Иллюстрация: парадокс Монти Холл
Для иллюстрации применения правила Байеса рассмотрим следующую задачу, получившую в литературе название парадокса Монти Холл. Пусть Вы участвуете в телевизионной игре, в ходе которой Вам надо сделать выбор одной из трех дверей. За одной из них стоит автомобиль, за двумя другими — козы. Предположим, Вы указали на дверь № 1. Ведущий открывает другую дверь, пусть это будет дверь № 3, за которой… Читать ещё >
Иллюстрация: парадокс Монти Холл (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Для иллюстрации применения правила Байеса рассмотрим следующую задачу, получившую в литературе название парадокса Монти Холл. Пусть Вы участвуете в телевизионной игре, в ходе которой Вам надо сделать выбор одной из трех дверей. За одной из них стоит автомобиль, за двумя другими — козы. Предположим, Вы указали на дверь № 1. Ведущий открывает другую дверь, пусть это будет дверь № 3, за которой обнаруживается коза, и предлагает Вам, пока не поздно, передумать и открыть дверь № 2. Вопрос: имеет ли смысл прислушаться к мнению ведущего и открыть дверь номер два?
На первый взгляд, вероятности того, что машина находится за одной из оставшихся дверей равны Р (Сх) = Р (С2) = ½, и менять решение бессмысленно. Однако, при внимательном подходе мы можем извлечь полезную информацию из факта открытии ведущим именно двери № 3. Пусть априорные вероятности того, что машина находится за дверью № 1, № 2 и № 3.
Найдем вероятности того, что ведущий откроет дверь № 2 и № 3 (дверь № 1 он открыть не может, поскольку мы на нее уже указали). Если машина находится за дверью № 1, то условные вероятности того, что он откроет двери № 2 и № 3:
То есть, ведущему все равно, какую из оставшихся дверей открыть. Если же машина находится за дверью № 2, то вероятности того, что он откроет двери № 2 и № 3:
Поскольку машина стоит за второй дверью, то открыть эту дверь ведущий не может, а с вероятностью 1 откроет третью дверь. И наоборот, если машина стоит за третьей дверью, то соответствующие вероятности:
Итак, мы располагаем вероятностями того, какую дверь откроет ведущий в зависимости от того, где стоит автомобиль. Чтобы найти обратную условную вероятность, воспользуемся правилом Байеса. Поскольку известно, что D = 3, то.
Подставляя в эту формулу Сх и С2, получаем:
Таким образом, вероятность того, что машина находится за второй дверью, в два раза выше! Вывод, полученный «на кончике пера», может быть подкреплен и логическими рассуждениями: Если машина стоит за первой дверью, которую мы уже выбрали, то ведущему все равно, какую из оставшихся дверей выбрать. Если же машина за второй дверью, то у ведущего нет выбора, кроме двери № 3. Сменив выбор, мы в худшем случае остаемся при тех же шансах, а в лучшем — получаем машину.