Малая выборка. 
Теория статистики с элементами эконометрики в 2 ч. Часть 1

Если число единиц совокупности меньше 30, выборка называется малой. Такие выборки встречаются на практике довольно часто, например, число заболеваний редкими болезнями или число единиц, обладающих редким признаком. Кроме того, к малой выборке прибегают, когда исследование стоит дорого или связано с уничтожением продукции или образцов. Широкое применение малые выборки получили в сфере обследования качества продукции. Теоретические основы для определения ошибок малой выборки были заложены английским ученым У. Госсетом (псевдоним — Стьюдент).

Необходимо помнить, что при определении ошибки для малой выборки следует вместо численности выборки брать величину (/г-1) или же до определения средней ошибки выборки рассчитывать так называемую исправленную дисперсию выборки (в знаменателе вместо п следует ставить (п — 1)). Отметим, что такая поправка делается только один раз — при расчете выборочной дисперсии или при определении ошибки. Величина (/2−1) носит название степени свободы. Кроме того, нормальное распределение заменяется^{-распределением} (распределением Стыодента), которое также табулировано и зависит от количества степеней свободы. Единственным параметром распределения Стьюдента является величина (п — 1). Еще раз подчеркнем, что поправка (/2−1) важна и существенна лишь при малых по численности выборочных совокупностях; при п > 30 и выше различие сходит на нет, приближаясь к нулю.

^-распределение Стьюдента похоже на нормальное, оно симметрично, но более пологое — ветви кривой медленнее приближаются к абсциссе. Это распределение табулировано. Имеются два типа таблиц, так как возможно решение разных задач. Один вид таблиц очень похож на таблицы интеграла вероятностей, а второй дает значения t для наиболее часто встречающихся вероятностей 0,9; 0,95; 0,99. При этом даются значения t при двусторонней и односторонней вероятности. Например, если, а = 0,05, т. е. двусторонняя доверительная вероятность 0,95, при числе п = 12 и, следовательно, числе степеней свободы 11 на пересечении 0,95 и 11 строки находим t = 2,201; при односторонней t =1,796.

Рассмотрим небольшой пример расчета ошибки малой выборки.

Пример 8.4.

Случайным образом было отобрано девять студентов экономического факультета с целью определить, сколько раз за сезон они посещают филармонию. Были получены следующие значения случайной величины: 4; 1; 3; 1; 0; 2; 1; 3; 3.

Находим среднюю посещаемости х = 2, исправленную дисперсию.

и далее, но формуле ошибки.

Для определения предельной ошибки, ввиду того что данная выборка менее 30 единиц, необходимо использовать таблицу распределения Стыодента. При вероятности 0,95 и количестве степеней свободы г = п — 1 (9−1=8) имеем табличное значение? о, 95;8 ⁼ 2,306. Таким образом, предельная ошибка ц • t = Д = 0,44 • 2,306 = 1,02. Итог таков: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя посещаемость концертов студентами находится в границах 2 ± 1 (от 1 до 3). Как нетрудно заметить, полученный результат дает неопределенный ответ; границы широки, ошибка слишком велика.

Другой формой отбора является многофазовый отбор (I, II, III фазы или этапа). Многофазовый отбор характерен тем, что из достаточно большой выборки делается подвыборка, где продолжается изучение признаков, которые были в первичной (основной) выборке, но по более подробной программе. Этот отбор отличается от двухили многоступенчатого, где на каждой ступени менялись единицы отбора. Многофазовый отбор использовался еще земскими статистиками. Так, например, в 1916 г. в сельскохозяйственной сплошной переписи было проведено выборочное 5%-ное изучение дворов. Ив каждых пяти хозяйств, попавших в выборку, три хозяйства изучались по более широкой (подробной) программе. В переписи 1979 г. 25% населения отвечало на большее количество вопросов, касающихся, в частности, жилищных условий и пр.

Существенным преимуществом многофазовой выборки является то обстоятельство, что сведения, собранные на I фазе, могут быть использованы на II или III и на следующих фазах для более детальной проработки интересующих исследователя вопросов.

Необходимо отметить, что применение разных схем отбора, их сочетание (например, многофазовый или многоступенчатый) является признаком статистического мастерства и высокой квалификации. К этому следует добавить, что изучение совокупности на разных фазах может производиться по разным программам. Ошибки, возникающие на каждой фазе, рассчитываются отдельно.

Кроме многоступенчатого и многофазового используется следующая схема отбора: из генеральной совокупности извлекаются две независимые выборки, которые анализируются. По этим выборкам рассчитываются соответствующие показатели и затем сравниваются. Такой вид выборочного отбора называется взаимопроникающим. Если при этом выборки анализируются разными лицами или лабораториями, то совпадение результатов приводит к дополнительной уверенности в правильности полученных выводов. Однако нужно указать, что применение взаимопроникающей выборки связано с дополнительными трудозатратами и значительно удорожает исследование.

Следует упомянуть также и метод моментных наблюдений. Особенностью этого вида наблюдения является то, что генеральная совокупность как некая данность не существует параллельно с выборочной. Генеральную совокупность можно было бы воспринять как некую гипотетическую совокупность. Метод моментных наблюдений дает возможность обнаружить некоторые признаки в течение времени (например, в течение рабочего дня, смены и т. п.). Имеется в виду состояние оборудования, качества той или иной выпускаемой продукции, а также состояние работников, операторов (проверка на усталость, снижение внимания и т. п.).

Для определения численности моментных наблюдений используют формулу собственно случайной повторной выборки.

при вероятности 0,954 (t = 2); берется максимально возможная дисперсия 0,25 (/? = 0,5 и q = 0,5), а также фиксируется вероятность приемлемой ошибки (от 0,01 до 0,05). Так, для ошибки в 2%.

Это и есть число необходимых наблюдений. Если продолжительность моментного наблюдения принять за 10 дней на 50 рабочих местах, то ежедневно надо делать 5 наблюдений.

Остановимся еще на одном виде отбора, а именно механическом (или систематическом). Этот отбор является, вероятно, самым распространенным. Это объясняется, видимо, тем, что из всех видов отбора данный прием является простейшим. В частности, он значительно проще, чем случайный отбор, предполагающий умение пользоваться таблицами случайных чисел, и не требует дополнительных сведений о генеральной совокупности и ее структуре. К тому же механический отбор тесно переплетается с пропорциональным стратифицированным отбором, что приводит к снижению ошибки выборки.

Например, применение механического отбора членов жилищного кооператива из списка, составленного в порядке поступления в данный кооператив, обеспечит пропорциональное представительство членов кооператива с разным стажем. Использование этого же приема для отбора респондентов из списка лиц, составленного по алфавиту, обеспечивает равные шансы для фамилий, начинающихся на разные буквы, и т. п. Использование табельных или иных списков на предприятиях или в учебных заведениях и др. может обеспечить необходимую пропорциональность в представительстве работников с разными признаками. Заметим, что механический отбор широко применяется в социологии, при изучении общественного мнения и т. д. Общая схема формирования выборочной совокупности такова: при механическом отборе мы должны располагать знанием о численности генеральной совокупности, а также об объеме выборки. Если, например, N=20 000, выборка п = 250, то путем деления 20 000 на 250 мы получаем так называемую величину пропорции отбора, или шаг выборки. В данном случае он равняется 80. Далее случайным образом (например, жеребьевкой) находим начало отсчета (любое значение из первых 80), но многие считают, что лучше выбирать среднее значение, находящееся под номером 40. Опуская разные тонкости и особенности этого отбора, следует сказать, что он очень широко применяется на практике, не требует использования таблиц случайных чисел, а ошибки этого отбора определяются по формулам собственно случайной выборки.

Уместно заметить, что если списки генеральной совокупности составлены с учетом упорядочения некоторого признака (например, список работников предприятия по стажу работы), то возникает систематическая ошибка, которая может свести на нет усилия исследователей.

До сих пор шла речь о случайных выборках, т. е. таких, когда выбор единиц из генеральной совокупности производится случайно (или почти случайно), и все единицы имеют равную (или почти равную) вероятность попасть в выборку. Однако отбор единиц может быть основан на принципе неслучайного отбора, когда во главу угла ставится принцип доступности и целенаправленности. В таких случаях нельзя говорить о репрезентативности полученной выборки, а исчисление ошибок репрезентативности можно производить, лишь имея сведения о генеральной совокупности.

Известны несколько схем формирования неслучайной выборки, которые получили значительное распространение и используются главным образом в социологических исследованиях: отбор доступных единиц наблюдения, отбор по нюрнбергскому методу, целевая выборка при определении экспертов и др. Важное значение имеет также квотная выборка, которая формируется исследователем по небольшому количеству существенных параметров и дает очень близкое совпадение с генеральной совокупностью. Говоря иначе, квотный отбор должен обеспечить исследователю почти полное совпадение выборочной и генеральной совокупностей по избранным им параметрам. Целенаправленное достижение близости двух совокупностей, но ограниченному кругу показателей достигается, как правило, с помощью выборки существенно меньшего объема, чем при использовании случайного отбора. Именно это обстоятельство делает квотный отбор привлекательным для исследователя, не имеющего возможности ориентироваться на самовзвешивающуюся случайную выборку большого объема. Следует добавить, что сокращение объема выборки чаще всего сочетается с уменьшением денежных затрат и сроков проведения исследования, что увеличивает преимущества указанного способа отбора. Отметим также, что при квотной выборке имеется довольно значительная предварительная информация о структуре генеральной совокупности. Главное преимущество здесь состоит в том, что объем выборки существенно меньше, чем при случайной выборке. Выделенные признаки (чаще всего социально-демографические — пол, возраст, образование) должны тесно коррелировать с изучаемыми характеристиками генеральной совокупности, т. е. объекта исследования.

Как уже указывалось, выборочный метод дает возможность получить сведения о генеральной совокупности с гораздо меньшими затратами средств, времени и усилий, чем при сплошном наблюдении. Понятно также, что сплошное изучение всей генеральной совокупности в ряде случаев невозможно, например при проверке качества продукции, образцы которой уничтожаются.

Вместе с этим, однако, следует указать, что генеральная совокупность не является полностью «черным ящиком», и некоторые сведения о ней нам известны. Проводя, например, выборочное исследование, касающееся жизни, быта, имущественного положения, доходов и расходов студентов, их мнений, интересов и т. п., мы располагаем сведениями об их общей численности, группировке по полу, возраст}', семейному положению, местожительству, курсу обучения и другими характеристиками. Эти сведения всегда используются в выборочном исследовании.

Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность.

Выше упоминалось, что объектом изучения является генеральная совокупность. Черты, свойства и размеры некоторых важных признаков, имеющих значение, нам неизвестны. Выборочный же метод характеризуется как некий способ получения сведений о генеральной совокупности с помощью случайной (или иной) выборки. Получив оценки интересующих нас неизвестных параметров, рассчитав средние и предельные ошибки, мы получим ключ к нахождению «истинных» величин генеральной совокупности.

Средние и относительные величины, полученные в процессе выборочного наблюдения, распространяются на генеральную совокупность по-разному, но с учетом ошибки выборки. Так, например, получив, но данным выборки, что средние затраты на покупку книг и журналов среди студентов города составляют х = 580 руб. в месяц, и зная, что предельная ошибка составляет, А = 40 руб., мы вправе утверждать, что и в генеральной совокупности имеется х — Д_т. < х < х + Д₅, Р — Д_р < Р < Р + Д_р.

Кроме того, можно определить и суммарное значение признака, умножив численность генеральной совокупности N пах (xN). Если средняя заработная плата на предприятии составляет 20 тыс. руб., а численность всех сотрудников 1000, то общий фонд заработной платы составляет 20 000 • 1000 = 20 000 000 (20 млн руб.).

В некоторых случаях указываются объем выборки и ее величина в процентах от генеральной совокупности, например п = 300, она составляет 2% от генеральной совокупности, т. е. N = 15 000.

Распространение выборочных данных на генеральную совокупность производится либо путем прямого пересчета, либо с помощью метода поправочных коэффициентов, которые основаны на том обстоятельстве, что отдельные признаки связаны между собой. Этот метод применяется при уточнении и корректировке результатов сплошного наблюдения (переписей).