Тестовые задания.
Философия математики

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Учебные задачи. Обучающие упражнения и задачи по абстрактной алгебре разнообразны, их можно найти в известных задачниках. Задачи полезно группировать по тематическим циклам и/ или сериям заданий. Скажем, можно выделить и сформировать серию обучающих задач на понятие порядка элемента группы — одного из важнейших и основополагающих понятий теории групп (см.): Пусть преобразование плоскости (т. е… Читать ещё >

Тестовые задания. Философия математики (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

^[1]

Алгебраические задачи. Для предварительного отбора в аспирантуру по специальности 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел претендентам предлагается решить следующие тестовые задач по абстрактной алгебре:

1. Пусть группа обладает единственным элементом второго порядка. Докажите, что этот элемент перестановочен с каждым элементом группы.
2. Установите изоморфизм между мультипликативными полугруппами всех натуральных чисел и всех нечетных натуральных чисел. Опишите все такие изоморфизмы.
3. Докажите, что любая конечная полугруппа имеет идемпотентный элемент е (е² = е).
4. Могут ли быть изоморфны аддитивная и мультипликативная группы одного и того же тела?

5. Перечислите (с точностью до изоморфизма) все группы, содержащие не более семи элементов.
6. Является ли аддитивная группа Z х Z циклической?
7. Покажите, что мультипликативная группа бесконечного поля не является циклической группой.
8. Покажите, что всякое конечное кольцо без (ненулевых) делителей нуля является телом.
9. Когда кольцо Ъ_п классов вычетов по модулю п имеет: делители нуля; нильпотентный элемент а (а^т = 0 для некоторого натурального числа т); идемпотентный элемент?
10. Докажите, что любой ненулевой гомоморфизм поля всех действительных чисел в себя является тождественным отображением.
11. Найдите все унары, имеющие не более четырёх элементов.
12. Выпишите таблицы Кэли всех двухэлементных группоидов.
13. Сколько всего существует попарно неизоморфных двухэлементных полугрупп?
14. Определите все кольца, имеющие не более трёх элементов.
15. Составьте список двухэлементных полуколец, а также всех трёхэлементных полуколец с единицей.
16. Пусть р — наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы G, и Н — её подгруппа индекса р. Докажите, что Н — нормальная подгруппа группы G [10, с. 70, упр. 3].
17. Покажите, что любая группа порядка 15 циклическая [10, с. 70, упр. 6].
18. Докажите, что в конечных кольцах с единицей 1 выполняется квазитождество ху = 1 =>ух = 1.
19. Проверьте, что всякое отображение конечного поля F в себя может быть представлено в виде многочлена от одной переменной с коэффициентами из F.
20. Докажите, что для конечного поля F любое отображение Fⁿ —> F (п. g N) представимо многочленом из F[x_1}…, х_п] [10, с. 164, упр. 6г)].

Отметим, что к нам в аспирантуру и магистратуру поступает, главным образом, молодежь, имеющая педагогическую специальность Математика с дополнительной специальностью Информатика. Не все они занимались в студенческих алгебраических кружках и участвовали в НИРС по алгебре, и поэтому самостоятельное решение этих задач давалось не каждому. Но, безусловно, понимание и способность решить подобные задачи является необходимым условием успешной учёбы в аспирантуре по современной алгебре.

Прокомментируем приведенные задачи 1—20.

Во-первых, это тестовые учебные задачи по абстрактной алгебре.

Во-вторых, некоторые из них, скажем, задачи 5, 7, 16, 17 и 20, носят учебно-исследовательский характер.

В-третьих, задачи 2, Л—7, 10—15 и 17 суть задания, пронизанные фундаментальной идеей изоморфизма.

В-четвёртых, задачи 5, 11—15 являются характерными упражнениями на распознавание и идентификацию конечных алгебраических структур, на выяснение строения алгебраических объектов с малым числом элементов.

В-пятых, все задачи имеют свою «изюминку», позволяющую выявить у студента как понимание заданной ситуации, так и способность ее разрешить.

Наконец, некоторые задачи из данного списка допускают естественное продолжение и развитие, ведущее к новым учебно-исследовательским задачам. Например, к задаче нахождения всех трёхэлементных полугрупп и трёхэлементных полуколец. Задача 20 приводит к постановке проблемы описания функционально полных колец.

Другие задачи. Наряду с алгебраическими задачами, в качестве тестовых заданий при подготовке в магистратуру и аспирантуру вполне естественно и весьма полезно давать задачи общематематического содержания. Приведем ряд таких задач:

21. Пусть даны конечное множество А с определённым на нём п-арным отношением р (п е N) и взаимно-однозначное отображение g: А —>А. Покажите, что если g сохраняет отношение р, т. е. p (a_l5 …, а_п) влечёт p (f (а_г), …,/(a_n)) для любых а_ь …, а_пе А, то обратное отображение g-¹ также сохраняет отношение р.
22. Проверьте, что произвольное отображение единичного отрезка в себя, непрерывное или сохраняющее порядок, имеет хотя бы одну неподвижную точку.
23. Докажите, что элементарные тригонометрические функции не являются многочленами. Более того, они функционально не совпадают с многочленами ни на каких нетривиальных числовых промежутках.
24. Всегда ли равномощны множества левых и правых смежных классов группы по одной и той же подгруппе?
25. Почему окружность не гомеоморфна отрезку?
26. Пусть преобразование плоскости (т. е. взаимно однозначное отображение плоскости на себя) сохраняет коллинеарность точек, т. е. переводит каждую прямую в прямую. Докажите, что обратное к нему преобразование также отображает прямые линии на прямые линии. Обязано ли преобразование плоскости, отображающее окружности в окружности, сохранять коллинеарность точек?
27. Нарисуйте все простые графы с п < 4 вершинами.
28. Изобразите (диаграммами Хассе) все упорядоченные множества с п < 4 элементами. Сколько отношений порядка можно задать на п-элементном множестве для п = 1, 2, 3, 4?
29. Найдите — с точностью до гомеоморфизма — всевозможные топологические пространства с п < 4 точками. Сколько существует топологий на п-элементном множестве при п = 1, 2, 3, 4? См. [5].
30. Пусть числа 0< Уг < 1 служат «истинностными» значениями для трёхзначной логики (0 обозначает ложь, 1 — истину, Vi — «возможно»). Предположим, что дизъюнкция v (конъюнкция л) трактуется как взятие max (min), импликация —> означает обычный двухместный предикат b = la—> b = 0 в противном случае, отрицание задаётся формулой ~>а = 1 — а. Всякое ли отображение множества {0, Уг, 1} в себя может быть представлено формулой данной логики высказываний от одной пропозициональной буквы? Заметим, что в этой трёхзначной логике выполняются законы двойного отрицания -'(-'а) и тождества а = а, но неверны законы отрицания противоречия -'(ал ~'а) и исключенного третьего a vчз (почему?).

Различные задачи и упражнения по структурным разделам математики можно найти в книге [3], некоторые элементарные задачи металогического характера содержатся в [4], методологические и методические вопросы изучения абстрактной алгебры анализируются в [7]—[9]. Хочется отметить учебник выдающегося алгебраиста и педагога Сержа Ленга [10], богатый конкретными математико-методическими идеями и содержащий целый ряд поучительных задач по абстрактной алгебре (группы, кольца и модули, поля), теории многочленов, линейной алгебре.

Тестовые задачи можно подразделить на следующие типы:

• проверочные упражнения на знание определений понятий (назовём задачи 11—15, 27—29);
• учебные задания на понимание (задачи 1—9, 18, 21, 24, 26, 30);
• учебные задачи на умение применять известные знания и методы (к ним можно отнести задачи 10, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 29);
• учебно-исследовательские задачи на определение интеллектуального уровня студента в данной области математики (см. [1]);
• научно-исследовательские задачи на выявление исследовательских способностей к научной работе по математике (см., например, [6]).

Тестовые задачи относятся к контролю качества обучения и определяют уровень усвоения знаний и умений студента по определенной тематике. Помимо них имеется огромный пласт обучающих задач.

Учебные задачи. Обучающие упражнения и задачи по абстрактной алгебре разнообразны, их можно найти в известных задачниках [10, 11, 13—15]. Задачи полезно группировать по тематическим циклам и/ или сериям заданий. Скажем, можно выделить и сформировать серию обучающих задач на понятие порядка элемента группы — одного из важнейших и основополагающих понятий теории групп (см. [3, с. 93—95]):

1) Найдите порядки всех элементов следующих групп:

a) аддитивной группы Ъ_п при п = 2, 3, …, 12, 15, 24, 30;

b) мультипликативной группы кольца Z_n для п = 2, 3, …, 12, 18, 30;

c) группы S_n подстановок п-й степени (п < 5);

d) группы самосовмещений правильного тетраэдра;

e) группы D_n диэдра при п < 10;

f) группы кватернионных единиц;

g) мультипликативной группы обратимых матриц размера 2×2 над полем Z₃;

h) факторгруппы R/Z аддитивной группы R.

2) Пусть а, Ь, с — элементы произвольной группы. Проверьте, что следующие пары элементов имеют одинаковые порядки: а и а^-1; аЪ и Ъа; aba~¹ и Ь; аЪс и Ъса. Всегда ли это верно для элементов аЪс и асЪ?
3) Пусть элементы а, Ъ некоторой группы имеют конечные порядки тип. Докажите, что в случае аЪ = Ъа элемент ab имеет конечный порядок, равный НОК (т, п). Верно ли это в общем случае?
4) Докажите, что всякая (мультипликативная) группа, все неединичные элементы которой имеют порядок 2, абелева.
5) Покажите, что любая конечная группа чётного порядка содержит элемент порядка 2.
6) Докажите, что для каждого простого делителя р порядка произвольной конечной абелевой группы в ней существует элемент порядка р.
7) Докажите, что в любой конечной группе нечётного порядка каждый элемент служит квадратом некоторого однозначно определенного элемента.
8) Чему равно произведение всех элементов циклической группы порядка п? Какой отсюда можно сделать вывод для циклических групп чётного порядка?
9) Найдите квадрат произведения всех элементов конечной абелевой группы.
10) Чему равно произведение всех образующих циклической группы n-го порядка?

[1] В этом пункте ссылки даются на свой список литературы, помещенный в концепункта.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой