Распределение Больцмана. 
Физика

Барометрическая формула, представляющая распределение давления по высоте, позволяет получить обобщенную функцию распределения молекул в потенциальном поле. Воспользовавшись связью давления с концентрацией частиц р = nkT, из формулы (10.30) несложно получить.

Число молекул в малом прямоугольном параллелепипеде пространства объемом (IV = cbcdydz, расположенном вблизи точки (х, у, г), равно dN= ndV =

( ^п 'l.

= «₀ехр—I dxdydz. Соответствующая вероятность нахождения в этом.

У kT)

объеме имеет вид.

Полученное соотношение называется распределением Больцмана. В обобщенном виде.

распределение Больцмана устанавливается в любом потенциальном поле, в частности в неоднородном (меняющемся в пространстве). При этом наиболее точно в неоднородном поле рассчитывается отношение числа частиц на небольшом перепаде функции 11(х, у, z). В соответствии с формулой (9.14) функция распределения Больцмана имеет вид.

где константа находится из условии нормировки.

Таким образом, наиболее важные равновесные распределения частиц по кинетической и потенциальной энергии задаются экспоненциальной функцией (имеют экспоненциальный вид распределения). Такой вид связан с изотропией пространства. Можно показать, что экспоненциальный вид имеют также распределения в условиях слабой неравновесное™, например распределения в электрическом разряде или распределения с учетом поправки на неупругие столкновения при высоких энергиях. Однако в условиях сильной неравновесное™ характерным является степенной вид распределения, и функция распределения может убывать с ростом энергии по квадратичной или кубической зависимости. Это обычно имеет место при торможении быстрых частиц, например при торможении пучков ускоренных электронов в различных средах. При этом степенной вид убывания распределения определяется степенными вероятностями потери энергии и связан с трехмерностью пространства. Здесь стоит отметить еще аналогичный степенной вид в интервале многих порядков энергетического распределения космических лучей.