Канонические уравнения метода сил

Принятая основная система по своей работе будет отличаться от заданной. Если в основной системе точки приложения лишних неизвестных усилий Х1, Х2, …, Хi, …, Хn имеют линейные и угловые перемещения, то в заданной системе эти перемещения равны нулю, так как в ней существуют связи, препятствующие этим перемещениям. Поэтому, для приведения соответствия работ основной и заданной систем, необходимо на основную систему наложить некоторые ограничения. Эти ограничения записываются в виде канонических уравнений метода сил:

• 11 Х1 + 12 Х2 + … + 1n Хn + 1K = 0,
• 21 Х1 + 22 Х2 + … + 2n Хn + 2K = 0,(2.5)

n1 Х1 + n 2 Х2 + … + n n Хn + n K = 0.

Или.

i j Х j + i K = 0, (i = 1, 2, …, n).

Смысл этих уравнений геометрический, то есть они выражают отсутствие в основной системе перемещений точек приложения устраненных связей по их направлению, вызванных заданным воздействием и лишними неизвестными Х1, Х2, …, Хi, …, Хn. Коэффициенты при неизвестных i j от Х j =1 определяются для системы с m стержнями, работающими преимущественно на изгиб (рамы, балки), по формуле Мора-Максвелла.

i j = .(2.6).

Перемещения i j разделяются на главные удельные перемещения, i i, j j, (i = j), которые всегда положительны, и побочные удельные перемещения i j (i j), которые могут принимать произвольные значения. Поскольку побочные удельные перемещения по теореме Максвелла обладают свойством взаимности i j = j i, то матрица коэффициентов канонических уравнений метода вил (2.5) будет всегда симметрична по отношению к главной диагонали.

Свободные члены i K представляют собой перемещения в основной системе от нагрузки i р, изменения температурного режима i t, кинематического воздействия i С и выражаются в виде.

i K = i р + i t + i С .(2.7).

Слагаемое i р представляет собой перемещение в основной системе по направлению силового фактора Хi от нагрузки. Оно определяется для систем, работающих преимущественно на изгиб, по формуле Мора-Максвелла:

i р = ,(2.8).

где — изгибающий момент в основной системе от действия единичного неизвестного Хi = 1; - изгибающий момент от действия заданной нагрузки в основной системе.

Вычисление изгибающих моментов в сечениях статически определимой основной системы и построение эпюр от указанных воздействий выполняется статическим способом вырезания узлов и простых сечений. Если ординаты одной из эпюр, , изменяются по линейному закону, то для вычисления перемещений i j и i р можно применять правило:

i j =; i р = .(2.9).

Слагаемое i t (2.7) представляет собой перемещение в основной системе изучаемой точки i по изучаемому направлению от изменения температурного режима, определяемое по формуле:

i t = + ,(2.10).

при условии постоянного изменения температуры по длине участка и однородности материала. Здесь: — коэффициент линейного расширения материала;

t0 = (t1 + t2)/2.

— приращение температуры по оси стержня; t1 — приращение температуры наружных волокон; t2 — приращение температуры внутренних волокон;

t = t1 — t2.

— перепад температур; h — высота сечения в плоскости изгиба; и — площади эпюр нормальных сил и изгибающих моментов на стержне с меняющейся температурой от одиночного силового фактора (Рi =1 или Мi =1); Т — число стержней, на которых происходит изменение температурного режима. Каждое слагаемое в (2.10) считается положительным, если деформации, вызванные силовым фактором Рi =1 или Мi =1 и изменением температурного режима совпадают, и отрицательным, если эти деформации не совпадают.

Слагаемое i С в (2.7) представляет собой перемещение в основной системе изучаемой точки i по изучаемому направлению от кинематического воздействия, определяемое по формуле:

i С в= - rC i Сi, (2.11).

где rCi — реакция в связи, получившей кинематическое воздействие, от силового фактора Рi =1 или Мi =1; Сi — величина кинематического воздействия.

Сумма произведений распространяется на все связи, получившие перемещение, или осадку. Реакция rCi считается положительной, если ее направление совпадает с направлением кинематического воздействия, и отрицательной, если не совпадает.