Колебания и волны

" Колебания и волны"

колебание физический маятник геометрический

Колебаниями называют движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Колебания и волны играют важную роль в окружающем мире. Распространения звука, свет, радио и телевидение — это волны. Ход часов, раскачивание на каруселях, качка корабля — это колебательные процессы. Разрушение различных конструкций при землетрясениях связано с колебаниями почвы, которые передаются зданиям и сооружениям и вызывают в них огромные внутренние напряжения, приводящие к разрушениям. Воздушные и морские катастрофы нередко вызываются большими колебаниями, возникающими в корпусе корабля или крыльях самолета.

Исследование характера колебаний, их природы и причин является одним из разделов курса общей физики. Существует раздел физики, называемый теорией колебаний, в котором с единых позиций рассматриваются различные колебательные процессы.

1. Основные понятия колебаний

Величины, которые изменяются со временем, могут иметь различный физический смысл: отклонение маятника часов от положения равновесия, сила тока в цепи, температура в помещении или на улице. Колеблющиеся величины могут иметь и нефизический смысл: цена сельскохозяйственных продуктов изменяется в зависимости от времени года, количество и интенсивность различных заболеваний нередко имеют периодический характер (грипп). Мы будем рассматривать в первую очередь колебания, имеющие физическую природу, хотя многие выводы останутся в силе для любых видов колебаний. Колебания называются периодическими, если существует число, такое, что для любых t справедливо равенство

.

Число Т в этом случае называется периодом колебаний.

Колебания называются гармоническими, если величина x (t) изменяется по закону синуса или косинуса. Такое колебание можно описать уравнением

.

Отметим, что уравнение описывает гармонические колебания. Это нетрудно видеть, если выполнить серию математических преобразований Это же уравнение можно привести и к другому виду

где Здесь мы использовали метод введения вспомогательного угла.

Гармонические колебания играют важную роль, т.к. многие периодические колебания можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Непериодические колебания называют квазипериодическими, если их в первом приближении или в небольших областях можно рассматривать как периодические.

Рассмотрим гармоническое колебание

.

Величину, А называют амплитудой колебаний. Это наибольшее возможное значение переменной величины х. Величину называют круговой или циклической частотой колебаний, — начальная фаза колебаний. Величину называют фазой колебаний в момент времени t. Вообще фазой называют аргумент синуса или косинуса.

Установим связь между периодом и частотой гармонических колебаний. Имеем

.

Отсюда

.

Частотой колебаний называют число колебаний, совершаемых в единицу времени

.

Между частотой колебаний и круговой частотой существует связь

.

Единица частоты — герц (Гц): это частота периодического процесса, при котором за одну секунду совершается один цикл процесса. Размерность частоты

.

Аналогично

.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины

.

Имеем Сравнивая эти формулы, видим, что гармонически колеблющаяся величина подчиняется дифференциальному уравнению

.

Или

.

Существует специальный раздел математики — дифференциальные уравнения, в которых исследуются методы решения таких уравнений. Мы в дальнейшем будем считать, что, если задано дифференциальное уравнение

то его решением будет функция

где величины, А и ц принимают любые значения. Для определения этих значений необходимо задать начальные условия, т. е. значения и в начальный момент времени :

Решая систему этих уравнений, можно выразить, А и ц через и .

2. Колебания пружинного маятника

Рассмотрим простейший случай колебаний пружинного маятника, который представляет собой массу т, закрепленную на конце пружины. Известно, что при растяжении или сжатии пружины на величину х возникает возвращающая сила, направленная в противоположную сторону где k — жесткость пружины.

Схема пружинного маятника показана на рисунке Схема На рисунке (а) показано состояние нерастянутой пружины. Начало координат совпадает с равновесным положением массы в состоянии нерастянутой пружины. На рисунке (б) показано состояние растянутой пружины, когда масса смещена вправо на величину х. Составим уравнение колебаний такой механической системы. Имеем:

.

Итак, движение пружинного маятника описывается дифференциальным уравнением колебаний. Решением этого уравнения будет функция

.

Значения амплитуды, А и начальной фазы ц определяются начальными условиями, т. е. условиями в начальный момент времени t = t₀. Частота колебаний маятника зависит от жесткости пружины и массы груза и для выбранного маятника является величиной постоянной.

Определим энергию пружинного маятника и ее изменение при колебаниях. Кинетическая энергия

.

Для определения потенциальной энергии растянутой пружины воспользуемся условием

.

Здесь предполагается, что изменение потенциальной энергии пружины происходит за счет работы, совершаемой при растяжении пружины. Проинтегрируем

.

Итак, потенциальная энергия растянутой пружины определяется выражением

.

Полная энергия пружинного маятника является величиной постоянной и зависит от амплитуды и частоты колебаний. Потенциальная и кинетическая энергии пружинного маятника зависят от времени и являются периодическими функциями.

3. Математический и физический маятники

Математическим маятником называется физическая система, состоящая из материальной точки массы т, подвешенной на нерастяжимой нити длины l и колеблющейся под действием силы тяжести.

Рис.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения

где

.

Отсюда получим

.

Используя обозначение

можем записать основное уравнение колебаний

.

Общее решение этого уравнения

.

Из полученных формул видно, что период и частота колебаний математического маятника

.

не зависят от массы материальной точки и при фиксированном значении g полностью определяются длиной маятника l.

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции.

Рассмотрим колебания физического маятника.

Рис.

Здесь О — точка подвеса, С — центр масс тела, — расстояние между точкой подвеса и центром масс. Уравнение движения где J — момент инерции твердого тела. Для момента сил можно написать Подставим эти значения в уравнение движения где частота колебаний определяется выражением

.

Отметим, что математический маятник является частным случаем физического маятника, и частота колебаний математического маятника получается из предыдущей формулы при Общее решение уравнения колебаний физического маятника так же, как и для математического маятника имеет вид

.

Рассмотрим вопрос об энергии физического маятника. Кинетическая энергия

.

Потенциальная энергия:

Полная энергия:

.

Как видно из последней формулы, полная энергия маятника сохраняется в процессе колебаний.

4. Затухающие колебания

Рассмотрим колебания маятника при наличии сил трения. Кроме возвращающей силы здесь появляется сила трения, которую будем считать пропорциональной скорости:

где r — коэффициент трения.

В этом случае уравнение колебаний принимает вид

.

Введем обозначения:

,

где — коэффициент затухания.

Тогда уравнение колебаний приводится к виду

.

Решение этого уравнения

где — частота колебаний при наличии затухания. Выражение называют амплитудой затухающих колебаний. Зависимость x (t) имеет вид Рис.

Временем релаксации называется величина ф=1/д. Амплитуду затухающих колебаний запишем в виде

.

При t = ф амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики затухающих колебаний вводят различные величины. Рассмотрим некоторые из них.

Логарифмическим декрементом затуханий называется величина, равная логарифму отношения амплитуд колебаний, отличающихся на период.

.

Здесь

— период затухающих колебаний.

Часто используется также величина

называемая добротностью.

Для амплитуды колебаний можно записать

.

Учитывая формулу

можно записать

где — число колебаний, совершаемое маятником за время, когда амплитуда колебаний уменьшается в раз.

5. Вынужденные колебания

Рассмотрим случай, когда на маятник действует внешняя сила

.

Уравнение колебаний в этом случае имеет вид или

где .

Решение уравнения вынужденных колебаний запишем в виде

где

;

общее решение однородного уравнения,

;

частное решение неоднородного уравнения. Здесь

;

угол сдвига фаз,

;

амплитуда, которая зависит от частоты приложенного напряжения.

Функция описывает собственные колебания маятника. Эти колебания не зависят от внешней силы, имеют затухающий характер и спустя время почти исчезают.

Функция описывает вынужденные колебания, создаваемые внешними силами. Это незатухающие колебания с частотой внешнего возбуждения.

Нетрудно показать, что максимальное значение амплитуды достигается при частоте

которая называется резонансной, а само явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте называется резонансом. Резонансная кривая имеет вид, показанный на рисунке.

Рис.

При резонансной частоте амплитуда колебаний возрастает во много раз. Явление резонанса следует учитывать при строительстве зданий, сооружений, машин. Собственная частота колебаний этих объектов должна быть далека от частоты вынужденных колебаний, которым могут подвергаться эти объекты. В противном случае возникают вибрации большой амплитуды, которые могут вызвать катастрофу. Такие случаи неоднократно отмечались.

Вместе с тем явления резонанса могут быть очень полезными, когда требуется многократное усиление необходимых колебаний. Это явление широко используется в радиотехнике, акустике, при создании сверхточных приборов.

Важную роль в технике играют автоколебания. Автоколебаниями называют незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Примеры автоколебаний: часы, ламповые генераторы, двигатели внутреннего сгорания и пр. Строгая теория автоколебательных систем очень сложна, т.к. такие системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, и в большинстве случаев получить строгое аналитическое решение таких уравнений не удается.

6. Волновые процессы

Если рассматривается сплошная среда, то в ней могут распространяться колебания. Процесс распространения колебаний называется волной или волновым процессом. Волны можно разделить на продольные и поперечные.

Волны называют поперечными, если частицы среды смещаются в направлении перпендикулярном направлению распространения волны.

Примерами поперечных волн являются волны на поверхности воды, электромагнитные волны, упругие волны, распространяющиеся в твердых телах.

Волны называют продольными, если частицы среды смещаются в направлении распространения волны.

Для плотности среды в продольных волнах получается периодическая функция (сжатие — растяжение). Примеры продольных волн: распространение звука, внутренние волны в твердых, жидких и газообразных телах.

Отметим, что при распространении волны частицы среды совершают периодические колебания. Поэтому волны и колебательные процессы связаны между собой и имеют много общего. Введем основные характеристики волновых процессов.

Длиной волны называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе (одинаковым образом). Если частица среды колеблется с периодом Т, а скорость распространения волны, то между длиной волны, периодом Т и скоростью распространения волны существует связь

.

Вместо периода колебаний часто используют частоту

которая равна числу колебаний точки среды за единицу времени.

Отметим, что при распространении волны частицы среды не переносятся волной, а лишь совершают колебания. Волной переносится энергия и импульс.

Волновым фронтом называют геометрическое место точек, до которых доходят колебания к рассматриваемому моменту времени. Пример: распространение волны на поверхности воды от брошенного камня.

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновые поверхности могут иметь различную форму: плоские, цилиндрические, сферические волны и др.

Рассмотрим плоскую волну, которая распространяется вдоль оси х.

Рис.

Если смещение точек среды обозначить о (x, t), то распространяющаяся волна описывается уравнением

.

Это уравнение называют уравнением бегущей волны. Здесь, А — а мплитуда волны, — циклическая частота волны, — скорость распространения волны. Часто для характеристики распространяющейся волны используют волновое число

которое является величиной, обратной длине волны. Уравнение бегущей волны в этом случае принимает вид

.

Для описания волновых процессов можно получить специальное дифференциальное уравнение в частных производных (волновое уравнение), которое значительно сложнее, чем уравнение колебаний.

Распространение звука, света, электромагнитного излучения описывается в рамках теории волновых процессов. При распространении и взаимодействии волн возникает много явлений, которые не имеют аналогов в механике: интерференция, дифракция, дисперсия, поляризация и др.

В упругой среде могут распространяться механические волны, которые описываются уравнением

. (4)

Здесь — смещение в точке x в момент времени t, — скорость распространения волны. Уравнение (4) называется волновым уравнением. Одно из простейших его решений

.

Часто это решение записывают в виде

где — волновое число.

7. Основные формулы теории колебаний

1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

.

2. Решение уравнения колебаний

.

3. Период колебаний

.

4. Частота колебаний пружинного маятника

5. Частота колебаний математического маятника

.

6. Частота колебаний физического маятника

.

7. Кинетическая энергия:

1) пружинного маятника

2) физического и математического маятника

.

8. Потенциальная энергия:

1) пружинного маятника

2) физического и математического маятника

.

9. Полная энергия:

1) пружинного маятника

2) физического и математического маятника

10. Уравнение затухающих колебаний и его решение:

.

11. Амплитуда затухающих колебаний

— время релаксации.

12. Логарифмический декремент затухания

.

13. Уравнение вынужденных колебаний и его решение:

.

14. Амплитуда вынужденных колебаний

.

15.Резонансные частота и амплитуда

.

16.Уравнение плоской волны

.

17.Волновое число

.

18.Связь между длиной волны, периодом и скоростью распространения волны

.

Список использованной литературы

1. Трофимова Т. И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.

2. Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304с

3. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.

4. Трофимова Т. И., Павлова З. Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.

5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В. С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

6. Красильников О. М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И. Т., Абрамова С. С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.