Основы теории вероятностей и математической статистики

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

В результате освоения данной темы студент должен:

знать

• • основные понятия случайных событий;
• • определения вероятности события и ее свойства;
• • основные элементы комбинаторики;

уметь

• • проводить расчеты с использованием основных теорем теории вероятности;
• • использовать схему независимых испытаний Бернулли для проведения расчетов;

владеть

• • методикой проведения расчетов при решении специальных задач юриспруденции с использованием приближенных формул;
• • навыками анализа и реферирования научной литературы по данной теме.

Случайные события

В основе теории вероятностей лежит понятие события. Так же как понятия «число», «точка», «множество», понятие «событие» в математике не определяется через другие более простые понятия.

Под событием интуитивно будем понимать любое действие (явление), которое может произойти или не произойти, или любой результат, который может наступить или не наступить в данных условиях.

Пример 5.1.

Примеры событий:

• — выпадение герба при подбрасывании монеты;
• — попадание курсантом школы МВД в мишень при выстреле из пистолета;
• — выигрыш автомобиля по лотерейному билету;
• — появление бракованной детали на сборке изделия;
• — приход группы в полном составе на лекцию по математике;
• — попадание мяча в ворота после удара футболиста и т. д. ?

Для того чтобы могло произойти или не произойти то или иное событие, необходимо наличие определенного комплекса условий. Будем называть этот комплекс условий экспериментом (испытанием, опытом) и обозначать его S.

При этом эксперимент может быть осуществлен человеком, а может проводиться и независимо от человека, выступающего в этом случае в роли наблюдателя.

Различают несколько видов событий.

Достоверное событие — такое событие, которое в результате эксперимента S обязательно происходит. Такое событие обычно обозначается U или Q.

Пример 5.2.

Примеры достоверных событий:

• — выпадение числа очков менее 10 при однократном бросании игральной кости;
• — отсутствие солнца на московском небе в полночь. ?

Невозможное событие (обозначение 0) — такое событие, которое в результате эксперимента S никогда не происходит.

Пример 5.3.

Примеры невозможных событий:

• — выпадение 10 очков при однократном бросании игрального кубика;
• — встреча на улице с человеком ростом свыше 5 метров. ?

Случайное событие (обозначение А, В, С, А_х, А₂ …) — такое событие, которое в результате эксперимента S может произойти, а может и не произойти.

Пример 5.4.

Примеры случайных событий:

• — выпадение трех очков при однократном бросании игральной кости;
• — вынесение подсудимому оправдательного приговора;
• — завершение футбольного матча «Локомотив» — ЦСКА со счетом 1:1. ?

Если в эксперименте S из того, что произошло событие А, следует, что обязательно произошло и событие В, то говорят, что А влечет за собой В и обозначают А —> В.

Пример 5.5.

Пусть, А — выпадение двух очков при бросании игрального кубика, а В — выпадение четного числа очков. Тогда А —> В. ?

Если одновременно А —" В и В —"А, то события, А и В называются равносильными или равными событиями (А = В).

Два или несколько событий называются равновозможными событиями, если объективно шансы на их наступление одинаковы. Например, события А_а—А₆, состоящие в выпадении соответствующего количества очков на игральном кубике, являются равновозможными.

В ряде задач за равновозможные могут быть приняты события, по которым отсутствует информация о различии их шансов на наступление, хотя объективно эти шансы могут быть различными.

Пример 5.6.

Равновозможными следует считать события — присутствие студентов юридического факультета на данной лекции по математике: А — присутствие Иванова и В — Петрова, если не знать, что Петров менее прилежен, чем Иванов, что у него больная нога и что электричку, на которой Петров ездит в институт, часто отменяют. Если такая информация имеется, то, конечно, А и В не следует считать равновозможными. ?

Событие, обозначаемое А и состоящее в ненаступлении события А, называется противоположным событию А.

Пример 5.7.

Пусть А — попадание курсанта школы МВД в «десятку» при выстреле из пистолета по мишени. Тогда А — попадание в любую другую область мишени или за ее пределы. ?

Если события могут произойти одновременно, они называются совместными событиями.

Два или несколько событий называются независимыми событиями, если шансы на наступление каждого из них не зависят от того, произошли какие-либо из остальных событий или нет.

Рассмотрим элементарные действия над событиями.

1. Пусть в результате эксперимента S могут произойти события А и В. Тогда суммой этих двух событий называется событие, обозначаемое А + В и состоящее в том, что произошло либо событие А, либо событие В,

либо и, А и В вместе.

Пусть эксперимент S состоит в бросании точки на лист, а события, А и В — попадание точки в овалы, А и В, нарисованные ниже. Тогда попадание точки в заштрихованную область означает наступление суммы событий, А + В.

Понятие суммы событий можно распространить на несколько событий. Суммой событий А_ь А₂, …, А_п называется событие А, +А₂ + … + А", заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Пример 5.8.

Пусть при выборе одного из чисел от 1 до 13 событие, А означает выбор четного числа (т.е. событие, А состоит из элементарных событий — выборов одного из чисел 2, 4, 6, 8,10, 12), событие В — выбор числа, кратного 3 (т.е. событие В состоит из элементарных событий — выборов одного из чисел 3, 6, 9,12).

Тогда событие А + В означает выбор числа, кратного или 2, или 3 (при этом не исключается, что число кратно и 2, и 3), т. е. событие, А + В состоит из элементарных событий — выборов одного из чисел 2, 3,4, 6, 8, 9,10,12. ?

2. Пусть в результате эксперимента S могут произойти события Л и В. Тогда произведением этих двух событий называется событие, обозначаемое АВ или А? В и состоящее в том, что произошли и событие А, и событие В. На рисунке заштрихована область, попадание в которую означает наступление произведения событий АВ.

Понятие произведения событий также можно распространить на несколько событий. Произведением событий А_ЬА₂, …, А" называется событие А_хА₂ …, А_п, состоящее в том, что произошли все эти события.

В некоторых книгах вместо терминов «сумма» и «произведение» событий используют термины и обозначения из теории множеств и говорят об объединении событий (А и В) и пересечении (или совмещении) событий (А п В). Однако развитие теории вероятностей шло автономно от теории множеств и в большинстве книг используются принятые в теории вероятностей терминология и обозначения, которые и будут использованы в нашем курсе.

События, А и В называются несовместными, если АВ = 0.

Пример 5.9.

Примеры несовместных событий:

• — выпадение двух и трех очков при однократном бросании игральной кости;
• — получение студентом оценок «отлично» и «неудовлетворительно» на одном и том же экзамене. ?

Приведенный ниже рисунок иллюстрирует несовместные события, А и В.

3. Разностью событий, А и В называется событие, состоящее в наступлении, А и ненаступлении В. Разность, А и В обозначается А — В. Это действие над событиями используется редко. Как правило, при этом рассматривается равносильное ему событие, А • В.

Пример 5.10.

1. Пусть при выборе одного из чисел от 1 до 13 событие, А означает выбор четного числа, событие В — выбор числа, кратного 3.

Тогда событие А? В означает выбор числа, кратного и 2, и 3 одновременно, т. е. событие, А • В состоит из элементарных событий — выборов одного из чисел 6,12.

2. Пусть эксперимент S состоит в выборе одного числа из множества чисел П = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}. Пусть далее, А = {3, 4, 8, 9,10}, В = {1, 2, 5, 6}.

Тогда события, А и В несовместны, т. е. АВ = 0 (невозможное событие).

При этом, А + В = {1,2,3,4, 5, 6,8, 9,10}. Событием, противоположным А, является событие, А = {1, 2, 5, 6, 7}. Разностью событий, А и В будет событие А-В = {3, 4, 8, 9,10}. ?

Легко проверить, что сумма и произведение событий обладают следующими свойствами:

А + В — В + А — коммутативность суммы;

АВ = ВА — коммутативность произведения;

А + (В + С) = (А + В) + С — ассоциативность суммы;

А (ВС) = (АВ) С — ассоциативность произведения;

А (В + С) =АВ + АС — дистрибутивность.

• 4. Считается, что событие, А распадается на п частных случаев А_ь А₂, А_п, если сумма этих частных случаев представляет собой событие А, а сами они попарно несовместны. То есть должны выполняться два условия:
  • а) А^ + А₂ +… + А" = А;
  • б) AjAj = 0 при i *j.

Если на п частных случаев распадается достоверное событие U, то говорят, что эти частные случаи образуют полную группу событий. Это означает, что в результате эксперимента S должно произойти одно и только одно такое событие.

Пример 5.11.

Полную группу образуют шесть событий, состоящих в выпадении 1,2,…, 6 очков при бросании игральной кости. ?

Очевидно, что_А и, А также образуют полную группу событий, так как, А + А = (7иАА = 0.

Непосредственно из введенных определений следуют равенства: Эти равенства называются формулами де Моргана.

Пример 5.12.

Взятое наугад изделие некоторого производства может оказаться либо повышенного качества (событие А), либо обычного качества (событие В), либо бракованным (событие С). Тогда следующие события представляют собой:

А + В — изделие небракованное; А + В — изделие бракованное;

АС — невозможное событие;

АС — достоверное событие. ?

Элементарными называются те из событий, которые нельзя разложить на составляющие их события. Если элементарные события равновозможные и образуют полную группу событий, то их обычно называют элементарными исходами.

Пример 5.13.

В опыте с бросанием игральной кости (кубика) элементарными событиями являются выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. В этом же опыте событиями являются выпадения четного или нечетного числа. ?

Будем называть совокупность элементарных исходов и всех событий, которые они за собой влекут, пространством событий Q. Любое событие А из пространства ?2 можно составить из элементарных событий.