Оптимизация. 
Разработка модулей случайного поиска и математической модели, входящих в состав комплекса "CADoptimizer"

Вопрос оптимизации, стремление достичь наилучших параметров объекта проектирования, является одним из важнейших в современном проектировании.

Задачами параметрической оптимизации являются:

• 1. Нахождение наиболее оптимальных значений параметров.
• 2. Назначение оптимальных допусков на параметры по математической модели и заданным ограничениям на показатели качества.
• 3. Параметрическая идентификация (уточнение параметров в модели блока объекта проектирования на основе данных испытания).

С целью математической формулировки задачи автоматизации проектирования с применением методов оптимизации и постановки задачи дипломной работы введем некоторые понятия и обозначения.

Проектные параметры — это независимые переменные параметры, которыми однозначно определяется задача проектирования.

x = (x1, …, xn) T ,.

где — одна из характеристик объекта.

Значения проектных параметров вычисляются в процессе оптимизации. Проектными параметрами могут быть все основные или производные величины, которые служат для количественного описания системы. Степень сложности задачи проектирования характеризуется числом проектных параметров.

Остальные параметры могут являться как постоянными, так и случайными величинами. Факторы внешней среды, которые влияют на объект проектирования, называются внешними параметрами. Сведем в вектор все внешние параметры, имеющие в общем случае, случайную природу:

Свойства, которые характеризуют количественные значения показателей объекта проектирования, называются характеристиками:

Математической моделью объекта оптимизации будем называть отображение между множествами параметров:

в частности, эти соотношения имеют функциональный характер:

При разработке математической модели для проведения расчетов часто используются следующие принципы:

• — Внутренние параметры, которые оказывают слабое влияние на техническую характеристику, не учитываются;
• — Модель разрабатывается для уменьшенного диапазона входных воздействий и дестабилизирующих факторов, опираясь на реальные условия эксплуатации и степень их влияния на техническую характеристику.

Для оценки оптимизируемого варианта работы объекта должна вводиться какая-то количественная мера — критерий оптимальности. Критерий оптимальности — это количественная оценка оптимизируемого свойства объекта. После выбора критерия оптимальности должна составляться целевая функция.

Целевая функция — это выражение, к минимуму или максимуму значения которого стремится человек, проектирующий объект. С помощью вычисления значения целевой функции становится возможным количественное сравнение двух решений. С математической точки зрения целевая функция является описанием некоторой (n+1)-мерной поверхности. Ее значение зависит от проектных параметров. Наиболее частыми примерами целевой функции, которые встречаются в инженерной практике, являются вес, прочность, габариты, стоимость, КПД.

В некоторых задачах оптимизации требуется введение двух или более целевых функций. Часто одна из них оказывается несовместимой с другой. В качестве примера можно взять проектирование авиационной техники, когда нужно одновременно обеспечить и максимальную прочность, и минимальный вес, и наименьшую стоимость. В таких случаях проектировщику необходима система приоритетов с некоторыми безразмерными множителями, поставленными в соответствие каждой целевой функции, называемыми весовыми коэффициентами.

При проектировании конкретных объектов и процессов существует задача минимизации или максимизации некоторых характеристик. Некоторые алгоритмы оптимизации подходят для нахождения максимума, а некоторые — для нахождения минимума. Однако при решения задач разного типа, для поиска экстремума можно воспользоваться каким-то одним алгоритмом, ведь задачу минимизации всегда можно свести к задаче поиска максимума, изменив знак целевой функции на противоположный.

Локальный оптимум. Локальным оптимумом называется точка в пространстве решений, в которой целевая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение из всех, которые соответствуют точкам ее ближайшей окрестности.

Обычно в пространстве проектирования бывает несколько локальных оптимумов, поэтому первый найденный оптимум необязательно является наиболее оптимальным решением задачи.

Глобальный оптимум. Глобальным оптимумом называется оптимальное решение для всего множества допустимых решений. Оно является наилучшим из всех решений, которые соответствуют локальным оптимумам. Именно глобальный оптимум требуется найти проектировщику. Бывают случаи, когда существует несколько равных глобальных оптимумов, которые расположены в разных частях пространства проектирования.

Для того чтобы решить задачу оптимизации, требуется:

• — составить математическую модель оптимизируемого объекта;
• — выбрать критерий (критерии) оптимальности и составить целевую функцию;
• — наложить на параметры возможные ограничения;
• — выбрать метод оптимизации, с помощью которого будет осуществляться поиск экстремальных значений искомых величин.

Задачи оптимизации классифицируются по видам математических моделей, которые состоят из таких элементов как: искомые переменные, исходные данные, зависимости.

Искомые переменные бывают непрерывными и дискретными. Непрерывные переменные — это такие величины, которые на заданном промежутке могут принимать абсолютно любые значения. Дискретными являются переменные, которые принимают лишь заданные значения. Целочисленные дискретные переменные — это те дискретные переменные, которые принимают только целые значения.

Исходные данные бывают детерминированными и случайными. Во многих задачах точные значения некоторых элементов, входящих в модель, может быть неизвестно заранее. Тогда такие элементы модели называются случайными величинами.

Зависимости между переменными бывают как линейными, так и нелинейными. Если в задаче есть хотя бы одна нелинейная зависимость, то и вся задача будет являться нелинейной.

Задача многокритериальной оптимизации — это наиболее общая математическая модель принятия оптимального решения. В этом случае оптимизация производится по нескольким частным критериям, а полученные в результате задачи называются задачами многокритериальной или векторной оптимизации. Многокритериальная оптимизация является попыткой добиться наилучшего значения для определенного множества характеристик оптимизируемого объекта, то есть добиться некоторого компромисса между частными критериями.

Постановка задачи может быть представлена следующим образом:

Нахождение решения задач многокритериальной оптимизации сводится к нахождению экстремума некоторой скалярной целевой функции F (Q), к которой тем или иным способом сводится векторная функция Ф (Q), на множестве параметров Q:

найти min F (Q),.

Qmin? Q? Qmax при G (Q)? 0,.

где F (Q) У[Ф (Q)] - скалярная целевая функция;

У — оператор преобразования;

G (Q) — вектор ограничений, возникающий при сведении векторной функции в скалярную.

Для решения данной задачи есть несколько методов поисковой оптимизации, но их применение на практике может быть ограничено большой размерностью математической модели объекта оптимизации или неоднозначностью поиска оптимального решения, когда возникают противоречивые требования к характеристикам устройства или системы.

Причины, по которым возникают многокритериальные задачи:

1. Первая причина, приводящая к многокритериальности — это большое количество технических требований, которые предъявляются к параметрам проектируемого объекта. Их можно объединить в систему неравенств:

где предельное значение i? го технического требования.

В таком случае частные критерии оптимальности обычно отсутствуют в явном виде, и их нужно вводить искусственно при помощи выражений:

Здесь w? весовой коэффициент, отвечающий за важность i-го ограничения:

Так решение системы неравенств сводится к решению задачи векторной оптимизации:

2. Следующая причина многокритериальности — это необходимость обеспечения оптимальных характеристик проектируемого объекта в различных условиях его работы, то есть получения экстремумов критерия оптимальности при неопределенных условиях, в которых приходится работать объекту. При этом неопределенность имеет либо количественный характер, выраженный при помощи параметра v, что в свою очередь приводит к задаче оптимизации:

либо качественный характер, который связан с указанием определенных условий функционирования. Тогда качество и эффективность работы могут быть охарактеризованы всевозможными критериями оптимальности.

Когда неопределенность функционирования носит количественный характер, задача оптимизации может быть сведена к задаче векторной оптимизации с помощью дискретизации критерия оптимальности Q (, v) по параметру v и применению в качестве частных критериев оптимальности отдельных функций.

Данный подход к задаче оптимального проектирования дает возможность учитывать влияние внешних факторов (ускорения, температуры, радиации и т. п.) на критерий оптимальности и ограничения проектируемого объекта.

3. При постановке задачи оптимального проектирования один из главных вопросов — это вопрос о выборе критерия оптимальности Q (). С одной стороны, критерий должен обладать определенным физическим смыслом, а с другой — требуется, чтобы этот критерий как можно более полно описывал проектируемый объект. Однако вопрос о функциональной полноте сложно решить с помощью лишь одного скалярного показателя, в виду того, что он обычно описывает какое-либо конкретное свойство проектируемого объекта. Таким образом, приходится рассматривать совокупность показателей (Q1…Qs), каждый из которых имеет наглядную физическую интерпретацию и дает возможность оценить качество оптимального решения с различных точек зрения.

Итак, требование к обеспечению функциональной полноты показателей, которые конкретизируют оптимальные свойства проектируемого изделия или процесса, при одновременной их физической наглядности ведет к многокритериальности, которая следует из постановки задачи оптимального проектирования. Например, когда производится проектирование транзисторного логического элемента бортовой ЭВМ автотракторного средства нужно рассматривать сразу несколько частных критериев оптимальности, которые отвечают за какие-либо свойства схемы, и это приводит к задаче векторной оптимизации:

где Dx — допустимая область работоспособности схемы, Q1(- нагрузочная способность; Q2(, Q3(- статическая помехоустойчивость в закрытом состоянии к отпирающей по напряжению помехе и к запирающей по току, действующей в открытой схеме, соответственно, Q4(- рассеиваемая мощность, Q5(- среднее время задержки сигнала. Оптимальный вариант логической схемы обязан иметь экстремумы значений для каждого из частных критериев (Q1,…Qs).

4. В случае если проектируемое изделие или процесс состоит из некоторого количества взаимосвязанных узлов и блоков, общая оптимальность зависит от эффективности и качества его отдельных частей, каждую из которых можно охарактеризовать, как минимум, одним частным критерием оптимальности Qi (.

Тогда функционирование объекта оптимизации можно назвать наилучшим, если за счет выбора управляемых параметров могут быть получены экстремальные значения каждого из частных критериев оптимальности как основных подцелей одной общей цели проектирования.

5. Другая ситуация, которая приводит к многокритериальности — это тот случай, когда функционально-логическая модель проектируемого изделия или процесса не присутствует и необходимо составить ее так, чтобы внешние параметры как можно лучше соответствовали экспериментальным данным. [3].