Характер изменения значения и решения расширенной задачи при изменении неопределенных параметров

Проследим, как меняется значение расширенной задачи.

при изменении, А и каким образом меняется ее решение. Как уже отмечалось, функция достижимости, соответствующая (2.95), имеет вид.

Точка с*(А,), для которой выражение (2.96) достигает абсолютного максимума на множестве V_c, позволяет сказать, каково значение задачи (2.95).

и как сильно нарушены на оптимальном решении этой задачи уравнения связей. Если оказалось, что при некотором X вектор с*(А) равен нулю, то решение расширенной задачи и ее значение совпадают с решением и значением исходной.

Для упрощения выкладок ниже будем полагать, что в исходной задаче всего одно условие Дх) = 0, а значит, с в (2.96) — скалярная величина. Функцию К «(с, А) будем предполагать непрерывно дифференцируемой. Тогда в точке максимума с* для любого А.

Это условие позволяет найти производную с*(А) по А. Действительно, или откуда.

Производная значения К** расширенной задачи по, А

В силу (2.98) второе слагаемое обращается в нуль всюду, где знаменатель выражения (2.99) отличен от нуля. Для всех таких, А полная производная значения расширенной задачи по X равна частной производной по X функции достижимости R*.

Формулы (2.99) и (2.100) основаны на условиях стационарности, как необходимых условиях максимума по с функции R (с, X) в точке с*(А). Они выделяют и точки минимума, и точки локального максимума. Чтобы выделить только точки локального максимума, нужно привлечь условие.

Рассмотрим конкретные расширения типа (2.96).

А. Расширение Лагранжа.

В этом случае Ф (А,/) = Xf, соответственно Ф (А, с) = Хс, и выражение (2.99) имеет вид.

Если функция достижимости строго выпукла, то знаменатель в (2.102) всегда отрицателен, зависимость с*(А) монотонна, и если множество V_c включает значение с = 0, то при некотором А* эта функция пересечет ось абцисс (рис. 2.31, а). Когда функция достижимости строго вогнута, зависимость с*(А) тоже монотонна, однако с* уже не точка максимума, а точка минимума R* (с, А) на V_c. Наконец, если вторая производная функции достижимости меняет знак, то зависимость с*(А) имеет вид как на рис. 2.31, б. Пунктиром показаны значения с*, соответствующие минимуму К*(с, А).

Рис. 2.31. Изменение положения максимума с* функции достижимости расширенной задачи с изменением А-множителя для выпуклой (а) и невыпуклой (б) f₀*© Значение расширения Лагранжа в соответствии с (2Л00) меняется при изменении, А так, что всюду, где dc" /dX > 0,.

Если расширение эквивалентно, то с*(А,*) = 0, а значит, (dR* / dX)_} * = 0. Это естественно, ведь А* — точка минимума Я**(А) (см. рис. 2.31, а).

Б. Расширение с использованием квадратичного штрафа. Исчезающее слагаемое Ф (а, с) = -ас², причем, а > 0. В соответствии с (2.98).

Условие максимума в точке с* (2.101).

Из (2.104), (2.105) следует, что при достаточно больших, а точка с* соответствует максимуму расширенной задачи, при этом dc*/da < 0, т. е. с*(а) —" 0 при, а —> оо. Однако скорость уменьшения с* падает, так как в числителе (2.105) стоит величина 2с*. Если функция достижимости /о © строго выпукла, то зависимость с* (а) имеет вид как на рис. 2.32 (кривая «а»). Если же /о © строго вогнута, то при малых значениях а знаменатель (2.105) положителен, с* растет, а затем, начиная с некоторого а, падает (рис. 2.32, кривая «б»). Пунктиром отмечен тот участок на кривой «б», которому соответствуют минимальные значения R*(c, а).

Рис. 2.32. Зависимость максимума с* функции достижимости расширенной задачи от параметра, а для выпуклой (а) и невыпуклой (б) f₀*©.

Поведение значения расширенной задачи определяется формулой (2.100):

для всех а, при которых знаменатель в (2.104) отличен от нуля. Таким образом, значение расширенной задачи монотонно падает с ростом a и при с*(а), стремящемся к нулю, асимптотически стремится к значению исходной задачи (см. рис. 2.25).

В. Модифицированная функция Лагранжа.

Изчезающее слагаемое Ф зададим в форме Ф (Х, a, f) = Xf — af², причем a > 0. Соответственно, Ф (Х, а, с) = Хс — ас². Параметры X и, а будем выбирать не независимо друг от друга, а считая, что они связаны некоторой функцией X = Х (а).

Запишем выражение (2.104) с учетом этой связи:

(сравните это выражение с (2.104)). Неравенство, выделяющее точки максимума Я*©, совпадает в нашем случае с (2.105). Таким образом, знаменатель должен быть отрицателен, начиная с некоторых достаточно больших а. Функцию Х (а) нужно выбрать так, чтобы с ростом a величина с уменьшалась по модулю, причем скорость ее уменьшения не стремилась к нулю при с —" 0.

Пусть, а таково, что знаменатель в (4.107) меньше нуля, тогда условие уменьшения с* примет вид.

т. е. знак числителя в (2.107) совпадает со знаком с*. Это условие можно.

dh

гарантировать, если знак — противоположен знаку с*. Таким образом,.

da

одним из возможных видов зависимости А,(а) является В этом случае (рис. 2.33).

Рис. 2.33. Изменение максимума с* функции достижимости расширенной задачи с ростом а при выборе А (а) согласно (2.108).

Практически можно принять А, = 0 и увеличивать, а до тех пор, пока для двух соседних итераций не будет выполнено неравенство.

после чего нужно ввести А.(а) в функцию Ф (А, а, с) в соответствии с (2.108).

В общем случае можно задать, А как функцию от, а и с, а параметры этой функции подобрать так, чтобы обеспечить нужный характер изменения с* (а). Зависимость А (а, с) нужно учитывать при вычислении правых частей в (2.99) и (2.100).

Поведение значения расширенной задачи с учетом зависимости, А (а) согласно (2.100) определяется выражением.

При любых с* правая часть в этом выражении отрицательна, значение расширенной задачи монотонно падает с ростом, а (рис. 2.34). При, а > а⁰ это значение совпадает со значением исходной задачи.

Рис. 2.34. Зависимость значения расширенной задачи от коэффициента a.