Эффективность термодинамических систем и производство энтропии

Уравнения термодинамических балансов позволяют качественно проследить связь показателей эффективности процесса с производством энтропии а, внешними потоками и структурой системы. Покажем это на примере различных термодинамических систем.

Действительно, рассмотрим установившийся процесс, в котором левая часть уравнения (6.65) равна нулю (в каждый момент времени или в среднем за цикл). Согласно принятому ранее правилу положительным считается направление потоков вещества и энергии, поступающих в систему, а отрицательным — выходящих из нее. Организация процессов в системе определяет ее необратимость и, в силу уравнения (6.65), сказывается при фиксированных параметрах входных потоков на характеристике выходных. Рост, а приводит к росту энтропии выходных потоков, при прочих равных условиях этот рост уменьшает температуру потоков на выходе либо при фиксированной температуре увеличивает отходящий поток теплоты. И в том и в другом случае это приводит к уменьшению механической работы, вырабатываемой системой, или работы разделения. Энергетическая эффективность термодинамической системы, характеризуемая отношением полезной работы, вырабатываемой в ней, к затратам энергии, достигает максимума в обратимых процессах, когда, а = 0.

Покажем последовательность получения этих зависимостей на примерах конкретных систем.

Тепловая машина. Тепловая машина преобразует теплоту, получаемую от резервуара с температурой Т₊ (горячего источника), в работу.

Состояние рабочего тела изменяется циклично, при этом оно отдает часть энергии холодному источнику с температурой Т_. Показателем эффективности может служить отношение произведенной работы к количеству теплоты, отобранной у горячего источника (термический КПД r=p/q+).

Введя обозначения для средних интенсивностей потоков теплоты, отбираемой от горячего источника (q₊) и отдаваемой холодному источнику (q_), а также для вырабатываемой мощности р, запишем уравнения балансов энергии и энтропии для рабочего тела:

Нули в правых частях этих уравнений соответствуют тому факту, что состояние рабочего тела либо вообще не изменяется во времени (паровые и газовые турбины), либо изменяется циклически (паровые машины).

Из уравнения (6.86) выразим термический КПД:

В свою очередь из (6.87) следует, что.

Таким образом,.

При отсутствии необратимости (а = 0) термический КПД равен КПД Карно:

Если есть возможность как-то оценить производство энтропии, т. е. найти а₀, такое что реальное a > a₀ > 0, то, подставив а₀ в формулу (6.88), можно найти более точную оценку для г.

Тепловой насос. В системе с тепловым насосом мощность р используют для передачи тепла q₊ горячему источнику с температурой Т₊ от холодного источника с температурой Т_. Показателем эффективности теплового насоса является отопительный коэффициент г = q₊/p.

Уравнения баланса энергии и энтропии имеют вид.

Исключая д_, получим.

Отсюда отопительный коэффициент равен.

С ростом, а отопительный коэффициент падает. Первое слагаемое в правой части равенства (6.90) представляет собой отопительный коэффициент обратимого теплового насоса.

Стационарный теплообмен. Рассмотрим термодинамическую систему, состоящую из двух потоков вещества, обменивающихся друг с другом теплотой. Предположим, что изменением давления потоков можно пренебречь. Обозначим g₍, Q, T_i0, T_iB, s_i0, s_iB — расход, теплоемкость, температуру и энтропию i-ro потока (на входе и выходе соответственно, i = 1, 2); W_t = Qgj — водяной эквивалент i-ro потока.

Уравнения балансов энергии и энтропии имеют форму.

где, а — производство энтропии за счет необратимости процессов теплообмена.

Пусть нагрузка теплообменника (поток теплоты) q = W₁(T₁₀ — Г_1в) задана, тогда из (6.91) следуют равенства.

После подстановки этих выражений в уравнение баланса энтропии получим.

Если потоки вещества по своим свойствам близки к идеальным газам, то при изохорическом теплообмене приросты энтропии для них имеют вид.

Тогда уравнение (6.91) примет форму.

т — т

Отношение (c)j =—-—-— имеет размерность температуры, оно 1п (7;-о/7;_в).

монотонно зависит от средней температуры z-ro потока вещества, а при малой разности температур сколь угодно близко к этой средней температуре (ij ~ 0,5(Т_ю + 7)_в)). Равенство (6.92) можно записать в форме.

Из (6.92) следует, что с уменьшением необратимости процесса 0₂, а значит и средняя температура нагреваемого потока, возрастает.

При заданной тепловой нагрузке и температуре Т₁₀ величина т_г фиксирована. Минимизация производства энтропии о за счет выбора W_b W₂ и за счет организации теплообмена позволяет при фиксированной поверхности теплообменника увеличить эффективную температуру нагреваемого потока, а значит, при заданной Т₂₀ повысить Г_2в.

Процесс термического разделения двухкомпонентной смеси. Рассмотрим процесс разделения смеси, состоящей из двух компонентов. Обозначим через g_b 7), s_b p_b h_b x_h соответственно молярный расход, температуру, молярную энтропию, давление, молярную энтальпию, концентрацию ключевого компонента и его химический потенциал в i-м потоке. Примем индекс i = 0 для разделяемого потока, i = 1 для потока, обогащенного ключевым компонентом (так что х_г> х₀), i = 2 для потока, очищенного от ключевого компонента (х₂ < х₀). К схеме разделения подводится поток теплоты q₊ от источника с температурой Т₊, и от нее отводится поток теплоты q_ к источнику с температурой Т_.

Запишем уравнения материального, энергетического и энтропийного балансов для схемы разделения. Они имеют вид.

Два последних равенства удобно переписать так, чтобы в них вошли не абсолютные значения, а приращения энтальпии и энтропии. С учетом (6.93), выразив поток g₀ через потоки и g₂, получим.

Здесь As₀₁ = s₀ — s_l5 As₀₂ = s₀ — s₂ — приросты энтропий, a A/i₀₁ = h₀— - h_v Ah₀₂ = h₀— h₂ — приросты энтальпий соответствующих потоков. Как правило, концентрации ключевого компонента в потоках заданы.

В качестве термического КПД процесса разделения может быть принято отношение целевого потока g₁ и потока теплоты q₊:

Воспользовавшись уравнениями материального баланса (6.93), выразим g₂ через g₁ и обозначим а = (jq — х₀)/(х₀ — х₂). Тогда второй поток g₂ = ag_v Уравнения (6.94), (6.95) примут форму.

Из (6.97) получим q_ = q₊+ g₁(Ah₀₁ + aAh₀₂) и подставим это выражение в (6.98). Приходим к равенству.

из которого следует, что.

Здесь F = T_(As₀₁ + aAs₀₂) — Ah₀₁ — ah₀₂. Приращения энтальпии и энтропии, входящие в F, имеют вид.

Энтропия смешения одного моля смеси i-ro потока:

Первое слагаемое в выражении (6.99), как и отношение T_/F, зависит только от параметров внешних потоков. В обратимом процессе производство энтропии, а равно нулю и термический КПД достигает максимума, равного первому слагаемому в (6.99) (своей обратимой оценки). Найдя тем или иным способом минимальную необратимость процесса, т. е. найдя минимально возможную при данной производительности и кинетике теплои массопереноса величину а, можно уточнить обратимую оценку термического КПД процесса разделения.

Абсрбционно-десорбционный цикл. В том случае, когда разделение осуществляется за счет циркуляции рабочего тела с поочередным поглощением им примеси в первом полуцикле (абсорбция или адсорбция) и выделением во втором полуцикле (десорбция), выражение для термического КПД, близкое к (6.99), но включающее химические потенциалы потоков, можно получить из термодинамических балансов для рабочего тела.

Так как параметры рабочего тела меняются периодически, то изменения его массы ДМ, внутренней энергии ДЕ и энтропии AS за цикл равны нулю. В термодинамические балансы входят средние за время цикла потоки теплоты и вещества. Из уравнения материального баланса следует, что расходы вещества, поглощенного из смеси в первом полуцикле и отданного во втором полуцикле, равны. Обозначим их через g. Уравнения балансов энергии и энтропии примут форму.

Из условия (6.100) q_ = q₊ +gAh₀₁, подставляя это равенство в (6.101), получим термический КПД цикла разделения:

Функция ф зависит, как и F в выражении (6.99), от параметров входного потока и потока, обогащенного ключевым компонентом:

В том случае, когда температуры разделяемой смеси и первого потока одинаковы (Т₀ = Т₁ = Т), приращение энтальпии Ah₀₁ = 0 и функция ф примет вид.

Для оценки производства энтропии, а весь процесс можно разбить на стадии. Например, абсорбционно-десорбционный цикл можно условно разбить на стадии теплои массопереноса. Оценив снизу производство энтропии о_: на стадии теплообмена, когда горячий раствор, выходящий из десорбера, отдает свое тепло раствору, поступающему в десорбер, производство энтропии а₂ на стадии абсорбции, о₃ на стадии нагрева раствора в десорбере внешним источником и а₄ на стадии.

выделения примеси в десорбере, можно найти, а =? a_t-. Эта величина.

t=i.

после подстановки в (6.102) позволяет найти необратимую верхнюю оценку для термического КПД цикла.

Другие, более сложные системы будут рассмотрены в последующих главах.

Использование уравнений термодинамических балансов для выделения области реализуемых значений параметров. Рассмотрим стационарный процесс, в котором E = N = S = 0. В этом случае из уравнений термодинамических балансов (6.63)—(6.65) и неравенства a > > a_min вытекают условия, которым должны удовлетворять реализуемые значения переменных в стационарном режиме термодинамического процесса:

При этом нужно учесть, что величина o_min в свою очередь зависит от значений потоков, коэффициентов теплои массопереноса, гидродинамики аппаратов и пр.