Вывод формул для средних скоростей распределения Максвелла

Согласно формуле (3.33) среднее значение квадрата проекции вектора скорости на ось х

Два последних интеграла равны единице согласно условию (3.41). Подстановка функции (3.40) приводит к выражению.

С учетом соотношения (3.66) будем иметь.

Подстановка (3.31) дает Таким образом, пришли к формуле (3.42), которая ранее была использована без вывода.

При помощи функции Максвелла можно вычислить так называемую среднюю арифметическую скорость молекул.

т.е. среднее значение модуля скорости. Подстановка в эту формулу функции (3.46) дает.

Переход к переменной интегрирования.

преобразует этот интеграл к виду.

а интегрирование по частям приводит к следующему результату:

При помощи выражения (3.68) формуле (3.61) для среднего числа ударов молекул о поверхность можно придать вид.

Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла

Для изучения свойств газов и, в частности, для исследования распределения молекул газа по скоростям используют молекулярные пучки, т. е. потоки молекул, летящих в одном направлении. При помощи молекулярных пучков можно также исследовать состояния отдельных атомов и молекул, что позволяет установить их фундаментальные свойства и измерить характеризующие эти свойства величины.

Направленные потоки молекул могут существовать только в условиях достаточно высокого вакуума, когда посторонние частицы не препятствуют распространению молекул в пучке и не рассеивают его. Для создания молекулярных пучков применяется установка, схема которой изображена на рис. 3.15. В сосуде, содержащем газ из исследуемых молекул, имеется небольшое отверстие У, через которое молекулы вылетают в окружающий вакуум. Чтобы получить узкий пучок молекул, летящих почти в одном направлении, на пути вылетевших из сосуда молекул помещают экран с отверстием 2. Если отверстие У достаточно мало (т.е. его размеры малы, но сравнению с длиной Л свободного пробега молекулы), то оно не будет оказывать существенного влияния на состояние газа в сосуде. Поэтому молекулы, вылетающие через отверстие У, образуют газ, состояние которого мало отличается от состояния газа в сосуде. Такое истечение молекул из отверстия в вакуум называется эффузией.

Fuc. 3.15. Эффузия молекул.

описывающая распределение молекул газа по скоростям при их равномерном в среднем распределении в пространстве внутри сосуда. Исходя из этой формулы, найдем функцию распределения молекул по скоростям в пучке за отверстием 2. Затянем отверстия / и 2 воображаемыми плоскостями Si и S2 и направим ось х перпендикулярно к этим плоскостям. Число молекул со скоростями v, € d³v при векторе v, которые падают за время dt на поверхность Si, согласно формулам (3.54) и (3.55) равно.

где проекция v_r вектора скорости v на ось х неотрицательна: v_x > 0, Si — площадь отверстия 1. Молекулы вылетают из отверстия 1 в различных направлениях. И только некоторые из них попадают в отверстие 2. Если совместить начала векторов скорости молекул, попадающих в отверстие 2, то все эти векторы окажутся внутри конуса П, называемого телесным углом, под которым отверстие 2 видно из какой-либо точки отверстия 1 (рис. 3.16). По определению величина телесного угла Q равна отношению площади S2 куска, который вырезается конусом из сферы радиуса /, к квадрату радиуса этой сферы:

В данном случае S2 есть площадь отверстия 5, а / - расстояние между отверстиями.

Рис. 3.16. Молекулярный пучок.

Число молекул dN со скоростями в интервале (v, v-fc/r), пролетающих за время dt в отверстие 2, можно найти по формуле (3.71). Для этого в этой формуле следует положить v_r = t; и в качестве объема d³v взять объем той части сферического слоя радиуса v и толщины с/и, которая вырезается из него конусом Q (рис. 3.16):

В результате с учетом формул (3.38) и (3.70) получим:

Измеряя число dN молекул в пучке, можно проверить правильность формулы (3.72) и тем самым убедиться в справедливости закона распределения Максвелла, на котором она основана.

Установка, которая позволяет выделить из пучка и зарегистрировать молекулы, имеющие скорости в некотором интервале, изображена на рис.

3.17. В конце установки расположена ловушка для молекул, представляющая собой охлаждаемую жидким азотом стеклянную пластинку. Число осевших на пластинке молекул можно определить, например, по степени ее прозрачности методом фогометрирования.

Рис. 3.17. Схема установки для изучения распределения молекул газа по скоростям: 1 — печка, 2 — экраны с отверстиями, формирующие пучок молекул: 3 — устройство для отбора молекул, скорости которых лежат в заданном интервале; 4 ~ ловушка молекул.

Между источником молекул и ловушкой помещается устройство для отбора молекул. В простейшем случае это два диска, закрепленные на одной оси на расстоянии s один от другого. На краю каждого диска имеется вырез, через который могут пролетать молекулы. При вращении дисков с определенной угловой скоростью и пролететь через вырезы обоих дисков и попасть в ловушку могут только те молекулы, для которых время s/ v движения между дисками равно времени оборота дисков 2тг/и. Остальные молекулы будут поглощены вторым диском. Изменяя скорость вращения дисков, можно выделять пучки молекул с различными скоростями. Измеряя число попавших в ловушку за определенное время молекул для различных значений скорости, можно установить действительную зависимость числа молекул dN от скорости v. Подобные измерения доказывают справедливость формулы (3.72) и открытого Максвеллом закона распределения молекул по скоростям.