Применимость и эффективность математики

Применимость математики к окружающему миру означает познаваемость мира посредством математики. Вопросы соотношения реальности и математики вызывают серьезную полемику^[1].

Проблема применимости математики имеет два аспекта — философский (теоретический) и прагматический (практический). Философская проблема применимости математики необходимо носит метафизический и объективистский характер. Это проблема о том, почему математика применима к реальности в принципе. Ее решение принадлежит эпистемологии и опирается только на те или иные фундаментальные онтологические принципы, на феноменологию, природу и специфику самой математики. Метафизическое решение проблемы применимости математики не зависит ни от истории математики, ни от математической деятельности человека.

Прагматическая проблема применимости математики неразрывно связана с человеческой деятельностью и, стало быть, имеет субъективистский характер. Она формулируется в следующем виде: как, каким конкретно образом математика приложима к действительности? Решение прагматической проблемы применимости математики относится к истории и методологии математики, методике ее приложений, отчасти и к гносеологии. Здесь важнейшую роль играет познающий субъект. Эту проблему можно расчленить на следующие вопросы: генезис математики в человеческом обществе; познание самой математики; математическое описание действительности.

Эффективность приложений математики трактуется как адекватность, как соответствие математических моделей описываемым ими реальным ситуациям. Теоретически проблема эффективности вторична по отношению к проблеме применимости. И она полностью решается в ходе решения философской и прагматической проблем применимости математики.

Из человеческой практики известно, что математика стала сразу достаточно успешно применяться в исследовании и описании самых разнообразных явлений окружающего мира. Почему такая применимость оказывается принципиально возможной? Почему мир математически познаваем? Простое решение данного вопроса, состоящее в том, что математика сама произошла из опыта, односторонне и нас не может удовлетворить.

Мы находим ответ на этот фундаментальный вопрос в метафизике. Будем опираться на следующие положения.

Во-первых, мы исходим из принципа единства мира, утверждающего, в частности, что нет непроницаемых границ между субъектом, объектом и знанием об объекте. Этот великий принцип берется нами в качестве главного постулата. Никакое обосновательное рассуждение невозможно без принятия некоторых допущений (первичных понятий, аксиом, очевидностей). На наш взгляд, такой философской аксиомой и служит принцип единства мира. Изгонять его на самый верх дедуктивной лестницы недальновидно и даже самонадеянно. Принципиальное единство мира — базовое положение, причем понятное, достаточно очевидное и реалистичное. Бытие (материи, общества, человека) и сознание (индивидуальное, общечеловеческое, любое) подчиняются одним и тем же всеобщим законам Мироздания. Законы диалектики тому пример. Заметим, что идея всеединства, т. е. единой основы и естественной взаимосвязи человеческого сознания (идеального) и абсолютного бытия (реального), является базовым элементом метафизики и гносеологии С. Л. Франка [571].

Во-вторых, математика — наука о структуре сущего. Все имеет свою структуру. Структура — это, прежде всего, мера и форма. Измеряемость и измеримость связаны с идеей координатизации, относящейся к категории количества. Объектом изучения математики служат основополагающие философские категории количества и формы и самые разнообразные их проявления, взятые в наиболее общем и чистом виде. Там, где структура объекта выявлена, объект «измеряем», то есть могут быть получены его количественные и «формовые» характеристики, позволяющие включить объект в определенную систему «координат», — там можно (и нужно) рассчитывать на применение к нему математики. Заметим, что общей теории измерений, отражающей многообразные аспекты количественного метода в науке, посвящена монография К. Берки [37]. Обоснованием теории измерений занимался А. Лебег [302]. Р. Фейнман писал [559]: «Угадывание уравнения, по-видимому, очень хороший способ открывать новые законы. Это лишний раз доказывает, что математика дает глубокое описание природы, а всякая попытка выразить природу, опираясь на философские принципы или интуитивные механические аналогии, не приводит к серьезным результатам».

В-третьих, математика исследует объекты как «вещи в себе», анализирует проявления объекта, явление вещи, а не их изменчивое содержание и неуловимую сущность. Математическое описание объекта — это его видение сквозь призму «внешних» категорий формы и количества, улавливание поведения вещи по кибернетическому методу входа-выхода. Это рациональный, реалистичный и адекватный подход к познанию действительности, пресекающий возможные спекуляции по поводу окончательного понимания сути вещей.

Тем самым мы приходим к принципу математизации знания, который и означает безусловную применимость математики к точному знанию. Точное знание есть знание вполне определенное и общезначимое, допускающее обоснование, т. е. это истинное знание. Математика выступает как критерий научности: область знания научна, если к ней применима математика.

Математика обладает свойством общезначимости своего языка, что в целом присуще и всем точным наукам. Но математикам легче понимать друг друга. Благодаря логике люди разных национальностей также могут общаться. Классическая двузначная логика, как и другие точные ее разновидности, — составная часть математики. Представляется, что за счет универсального характера математических абстракций и другие разумные существа способны найти общий язык между собой — по крайней мере, математический. Разные народы Земли имеют в принципе одинаковую математику (в настоящее время унифицированную). А разумные существа разных миров должны иметь изоморфные математики, возможная главная проблема здесь — идентификация различных символик.

Слова «реальность», «действительность», «мир», «природа» мы употребляем в качестве синонимов. Они как бы подчеркивают свою смысловую объективность и материальность и чисто теоретически противопоставляются продуктам человеческого разума как чему-то субъективному, идеальному точно так же, как объект противоположен субъекту. На самом же деле есть один единый Мир, вмещающий все и вся и созвучный Бытию. Человек познает мир, в том числе себя и свое мышление. Мы можем говорить о знании, содержащемся в человеческом сознании, и мировой информации, заключенной во всеобщем Разуме. Наше знание объективнее нас, поскольку сопряжено с объективной реальностью.

С. Р. Когаловский видит причину применимости математики в следующем: «Фундаментальные математические концепции являются „отражениями“, моделями не самого „внешнего мира“, а способов его „отражения“ (являющихся продуктами математической культуры), и в этом объяснение их универсальной приложимости» [267].

В своей статье [426], как раз посвященной проблеме применимости математики, профессор X. Позер, анализируя математику и как абстракцию, и как конструкцию, останавливается на синтезе подходов X. Райхенбаха и Л. Витгенштейна к правилам и действиям, определяющим методологию применимости математики. Такое решение проблемы является прагматическим.

Понимание математики как конструкции означает, что математические результаты (понятия, идеи, факты, построения) есть продукт интеллектуальной деятельности человеческого мышления, довольно свободно и произвольно выстраивающего математическую реальность. Думается, однако, что математики открывают математические абстракции, а не изобретают или придумывают их. Проведем аналогию с конструктором, собираемым ребенком. В конструкторе имеется много деталей, из которых можно собрать разные предметы. Обычно предлагаются и образцы для моделей. Можно собирать и другие предметы, и возможна своя последовательность сборки одного и того же предмета. Здесь нет жесткой детерминированности. В математике же собирается один канонический образец, но это может быть сделано по-разному.

Понятия и теоремы математики квазиэмпиричны: для математика число пять не менее объективно и реалистично, чем пять пальцев на руке, а понятие прямой линии не менее ощутимо, чем край стола или отвес. Более глубокий ум способен быстрее, мощнее и красивее провести доказательство той или иной теоремы. Но способ доказательства так же, как сама теорема, обладает неким бытием, извлекаемым пытливым умом и предлагаемым вниманию коллег. Глубина разума отдельного человека определяется его познавательными качествами. Решение конкретной математической задачи происходит в процессе целенаправленного погружения в контекст задачи, конструктивной работы мышления. Эта конструктивная работа есть не что иное как сократовский диалог (называемый майевтикой) ума с самим собой. Череда вопросов и ответов на них позволяет выстраивать цепочку атомарных рассуждений, складывающихся в доказательство теоремы или в решение задачи.

Так схематично выглядит сознательный и целенаправленный математический процесс. Существует и подсознательное, интуитивное схватывание истины. Имеется множество свидетельств научных прозрений и аналогичных актов художественного творчества. В чем здесь дело? Почти мистический ответ дал в свое время Платон. Как известно, он выдвинул теорию «припоминания идей». Сегодня, т. е. на современном языке, ее можно сформулировать следующим образом. При напряженном размышлении подготовленного ума над проблемой происходит некий «прострел сознания», ясно и ярко высвечивающий решение вопроса. Этот прострел сознания и есть платоновское припоминание идей. Его можно интерпретировать и как ретрансляцию ответа мозгом при его настройке на соответствующую волну, т. е. при концентрации мыслей познающего субъекта. И это не миф и не мистика. Академик Н. П. Бехтерева, всю свою жизнь посвятившая исследованию человеческого мозга, не раз высказывала взгляды о ретранслирующей функции мозга. Мозг не создает мысли, он только инструмент индивидуального мышления, вплетенного во вселенскую паутину Информации (но не в Интернет). Синергетики (о синергетике речь пойдет ниже) рассматривают творческий процесс как динамическую систему, в которой озарение происходит на неустойчивой стадии ее развития как закономерный скачок, соответствующий точке бифуркации системы.

Напомним еще, что Платон [423] называл математику «срединной наукой», связывающей Мир вещей с Миром идей. Мы можем назвать это связью между материей и сознанием, субъектом и объектом, человеческим разумом и реальностью. В силу принципиального единства мира такая связь должна существовать. И именно математика выступает посредницей взаимосвязи человеческого разума и объективной реальности, которая есть все Бытие. Тем самым реальность познаваема с помощью математики.

Любая математическая конструкция, будь то новое понятие, объект или метод, есть факт, найденный (обнаруженный, открытый) математиком. И если решаемая задача четко сформулирована и важна, то этот факт будет переоткрыт и станет общеизвестным и общезначимым.

В данной трактовке математические конструкции мало отличаются от математических абстракций, относящихся к кругу платоновских идей-эйдосов.

Материальный мир (реальность) и идеальный мир (сознание) суть две взаимодействующие стороны единого Мира, общего Бытия. Поэтому нет ничего удивительного в том, что реальные законы природы и их абстракты, схваченные и выраженные в понятиях и моделях, соответствуют друг другу. В силу универсальной структурности математики математические схемы принципиально совместимы с действительностью, допускают определенное наложение на реальные ситуации. А это позволяет математике более или менее адекватно и точно описывать реальность.

В Мироздании — как в сознании, так и в физическом мире — существуют необходимые и случайные явления, линейные и нелинейные процессы, сосуществуют причинность (детерминизм), относительность (релятивизм) и непредсказуемость, порядок и хаос, устойчивость и неустойчивость, обратимость и необратимость и т. д. В физическом мире — реальные вещи и явления, а в сознании — соответствующие категории и идеальные сущности. С точки зрения философии их сопоставлением и взаимосвязями занимается теория познания.

Мы далеки от конвенционализма, утверждающего, в частности, возможность и наличие общих понятий, не имеющих аналогов в Бытии. Например, существует категория времени, а в реальности времени якобы не предусмотрено. Такие понятия-соглашения по необходимости приобретают чисто субъективный и условный характер, поддерживают какую-нибудь научную теорию, удобную ее приверженцам, но не отображающую никакую реальность. Как было отмечено выше, все универсалии имеют свою определенную онтологию. В этом вопросе большинство математиков являются приверженцами платоновского реализма. Фундаменталистское направление в философии науки также отрицает концептуализм, поскольку за понятием видит не только обозначение общего свойства некоторого класса вещей, а признает стоящую за ними некую сущность, выражаемую данным понятием.

В голове человека нет ничего такого, что до этого нигде еще не было. Имеется лишь некая способность к воображению, связанному с субъективным мироощущением. Например, в свое время кому-то представился образ сфинкса, и древние египтяне изваяли его статую в Гизе. Поэтому у различных народов и возможны разные культуры. В детском конструкторе, коль известны части, в перспективе, в возможности известны и все вещи, которые из них можно собрать. Все возможное в Мире есть сущее, или существует уже в зародыше и способно к становлению, или присутствует в самой возможности. Человеческий мозг, скорее всего, есть ретранслятор некоторых информационно-энергетических потоков, улавливатель «тонкой материи». С другой стороны, вполне возможно, что в Природе есть нечто принципиально недоступное человеческому познанию.

Казалось бы, наука открывает неизведанное, техника изобретает несуществующее, искусство творит воображаемое, религия дает откровение. Здесь идет речь о научной, инженерно-конструкторской, художественной и религиозной формах сознания и познания мира. Да, наука открывает все новые истины, а религия неотделима от веры. Для многих ученых союз науки и религии был плодотворным. Вера задавала цели и подвигала науку к ним [336, с. 168]. Но что значит изобрести еще никогда не существовавшее и сотворить совершенно новый художественный образ?

Свой философский подход к обоснованию надежности и достоверности математических истин развивает В. Я. Перминов в [412]. Он исходит из априорного характера математических абстракций и праксеологического принципа, означающего, в частности, что «знание имеет только одно назначение — практическое» [336, с. 31].

Литература

: [5, 37, 48, 60, 76, 78, 124, 213, 258, 259, 267, 302, 336, 337,423, 426, 469, 571].

• [1] Круглый стол «Математика и реальность» // Вестник ВятГГУ. 2011. 1(1). С. 6—27.