Алгоритмы и программы обработки данных

В компьютерной системе Mathcad имеется инструмент «Статистический анализ». С его помощью осуществляются ввод исходных данных, вычисление средних, среднего квадратического отлонения и матрицы корреляций. Далее вычисляются по заданной точности главные собственные значения, собственные векторы и матрица факторных нагрузок. Ввиду того что в системе имеется ограничение по точности воспроизведения корреляционной матрицы главными компонентами, в ней предусмотрена реализация метода варимаксного вращения компонент, так чтобы при заданном числе компонент они максимально описывали корреляционную матрицу. После итерационной процедуры вращения печатаются повернутая матрица факторов и результаты проверки на совместимость.

На основе указанной программы на кафедре электроники МГОУ разработан ряд программ, осуществляющих вычисление (кроме упомянутых характеристик) значений компонент и вычисление параметров уравнений регрессии через главные компоненты. Все программы составлены так, что они принимают расширенную матрицу исходных данных, включающую до 20 факториальных и результативных признаков. Специальными картами отбора задаются номера переменных, принимаемых за факториальные и результативный признаки. В некоторых программах осуществляется отбор значимых компонент, в другие встроены вспомогательные процедуры вычисления теоретических значений уравнений регрессии и факториальных признаков.

Алгоритм дисперсионного анализа методом главных компонент

Алгоритм написан для Mathcad и предназначен для анализа М переменных^-, с N случайными измерениями, методом главных компонент. Алгоритм предусматривает включение двух процедур: COR и OWN.

В первой процедуре вычисляется вектор средних значений каждой из переменных:

Затем вычисляются несмещенные оценки элементов ковариационной матрицы (корреляционные моменты):

На основе этой матрицы строится матрица оценок корреляционных коэффициентов:

где D; = К_й — дисперсия случайной величины X_t; D_k = K_kk — дисперсия случайной величины Х_к.

Корреляционная матрица расширяется путем добавления в нулевую строку оценок дисперсий и является матрицей результата процедуры.

Согласно теории, метод главных компонент заключается в таком преобразовании ковариационной матрицы (3.23), что она превращается в диагональную с сосредоточением суммарной дисперсии в диагональных элементах. При этом осуществляется переход от старых переменных X_t к новым линейно-независимым переменным Y_k с независимыми дисперсиями. Такой переход является линейным преобразованием:

Матрица преобразования С_к] определяется через элементы собственных векторов уравнения преобразования ковариационной матрицы:

где ||X_fc|| — диагональная матрица с элементами Х_к. Уравнение (3.26) имеет М собственных значений (X = Х_1г Х₂, …, Л_м) и М удовлетворяющих им собственных векторов:

Собственные векторы удовлетворяют условию ортонормированности:

Вычисление собственных значений Х_к и собственных векторов осуществляется в процедуре с помощью стандартной подпрограммы OWN. Результат получается в виде матрицы G', где в нулевой строке содержатся собственные значения в порядке убывания, а в оставшихся М строках — собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. На месте исходной матрицы X образуются значения новых ортонормированных переменных.

расположенных в порядке убывания вклада их дисперсий в суммарную дисперсию.

Суммарную дисперсию D₀ = det||Ky-|| можно представить в виде.

N.

где (2у = X}^/2Gij, G₍j = x_ikyj_k — коэффициенты разложения i-й реализа;

к=1

ции по собственным функциям у -.

Анализ результатов вычислений заключается в выборе к < М первых компонент, собственные значения которых составляют основной вклад в дисперсию. Вклад исходных переменных в соответствующую главную компоненту определяется значениями С| или G| согласно формуле (3.26).