Обнаружение колебательных составляющих динамического ряда

Обнаружение и выделение тренда является первым этапом при анализе динамических рядов. Описав его соответствующим регрессионным уравнением, находят величины для каждого момента времени или пространственной координаты по этому уравнению и вычитают их из исходных эмпирических данных.

Как правило, получаемые после элиминирования тренда ряды имеют нерегулярный волнообразный характер. Однако прежде, чем пытаться обнаружить в этих рядах колебательные составляющие, необходимо убедиться в том, что они представляют собой связную совокупность данных. В самом деле, можно увидеть, и так оно случается довольно часто на практике, что наблюдаемый ряд представляет собой только тенденцию с наложенными, а нее случайными возмущениями. В этом случае после выделения тренда останется случайная составляющая, для которой бывает необходимым оценить только дисперсию. С другой стороны, очень часто динамические ряды включают в себя все три компоненты, так что после элиминирования тренда необходимо провести анализ колебательной компоненты и в последнюю очередь — случайной.

Итак, мы сталкиваемся с задачей обнаружения взаимозависимости между значениями анализируемого ряда. Кстати, такая же задача стоит и при построении уравнений регрессии, когда проверка коррелированности остатков является необходимой для проверки адекватности выбранного уравнения и обоснованности использования метода наименьших квадратов для оценки параметров.

Наиболее распространенным критерием для проверки коррелированности является критерий, предложенный Дж. Дарбином и Г. Уотсоном. Статистика критерия очень проста:

(2).

где — остаток ,.

— разность последовательных остатков.

В отличии от других методов статистической проверки гипотез, рассматривавшихся ранее, при употреблении статистики D критические границы принятия нулевой гипотезы и непринятия альтернативной гипотезы не совпадают между собой.

Найдем статистику D по данным, считая, что в качестве уравнения тренда выбрана прямая линия.

Имеем.

Из таблицы Приложения для уровня значимости Следовательно, нулевая гипотеза должна быть отвергнута, и делается вывод о том, что полученные после элиминирования тренда значения коррелированны между собой.

После того как мы убедились в том, что вновь полученный ряд не является набором независимых случайных величин, нужно определить периоды колебаний, наиболее характерные для анализируемого ряда. Существует очень большое число методов, с помощью которых решается задача выделения гармонических составляющих. Как правило, все процедуры имеются в виде программ для вычислительных машин. Здесь же мы приведем наиболее простой и исторически первый способ выделения скрытых периодичностей, предложенный еще в середине прошлого века французским математиком О. Бюй-Балло. Способ настолько прост и прозрачен, что любой из читателей, воспроизведя его сначала вручную, сможет составить самостоятельно небольшую программу для ПЭВМ, позволяющую автоматизировать расчеты.

Вычислительная схема Бюй-Балло состоит в следующем. Весь интервал наблюдаемого процесса x (t), заданного в виде непрерывной кривой или таблицы значений, разбивается на отрезки длиной T и вычисляется среднее арифметическое значение функций на всех отрезках. Всего отрезков длиной T берется r. Их должно быть достаточно много (r>15). Если r нечетно, т. е. r=2k+1, то выбрав начало отсчета в точке kT, можно преобразование по схеме Бюй-Балло представить в следующем виде:

(3).

Это преобразование обладает селективными свойствами, т. е. выделяет периодическую функцию с периодом, равным пробному периоду T. При этом эффективность селекции увеличивается пропорционально отношению длительности анализируемого участка к пробному периоду.

Для лучшего уяснения природы селективного действия преобразования Бюй-Балло представим себе, что есть синусоида с определенным периодом. Пусть пробный период в точности равен периоду синусоиды. Тогда используя формулу (3), для каждого момента времени t будут суммироваться равные значения, относящиеся к разным участкам длиной T. Например, если начать с максимума положительной полуволны, то будут складываться все максимумы, так как они отстоят друг от друга на T. Совершенно налогично будет выглядеть процедура для максимумов отрицательной полуволны и для всех других точек. Другими словами, преобразование Бюй-Балло для синусоиды при использовании пробного периода, равного периоду гармоники, никак не изменит значения ее амплитуд.

В том случае, когда пробный период T не равен периоду синусоиды, будут складываться неравные между собой значения, т. е. большие и меньшие, положительные и отрицательные, так что результирующая кривая будет существенно сглажена.

Зависимость наибольших отклонений от пробных периодов носит название периодограммы, а ее пики соответствуют возможным значениям периодов колебательных составляющих анализируемого динамического ряда.

Последовательные значения отстоят друг от друга на 33 мс. Этом ряд выбран специально для иллюстрации, так как мы заведомо знаем, что при заданных условиях регистрации в электроэнцефалограмме должен присутствоватьритм, т. е. колебания с частотой от 8 до 12 Гц. Были использованы пробные периоды T, включавшие от двух до семи точек измерений. Шаг был выбран равным единице, и использовалось обно и то же число пробных периодов r = 19 независимо от их длины.

Из приведенных результатов видно, что в наблюдаемом ряду имеется максимум для пробного периода T=4, у которого разность между максимальным и минимальным значениями равна 3,5. Для T=3 эта разность равна 3,2. Если привлечь те сведения, которыми мы располагаем о частотном диапазонеритма, то следует предположить, что реальный период еолебаний находится где-то между T=3 и T=4. В данном случае он не выявлен ввиду того, что интервал отсчета исходных данных не позволяет этого сделать. Экспериментальные данные включают в себя гармонику с частотой 10,1 Гц (T=3), и 7,6 Гц (T=4), а истинный максимум имеет, очевидно, частоту около 9 Гц.

Уже в этом простом примере мы сталкиваемся с некоторыми проблемами, характерными для анализа колебательных составляющих динамических рядов. Во-первых, это выбор шага квантования исходных данных, теоретически определяющий, какие частоты могут быть выделены. И во-вторых, разрешающая способность того или иного метода выявления скрытых периодичностей, определяющая минимальное расстояние между двумя пиками, на которое они могут быть отделены друг от друга.

Наконец, очень серьезную проблему представляет интерпретация выявляемых периодов, т. е. наличие гармоник с определенной частотой. Дело в том, что, как показал известный русский статистик Е. Е. Слуцкий, в некоторых случаях сложение достаточно большого числа случайных величин может привести к появлению в результирующем ряду почти гармонических составляющих, которые могут быть восприняты как колебания, имеющие в качестве первоосновы какой-то реально существующий фактор.

Для иллюстрации этого рассмотрим следующий пример. Пусть имеется набор случайных величин, взятых из таблицы случайных чисел. Будем рассматривать его как динамический ряд и с помощью процедуры Бюй-Балло построим периодограмму для T=3,4,5,6,7. Как получаются значения для периодограммы, покажем для пробного периода T=4. Выберем общее число пробных периодов r=15. В качестве нулевого периода возьмем значения с номерами 49, 50, 51 и 52. Таким образом, для определения преобразованных значений будем суммировать каждое из этих значений с семью другими, отстоящими друг от друга на T=4 и расположенными выше и ниже от выбранного значения.

Имеем.

(87+75+46+37+36+24+15+48+45+46+72+17+28+8+66)=43,3;

(18+15+43+69+55+55+81+8+96+41+46+6+73+48+63)=47,8;

(12+56+22+67+20+67+77+60+9+72+67+59+12+52+53)=47,0;

(25+32+72+93+22+14+14+21+5+64+12+2+49+23+58)=34,7.

Разность между максимальным и минимальным значениями использована для построения периодограммы (рис. 47.7). Другие значения равны Как и следовало ожидать, резко выделяющихся пиков в периодограмме нет, и поэтому нет оснований предполагать существование какой-то скрытой периодичности.

Используем теперь прием, о котором уже упоминалось при обсуждении методов обнаружения и исключения тренда, а именно — скользящее усреднение. При этом выбирается число точек усреднения (в нашем случае мы выбрали 7), все значения в этих точках складываются и находится среднее арифметическое значение, которое приписывается срединной точке. Затем передвигаются на одну точку и вся процедура повторяется. Показано, что такое сглаживание позволяет достаточно эффективно вычленить из анализируемого ряда тренд, причем используется скользящее среднее длиной от 3 до 21 точки, как простое, так и взвешенное, когда отдельным значениям при усреднении по определенным правилам приписываются определенные веса.

Однако нас в этой процедуре будет интересовать другое. Так как исходный ряд представляет собой выборку из таблицы случайных чисел, то нахождение скользящего среднего длиной 7 равносильно сложению семи случайных величин.

Если теперь для этого нового ряда применить процедуру Бюй-Балло, то периодограмма будет иметь вид, представленный на рис. 47.8. Здесь явно видны два пика для T=4 и T=7, и если не знать, каким образом был получен анализируемый ряд, то можно было бы сделать ложный вывод о существовании каких-то факторов, приводящих к появлению колебаний с указанным периодом.

Отсюда следует, что гипотезы о существовании некоторых причин, вызывающих появление в динамическом ряду колебаний с определенным периодом, должны базироваться не только на формальных результатах анализа периодограмм, но и обязательно включать априорную информацию нестатистического характера.