Метод конечных элементов является одним из наиболее распространенных методов решения задач строительной механики твердого деформируемого тела. Сущность его состоит в том, что заданная система разбивается на отдельные элементы конечных размеров. Для стержневых систем конечными элементами могут быть стержни или части стержней; для двухмерных областей — прямоугольные или треугольные конечные элементы; для трехмерных областей — тетраэдры или параллелепипеды (рис. 4.1). Независимо от вида каждый элемент сохраняет все физические и геометрические свойства заданной расчетной схемы.
Форма конечных элементов должна быть удобна для исследования их напряженно-деформированного состояния при внешних воздействиях и силах взаимодействия между соседними элементами. Конечные элементы объединяются в заданную систему из условий равновесия, равенства деформаций и перемещений в узловых точках, соединяющих эти элементы. Сопряжение элементов в узлах осуществляется на основе дополнительных условий, характеризующих напряженно-деформированное состояние конечных элементов. Таким образом, в методе конечных элементов выбором узловых точек любая заданная система заменяется основной системой с конечным числом степеней свободы, где анализируются силы и перемещения в узлах. Это позволяет выполнять расчеты не только стержневых систем, но и пластин, оболочек, массивов.
Решение может быть выполнено по методу сил, если за неизвестные принимаются силы взаимодействия между конечными элементами в местах их соединения, или по методу перемещений, когда за неизвестные принимаются перемещения узлов, соединяющих элементы. В методе сил неизвестные силы должны обеспечивать равенство перемещений конечных элементов в узлах, а в методе перемещений неизвестные перемещения должны удовлетворять условиям равновесия узлов. Метод конечных элементов в форме метода перемещений является более удобным по сравнению с другими, поэтому он получил наибольшее распространение. Хотя в основном метод конечных элементов используется для расчета континуальных систем, пластин, плит, оболочек, массивов и систем, состоящих из них, его можно применять и к стержневым системам.
В данном пособии рассмотрен метод конечных элементов для расчета только стержневых и шарнирно-стержневых систем. Здесь рассмотрен процесс формирования матрицы жесткости стержневого конечного элемента, матрицы жесткости стержневой системы и примеры решения задач методом конечных элементов.
