Расчет нелинейных систем методом статистической линеаризации

Статистическая линеаризация нелинейных элементов позволяет применять для анализа нелинейных САУ методы, рассмотренные в теории линейных систем, и с их помощью определить статистические характеристики случайных сигналов исследуемой нелинейной системы.

Несмотря на то что метод статистической линеаризации является приближенным, он во многих практических расчетах обеспечивает необходимую точность. Следует отметить, что погрешность снижается с уменьшением полосы пропускания линейной части исследуемой системы. Точность метода также тем выше, чем больше плотность вероятности случайного процесса на входе НЭ приближается к нормальному закону.

Ниже приводится последовательность действий при расчете замкнутых САУ с одним нелинейным элементом на основе метода статистической линеаризации. Структурная схема системы показана на рис. 2.6, а. На входе САУ действует стационарный случайный процесс z (t) с нормальным законом распределения. Этот входной сигнал может представлять собой либо управляющее воздействие (полезный сигнал), либо линейную комбинацию управляющего воздействия и возмущения (помехи). Передаточная функция линейной части W (p). Для простоты предполагается, что НЭ имеет однозначную нечетную статистическую характеристику и = (p (z).

Рис. 2.6. Нелинейная система (а) и ее эквивалентное представление (б).

В результате расчета требуется по заданным статистическими характеристикам входного случайного процесса определить математическое ожидание т₂ и дисперсию D_z ошибки z (t) в установившемся режиме, которая также является случайным процессом.

Если линейная часть САУ описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, то случайный процесс z (t) на входе НЭ имеет нормальный закон распределения. Это следует из того, что z (t) есть разность между входным и выходным сигналами; закон ее распределения оценивается статистическими характеристиками.

Согласно вышесказанному входной сигнал x (t) имеет нормальный закон распределения. Закон распределения случайного сигнала на выходе НЭ u (t) в общем случае отличается от нормального. Однако, проходя через линейную часть системы W (p), являющейся в большинстве случаев низкочастотным фильтром, он нормализуется — сигнал y (t) будет иметь закон распределения, близкий к нормальному [1, 12].

С учетом этого сигнал на выходе НЭ в результате его замены линейным статистически эквивалентным звеном может быть представлен следующим образом:

где /с₀(т₂, D_z) и /с_а(т₂, D_z) — эквивалентные статистические коэффициенты усиления НЭ, соответственно по математическому ожиданию и по случайной составляющей. В результате статистической линеаризации НЭ заменяется двумя линейными безынерционными элементами с разными коэффициентами усиления к₀ и k_v При этом исходная нелинейная система заменяется двумя связанными линеаризованными системами (рис. 2.6, б).

Статистически линеаризованная система, как следует из представления ее в виде двух линейных систем, имеет различные передаточные функции для математического ожидания т₂ и для случайной составляющей ошибки системы z (t)= m_z +z (t):

а) по математическому ожиданию

б) по случайной составляющей.

Соотношение между математическими ожиданиями входного случайного воздействия х=т_х+х и выходной величины z с учетом (2.14) можно представить в виде.

Выражения (2.14) и (2.15) взаимосвязаны с помощью коэффициентов к₁ и которые, как отмечалось, зависят от m_z и D_z. Поэтому для определения статистических характеристик ошибки z необходимо совместное решение двух уравнений, одним из которых является (2.16). Выражение для дисперсии ошибки D_z следует представить как.

где S₂(oo) — спектральная плотность центрированной случайной составляющей ошибки z (t); S-^co) — спектральная плотность центрированной случайной составляющей входного сигнала z (t). Подставив (2.15) в последнее выражение, получим.

Определение математического ожидания т₂ и дисперсии D_z сигнала ошибки осуществляется совместным решением уравнений (2.16)—(2.17). Решение осуществляется либо методом последовательных приближений, либо графоаналитически.

При решении задачи методом последовательных приближений задаются некоторыми значениями коэффициентов к₀ и к₁ по формулам (2.16)—(2.17) определяют т₂ и D_z в первом приближении. По найденным значениям т₂ и D_z уточняют по вышеприведенным соотношениям величины к₀ и к_г. Затем вновь вычисляют т₂ и D_z во втором приближении и т. д. Этот процесс продолжается до тех пор, пока последующие значения коэффициентов не будут совпадать с достаточной степенью точности с предыдущими значениями.

Графоаналитическое решение уравнений (2.16)—(2.17) сводится к построению в координатах (m₂, D_z) кривых, соответствующих этим двум уравнениям, и в нахождении точки их пересечения. Точка пересечения дает решение указанной системы уравнений.

Расчет графоаналитическим методом проводится в следующей последовательности.

• 1. На основании (2.16) для различных фиксированных значений D_z строят семейство функций F_a = Fj (m₂) (рис. 2.7, а), где функция Fj (m_z) есть правая часть выражения (2.17).
• 2. Под углом 45°, что означает выполнение равенства (2.17), из начала координат проводят прямую, по точкам ее пересечения с кривыми семейства Fj строят график D_z = Fj (m₂) (рис. 2.7, б).
• 3. На основании (2.17) для различных фиксированных значений т₂ строят семейство функций F₂ = F₂(D₂) (рис. 2.7, в), где функция F₂(D_z) есть также правая часть (2.17), но переменной является дисперсия D_z при фиксированных т₂.
• 4. Проводят прямую из начала координат под углом 45°; по точкам ее пересечения с кривыми семейства F₂ строят график ш₂ = F₂(D_Z) (см. рис. 2.7, б).
• 5. Находят точку пересечения кривых D_z = Fj (m_z) и m₂ = = F₂(D₂); координаты этой точки (m_z, D_z) определяют искомые математическое ожидание m_z и дисперсию D_z сигнала на входе НЭ.

На основании полученных значений т₂ и D_z можно, используя известные методы линейной теории, вычислить математическое ожидание и дисперсию сигнала в любой точке САУ.

Метод статистической линеаризации может быть применен для расчета автоматических систем, в состав которых входит несколько нелинейных элементов [2, 16].

Если нелинейные элементы включены непосредственно друг за другом, то они могут быть заменены одним НЭ со статической характеристикой, построенной по известным правилам, на основе характеристик отдельных элементов [16]. Дальнейший расчет нелинейной САУ осуществляется согласно изложенной методике.

Возможно применение метода статистической линеаризации, когда нелинейные элементы разделены линейными динамическими звеньями, являющимися фильтрами низких частот. В этом случае для определения коэффициентов статистической линеаризации каждого НЭ приходится решать системы не из двух уравнений (2.16), (2.17), а из числа уравнений, равного удвоенному числу нелинейных элементов.

Рис. 2.7. Расчет нелинейных систем графоаналитическим методом.

Ниже приводится пример использования рассмотренной методики по расчету нелинейной системы.

Пример 2.3. На вход системы, структурная схема которой приведена на рис. 2.8, а характеристика НЭ на рис. 2.2, а, действует постоянный управляющий сигнал х_с = 0,5 В, смешанный с помехой со спектральной плотностью

Рис. 2.8. Структурная схема нелинейной САУ.

Передаточная функция линейного звена и характеристики НЭ имеют вид.

Определить среднее значение т_у и дисперсию = D_y регулируемой величины у с точностью не менее 10%.

Решение. Для расчета математического ожидания и дисперсии выходной величины у на основе метода статистической линеаризации получаем соотношения.

где.

Для применения аналитического метода вычисление интеграла представим функцию S_y(co) в виде.

где.

Тогда коэффициенты а, Ь, полиномов jco) и G (jo)).

По формулам таблиц значений стандартных интегралов J_n для п = 2 находим.

Учитывая числовые значения параметров, получим.

Из последней системы уравнений значения к₀ и кj находятся методом последовательных приближений.

1. Задаются значениями коэффициентов к₀ и /с:

и по уравнениям системы (2.18) определяются.

2. По найденным значениям (т$,⁰⁾, а$,⁰⁾) из графиков коэффициентов статистической линеаризации для заданного НЭ определяется первое приближение коэффициентов:

которым соответствуют величины т™ =0,17 В и а^=0,32 В, повторно вычисленные по уравнениям системы (2.18).

3. Значениям (т^оФ) на графиках коэффициентов статистической линеаризации соответствует второе приближение коэффициентов:

по которым из уравнений системы (2.18) можно записать.

Так как уже на втором шаге погрешность в определении характеристик т_у, су_у удовлетворяет условиям задачи, то окончательно принимается