Ошибки репрезентативности. 
Оценка достоверности выборочных показателей

Выше было отмечено, что конечной целью исследования является нахождение параметров генеральной совокупности, но в большинстве случаев генеральную совокупность изучают не непосредственно, а пользуясь выборкой. Ограниченность объема выборки и случайность отбора в нее объектов приводят к тому, что выборочные параметры отличаются от генеральных. Эти различия имеют объективную природу, т. е. возникают независимо от исследователя всегда, когда по части (выборке) пытаются охарактеризовать целое (генеральную) совокупность. Ошибки, возникающие при характеристике генеральной совокупности показателями, полученными при изучении выборки, называются ошибками репрезентативности. Не следует путать статистические ошибки с ошибками другого рода: ошибками типичности (когда выборка составлена неправильно и вследствие этого не является репрезентативной), ошибками прибора или инструмента, ошибками при измерении, ошибками в расчетах и т. д. Такого рода ошибки не вскрываются биометрическими методами, они должны быть устранены заранее. Более того, отсутствие таких ошибок в результате измерений дает основание для дальнейшей биометрической обработки материала с целью выявления статистических ошибок (ошибок репрезентативности), которых нельзя избежать при использовании выборочного метода и которые совершенно необходимо учитывать, чтобы сделать научно обоснованные выводы.

Ошибки репрезентативности показывают степень соответствия выборочных параметров параметрам генеральной совокупности. Чем меньше цифровые значения ошибки, тем точнее вычисленный параметр, тем ближе его значение к значению соответствующего параметра генеральной совокупности.

Согласно закону больших чисел практически маловероятно существенное отклонение выборочного параметра (X, а и др.) от соответствующего параметра генеральной совокупности, если число наблюдений достаточно велико. При изучении всех членов генеральной совокупности статистических ошибок быть не может, так как генеральный параметр находится (рассчитывается) непосредственно.

Пример. Если необходимо охарактеризовать по удою группу коров, закрепленных за каким-то оператором машинного доения, то, принимая во внимание ограниченный объем данной генеральной совокупности можно провести сплошное обследование, т. е. учесть удой у всех коров, входящих в данную группу. В этом случае рассчитанные по всем животным средняя арифметическая (X) и среднее квадратическое отклонение (а) будут генеральными параметрами.

Ошибки вычисляются для всех выборочных параметров и обычно обозначаются буквой т с подстрочным указанием знака того параметра, для которого они определяются: т_х; т_а; т^ и т. д. (в зарубежной литературе ошибку часто обозначают буквой S со знаком своего параметра: S_x; S_a; и т. д.).

Если генеральная совокупность велика, то ее приравнивают к бесконечности (оо). в этом случае ошибку выборочной средней арифметической (X) вычисляют по формуле.

где т.х — ошибка средней арифметической (X); а — среднее квадратическое отклонение; п — численность выборки.

Из формулы следует, что величина ошибки средней арифметической зависит от значения, а и п, причем чем меньше разнообразие признака, тем меньше ошибка. При полной однородности совокупности по изучаемому признаку (о = 0) средняя ошибка равна нулю, т. е. X выборки становится равной X генеральной совокупности. Величина средней ошибки обратно пропорциональна корню квадратному из объема выборки (л/п). Поскольку в практической работе уровень варьирования признака (о) изменить (уменьшить) обычно не представляется возможным, для повышения точности определения Х_ген необходимо увеличить п.

В малых выборках т% вычисляется по следующей формуле:

где п —1 = v — число степеней свободы.

Ошибка — величина именованная (см, кг, % и т. д.), выражается в тех же единицах измерения, что и средняя арифметическая. Средняя арифметическая величина, как и другие параметры совокупности, обычно записывается вместе со своей ошибкой: Х±т_х.

Допустим, в выборке из 100 коров среднесуточный удой X = 21,26 кг, а о = ±3,68. Ошибка средней арифметической в данном случае составит 772у = ±-^= = ± = +0,368 кг. Это означает, что средняя ошибка.

* л/п VlOO на 100 голов — 0,368 кг. Следовательно, среднесуточные удои изученной выборки характеризуются Х±т.х =21,26±0,368 кг.

Для следующего примера возьмем высоту в холке жеребцов чистокровной верховой породы, где Х = 160,9 см; п = 93; а = ±3,4 см:

Ошибки других выборочных показателей вычисляют по следующим формулам:

а.

• среднего квадратического отклонения — тп_а = ± .—;

у2п.

с

• коэффициента вариации — m_cv = ± 2—;

j2n

h —

• коэффициента корреляции: для малой выборки — гтг,. =±_Л/-;

V п-2.

• 1 —
• • ДЛЯ большой выборки — ТП_Г = ±-

у/п

• коэффициента регрессии — ^mR_y/x ~ -^mr' ^mR_x/y ~ —^mr ~;

с_х с> у

Достоверность выборочных показателей (t) определяется отношением выборочного показателя к его средней ошибке по формулам.

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. Вычислить ошибки репрезентативности:

• • средней арифметической для большой и малой выборок, пользуясь данными заданий 1—15 главы 3 (см. параграфы 3.1, 3.8);
• • среднего квадратического отклонения для большой и малой выборок, пользуясь данными заданий 1—15 главы 4 (см. параграфы 4.1, 4.2);
• • коэффициента вариации для большой и малой выборок, пользуясь данными заданий 1—15 главы 4 (см. параграф 4.4);
• • коэффициента корреляции для больших и малых выборок, пользуясь данными заданий 1—15 главы 5 (см. параграфы 5.1, 5.2);
• • коэффициента регрессии для большой и малой выборок, пользуясь данными заданий 1—15 главы 5 (см. параграф 5.7).

Задание 2. Вычислить достоверность выборочных показателей t для X, a, cv, г, R в больших и малых выборках, пользуясь данными задания 1 темы 6.