которых от горизонтали S S' характеризуют потери в роторе, а от кривой I — механическую мощность для покрытия потерь на гистерезис и вихревые токи в роторе. Механическую мощность можно разделить, имея в виду, что гистерезисная мощность, превращаемая в механическую на валу двигателя, остается постоянной по величине при изменении скорости вращения.

В результате опыта скачка гистерезиса установлено, что величина гистереэисной мощности, превращаемой в механическую на валу двигателя, для ротора без обмотки и со стержнями без колец, составляет порядка 1% от номинальной мощности двигателя.

Для варианта ротора без клетки доля мощности от вихревых токов и доля гистерезисной мощности в создании механической мощности на валу двигателя соизмеримы. При наличии в роторе стержней без колец доля мощности от вихревых токов существенно возрастает. Так, при скольжении 5% мощность от вихревых токов, идущая на создание механической мощности на валу, составляет 10% от номинальной мощности двигателя.

Рис. 2.7. Результаты опыта скачка гистерезиса для двигателя с отсутствующими кольцами ротора

2.3 Определение параметров интегрального контура вихревых токов Разомкнутая беличья клетка демонстрирует интегральный эффект роторных вихревых токов. Если обратиться к терии цепей и представить математическую модель асинхронной машины с учётом динамики как совокупность взаимоперемещающихся электрических цепей, находящихся в относительном движении, то возникает вопрос, как определить параметры интегрального контура вихревых токов. Здесь могут применяться методы, основанные на теории электромагнитного поля, методы снятия частотных характеристик.

При разработке программного комплекса макромоделирования асинхронных машин с учётом динамики применяется методика определения параметров интегрального контура, изложенная в. Экспериментальные исследования с опытными образцами роторов послужили материалом для создания этой методики расчёта.

Помимо описанных выше экспериментальных исследований, для трёх вариантов роторов: ротора с медной клеткой, набранного из листов стали, толщиной 2 мм с полузакрытими пазами, такого же ротора, но со стержнями без колец, массивного ротора, были сняты характеристики короткого замыкания при различной частоте питания статорной обмотки (f=100 Гц до f=10 Гц) при постоянном отношении напряжения питания к частоте. Оказалось, что параметры ротора со стержнями, уложенными в пазы, без колец очень близки к параметрам массивного ротора. Однако параметры того же ротора с вынутыми стержнями существенно отличаются от параметров массивного ротора. Идентичность разомкнутой клетки и массивного ротора подтверждает сравнение динамических характеристик момента вращения двигателя для этих двух вариантов.

Сближение параметров ротора с заложенными стержнями с параметрами массивного ротора объясняется повышением электропроводности между отдельными листами шихтованного ротора засчёт луженого в паз стержня, контактирующего с листами активной стали.

Таким образом, можно предположить, что при увеличении числа пазов с заложенными в них них стержнями, токораспределение в активной стали шихтованного ротора все в большей мере приближается к токораспределению массивнонго ротоpa. Существенное значение имеет плотность посадки стержня в паз, влияющая на переходное контактное сопротивление между стержнем и активной сталью.

Таким образом, с некоторой степенью точности можно утверждать, что параметры интегрального контура вихревых токов это параметры массивного ротора.

Параметры массивного ротора, полученные экспериментатьно, близко совпали с расчетными значениями, определенными по методике, изложенной в.

Параметры интегрального контура вихревых токов при его совместном действии с контуром основным определяются с использованием методики, изложенной в [4], и соотношений, полученных из схемы замещения.

Выражение

z3'* = z3'(I3'/ I3'*)(ч-1)/2ч (2.1)

является первым уравнением, устанавливающим связь между сопротивлением контура и током через него при отдельном действии контура (z3'; I3') и при его совместном действии с контуром основным (z3'*; I3'*). Здесь ч — порядок параболы В = kH ч-1, с помощью которой аппроксимируют основную кривую намагничивания ферромагнитного материала.

Второе уравнение для сопротивления z3'* и тока I3'*, имеющее вид

I3'* = (Uxм z2') / ((z1 — z3'*)•[xм (z2'+z1)+z2'z1] - z12(z2'+ xм)), (2.2)

получено из схемы замещения. Здесь параметры статора (z1), основной клетки (z2) — расчетные значения. Величина xм определялась из U-образной характеристики (близка к расчетному значению).

Был проведен аналогичный эксперимент с двигателем повышенной частоты (400Гц, АЧМ-21−8). Более высокая сходимость опытных данных с расчетными здесь также обеспечивается при учете контура вихревых токов. Пренебрежение влиянием роторных вихревых токов приведет, по всей вероятности, к большим погрешностям для двигателей повышенной частоты, где наблюдается более ощутимая доля влияния вихревых токов на электромагнитный момент.

3. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МАКРОМОДЕЛИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ МАШИН С УЧЁТОМ ДИНАМИКИ

Чем проще модель, тем реже она обманет

(Принцип надежности)

3.1 Математическая модель асинхронного двигателя в фазной заторможенной системе координат

Для решения задач анализа и синтеза электрических машин, при использовании теории цепей, создаются математические модели в различных координатных системах, каждая из которых имеет свою оптимальную область применения. При разработке программного комплексa макромоделирования асинхронных машин с учетом динамики была цспользована фазная заторможенная система кooрдинат. Модели в этой системе координат имеют неоспоримые преимущества по сравнению с моделями в ортогональных осях, когда требуется моделировать многоорбразие физических процессов в электрической машине. Кроме того, современная электрическая машина является, как правило, звеном болеее сложной цепи. Если внешняя цепь проста, то ее можно преобразовать к системе координат, в которой записаны уравнения машины, если сложна, то её преобразования очень громоздки. Такого рода задачи можно решать в фазных координатах, но здесь система дифференциальных уравнений содержит периодические коэффициенты, обусловленные вращением ротора машины, что увеличивает время численного решения. Задачи этого вида эффективно решаются с применением фазной заторможенной системы координат. Фазы статора при этом преобразовании остаются без изменения, что позволяет пользоваться уравнениями электрического равновесия цепи статора в их исходной форме.

Математическая модель, предложенная Кроном, представляет собой «идеализированную» двухфазную симметричную электрическую машину с двумя обмотками на статоре и двумя обмотками на роторе по ортогональным осям. «Идеализированная» машина имеет гладкий воздушный зазор, без пазов на статоре и ротope, обмотки в виде токовых слоев, имеющих синусоидальное распределение магнитодвижущей силы. Машина ненасыщена, она не имеет нелинейных сопротивлений, поэтому при питании обмоток синусоидальным напряжением поле в воздушном зазоре синусоидальное. Для трехфазной «идеализированной» машины система дифференциальных уравнений в фазных осях имеет следующий вид:

dШA/dt = - iARA + uA, (3.1)

dШB/dt = - iBRB + uB, (3.2)

dШC/dt = - iCRC + uC, (3.3)

dШa/dt = - iaRa + ua, (3.4)

dШb/dt = - ibRb + ub, (3.5)

dШc/dt = - icRc + uc, (3.6)

dщr /dt = p0/J (MЭ — MC), (3.7)

dи/dt = щr, (3.8)

где Шj — потокосцепления фаз; ij — токи в фазах; uj — питающие напряжения фаз; щr — частота вращения ротора; р0 — число пар полюсов машины; J — момент инерции;

МЭ — электромагнитный момент; MС — момент сопротивления на валу; и — угол поворота ротора.

На рис. 3.1 показаны реальные: А, В, С, а, b, с и заторможенные: А, В, С, а~, b~, с~ координатные оси трехфазной системы. На основе проекций токов фаз ротора ia, ib, ic на оси фаз статора находятся выражения для преобразованных токов ротора ia~, ib~, ic~(то же самое для напряжений и потокосцеплений). При их использовании составляется матрица преобразования [9]:

__ 1

M3 = 2/3 cosи 2/3 cos (и+с) 2/3 cos (и-с), (3.9)

2/3 cos (и-с) 2/3 cosи 2/3 cos (и+с)

2/3 cos (и+с) 2/3 cos (и-с) 2/3 cosи где с=2р/3.

Система уравнений (3.1 — 3.8) переписывается в матричной форме

_ _ _

и = [R]•i + dШ/dt, (3.10)

_ _

здесь u = cо1оn (uА, uB, uC, ua, ub, uc), i = colon (iA, iB, iC, ia, ib, ic), [R] = diag (RA, RB, RC, Ra, Rl, Rc), Ш = cо1оn (ША, ШB, ШC, Шa, Шb, Шc).

Рис. 3.1. Реальные (А, В, С, а, b, с) и заторможенные (А, В, С, а~, b~, с~) трехфазные координаты Умножив (3.10) на M3, имеем

M3 • u =[R]• M3 • i + M3 • dШ/dt, (3.11)

M3 • u = u.~, (3.12)

M3 • i = i.~, (3.13)

[R] = [R]. ~ .

Принимаем

Ra = Rb = Rc = Rr,

M3 ?Ш = Ш.~. (3.14)

Одно из слагаемых выражения (3.11) имеет вид

d (M3?Ш)/dt = M3 •dШ/dt + dM3/dt ?Ш ,

M3 • dШ/dt = dШ.~/dt — dM3/dt ?Ш. (3.15)

В выражениях (3.12) — (3.15) u.~, i.~, Ш.~ — преобразованные величины, которые равны

u.~ = со1оп (uA, uB, uC, ua~, ub~, uc~),

i.~ = colon (iA, iB, iC, ia~, ib~, ic~),

Ш.~ = colon (ШA, ШB, ШC, Шa~, Шb~, Шc~).

Определим выражение dM3/dt ?Ш .

__ 0

dM3 /dt = -2/3 dи/dt sinи sin (и+с) sin (и-с). (3.16)

sin (и-с) sinи sin (и+с)

sin (и+с) sin (и-с) sinи Выражение (3.16) умножается на матрицу столбец Ш, после преобразований имеем

__ __ _ 0

G = dM3/dt ?Ш = щr /v3 Шc~ - Шb~, (3.17)

Шa~ - Шc~

Шb~ - Шa~

Преобразованные дифференциальные уравнения в матричной форме имеют вид

u.~ = [R]. ~ • i.~+ dШ.~/dt — G. (3.18)

Относительная частота вращения ротора имеет вид: v = щr /щ, где щr — частота вращения ротора; щ — частота вращения поля.

Итак, имеем систему дифференциальных уравнений электрического равновесия контуров статора и ротора в заторможенных трехфазных координатах

uA = RA •iA + dШA/dt; (3.19)

uB = RB •iB + dШB/dt; (3.29)

uC = RC •iC + dШC /dt; (3.21)

ua~ = Ra~ •ia~ + dШa~ /dt + (Шb~ - Шc~) • vщ/?3; (3.22)

ub~ = Rb~ •ib~ + dШb~ /dt + (Шc~ - Шa~) • vщ/?3; (3.23)

uc~ = Rc~ •ic~ + dШc~ /dt + (Шa~ - Шb~) • vщ/?3; (3.24)

Система дифференциальных уравнений (3.19) — (3.24), уравение движения, алгебраические уравнения электромагнитного момента и потокосцеплений представляют идеализированную математическую модель асинхронной машины в заторможенных координатах.

3.2 Особенности построения алгоритмов макромоделирования асинхронных двигателей с учетом динамики

Программный комплекс моделирования асинхронных машин с учетом динамики представлен макромоделью в фазной заторможенной системе координат, состоящей из одного контура на статоре и двух контуров на роторе, расположенных по одной оси. Комплекс позволяет учитывать многообразие физических процессов в асинхронной машине. Он построен по принципу многоуровневого моделирования и включает три модели:

Модель асинхронной машины с учетом насыщения по главному магнитному пути и путям потоков рассеяния, вытеснения тока в стержнях ротора, роторных вихревых токов (двухклеточный двигатель), динамических энергетических показателей, несинусоидальности напряжения питания (модель 1).

Модель с учетом насыщения по главному магнитному пути и путям потоков рассеяния, вытеснения тока в стержнях ротора, динамичеких энергетических показателей, несинусоидальности напряжения питания (модель 2).

Модель идеализированную (модель 3).

Уравнения электрического равновесия модели I, в матричной форме, имеют вид

dШ.~/dt = - [R]. ~ • i.~ + G + u.~ (3.25)

или дШ.~/дi.~ •di.~/dt = - [R]. ~ • i.~ + G.~ + u.~,

где Ш.~ = colon (ШA, ШB, ШC, Шa1~, Шb1~, Шc1~, Шa2~, Шb2~, Шc2~),

i.~ = colon (iA, iB, iC, ia1~, ib1~, ic1~, ia2~, ib2~, ic2~),

u.~ = со1оп (uA, uB, uC, ua1~, ub1~, uc1~, ua2~, ub2~, uc2~),

[R]. ~ = diag (RA, RB, RC, Ra1~(v), Rb1~(v), Rc1~(v), Ra2~, Rb2~, Rc2~),

G = vщ/?3 colon (0, 0, 0, Шc1~ - Шb1~, Шa1~ - Шc1~, Шb1~ - Шa1~, Шc2~ - Шb2~, Шa2~ - Шc2~, Шb2~ - Шa2~).

Математическая модель асинхронной машины включает выражение для электромагнитного момента

MЭ = p0 v3/2 Lм [(iA ic1~+ iB ia1~+ iC ib1~) — (iA ib1~+ iB ic1~+ iC ia1~) + (iA ic2~+ iB ia2~+ iC ib2~) — (iA ib2~+ iB ic2~+ iC ia2~)] (3.26)

и уравнения движения

dv/dt = p0 /Jщ (MЭ — MC), (3.27)

dи/dt = vщ.

Для учета переменного насыщения магнитной системы асинхронного двигателя здесь применен метод статических и дифференциальных индуктивностей, преимущество которого заключается в едином подходе к учету насыщения главного магнитного пути и путей потоков рассеяния. Особенность этого метода состоит в составлении матрицы динамических параметров, в которую входят статические и дифференциальные индуктивности, зависящие от результирующих токов машины и частоты вращения ротора. Статические и дифференциальные индуктивности определяются из экспериментальных или расчетных характеристик намагничивания. При использовании метода статических и дифференциальных индуктивностей необходимо определить первый член дифференциального уравнения дШ.~/дi.~ - матрицу динамических параметров. Полная матрица динамических параметров учитывает уравнения электрического равновесия и уравнения движения. Элементы матрицы динамических параметров рассчитываются с применением матричного математического аппарата.

Индуктивности, входящие в матрицу динамических параметров, определяются зависимостями:

LSS (iS) = ШS (iS) / iS, Lr1S (ir1) = Шr1 (ir1) / ir1, LмS (iм) = Шм (iм) / iм, (3.28)

для статических индуктивностей и

LSd (iS) = dШS (iS) / diS, Lr1d (ir1) = dШr1 (ir1) / dir1, Lмd (iм) = dШм (iм) / diм, (3.29)

для дифференциальных индуктивностей.

Здесь LS — индуктивность рассеяния статорной обмотки; Lr1 — индуктивность рассеяния первого роторного контура; Lм — взаимная индуктивность между обмотками статора и ротора.

Роторные вихревые токи учитываются в схеме замещения асинхронной машины вторым роторным контуром, расположенным по каждой оси (см. параграф 2.3). Это также может быть модель двухклеточного двигателя.

При разбеге двигателя из-за вытеснения тока в стержнях ротора меняется активное Rr1 и индуктивное Хr1 сопротивления первого роторного контура. Эффект вытеснения тока в стержнях ротора учитывается коррекцией активных и индуктивных сопротивлений основного роторного контура на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений коэффициентами, рассчитанными при использовании метода разделения стержня на элементарные слои.

При известной конфигурации магнитных линий потока рассеяния в пазу стержень роторной обмотки представляется подразделенным на большое число элементарных слоев, изолированных друг от друга бесконечно тонким слоем изоляции. Границы слоев определяются магнитными силовыми линиями. Для каждого элементарного слоя находятся активное и индуктивное сопротивления в расчете на единицу длины стержня. При каждом значении скольжения определяются токи элементарных слоев, после чего рассчитываются активное и индуктивное сопротивления стержня с учетом вытеснения тока. Полученные значения коэффициентов вытеснения тока пересчитываются на величины полных активных и индуктивных сопротивлений первого роторного контура, после чего производится коррекция параметров основного роторного контура. Эти операции исполняются на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений.

Итак, считается, что Rr1 и Lr1 = Хr1/щ постоянны и определены при коэффициентах вытеснения тока равных единице. Тогда истинные значения активного сопротивления и индуктивности первого роторного контура при каждом значении частоты вращения ротора выражаются следующими уравнениями: