Аппроксимация функций. 
Статистические методы контроля качества и обработка экспериментальных данных

Аппроксимация, как и интерполяция, — это метод замены одних математических объектов другими, близкими к исходным.

При интерполировании искомая функция строго проходит через узловые точки таблицы и количество коэффициентов в интерполирующей функции равно количеству табличных значений.

Аппроксимация — метод приближения, при котором для нахождения дополнительных значений, отличных от табличных данных, приближенная функция проходит не через узлы интерполяции, а между ними (рис. 24).

— - интерполирующая функция —- - аппроксимирующая функция Рис. 24. Интерполирующая и аппроксимирующая функции

Интерполяцией данные описываются более точно, чем при аппроксимации, но в ряде случаев обосновано применение аппроксимации:

• • при значительном количестве табличных данных — интерполирующая функция становится громоздкой;
• • интерполирующей функцией невозможно описать данные при повторении эксперимента в одних тех же начальных условиях — требуется статистическая обработка;
• • для сглаживания погрешностей эксперимента. Данные x_i и y_t обычно содержат ошибки, поэтому интерполяционная формула повторяет эти ошибки. Из рис. 25 видно, что значение у постоянно и равномерно увеличивается при росте х, а разброс данных относительно аппроксимирующей функции можно объяснить погрешностью эксперимента.

Рис. 25. Пример построения аппроксимирующей функции

Геометрически задача построения функции /(х) по эмпирической формуле состоит в проведении усредненной кривой — кривой, проходящей через середину области значений (рис. 24, 25).

При построении аппроксимирующей зависимости определяют:

• • аналитический характер эмпирической формулы. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью;
• • коэффициенты эмпирической зависимости.

Для нахождения аппроксимирующей функции пользуются теми же методами приближения, что при регрессионном анализе (см. п. 4.2.2), задачей которого и является подбор математических зависимостей, наилучшим образом описывающих изменение экспериментальных данных. В связи с этим различают аппроксимацию:

• • линейную — Р (х) = Ь₀ + Ь_х • х (см. п. 4.2.2.2);
• • полиномиальную — P_N (х) -Ь₀+ Ь_хх + Ь₂х² +… + b_Nx^N (см. п. 4.2.2.1);
• • в виде определенных функций, в частности:
• — показательной -у = b₀e^h'^x (см. п. 4.2.2.4);
• — степенной - у = b₀x^b] (см. п. 4.2.2.5).