Математические модели и расчет линейных электрических цепей

1. Введение

2. Исходные данные

3. Математическая модель цепи

3.1 Математическая модель цепи для мгновенных значений при действии источников сигнала произвольной формы e (t) и j (t)

3.2 Математическая модель цепи для комплексных значений при действии источников гармонического сигнала

4. Расчет тока ветви

4.1 Расчет тока ветви методом контурных токов

4.2 Расчет тока ветви методом узловых напряжений

4.3 Расчет тока ветви методом эквивалентного генератора

5. Расчет токов ветвей при постоянном токе

6. Заключение

1. Введение

Целью работы является составление математической модели цепи и приобретение навыков расчета линейных электрических цепей в установившемся режиме, при гармоническом воздействии; методами контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора.

Математическая модель цепи (ММЦ) — совокупность топологических и компонентных уравнений для рабочей цепи. ММЦ для мгновенных значений при действии сигнала произвольной формы e (t) и j (t) составляется для мгновенных значений токов и напряжений в цепи. Она может быть составлена для цепи при любом воздействии, но является очень неудобным для расчета токов и напряжений.

ММЦ для комплексных значений при действии источников гармонического сигнала основана на замене токов и напряжений их комплексным изображением, при этом система уравнений упрощается. Недостаток этой ММЦ состоит в ограниченности применения (только для линейных цепей, только в установившемся режиме и только при гармоническом воздействии).

ММЦ для постоянных значений при действии источников постоянных сигналов e (t)=E=const и j (t)=J=const составляется двумя способами:

1. составляется система уравнений для этой цепи, при действии гармонического сигнала, а затем, полагается что =0 (=wt+, где w-частота, — начальная фаза);

2. исходную схему преобразуют следующим образом:

Сложные электрические цепи удобно рассчитывать, используя метод контурных токов (МКТ), метод узловых потенциалов (МУП) или метод эквивалентного генератора (источника) (МЭГ).

МКТ основан на введении понятия контурных токов (I_ii). В МКТ рассчитываются не токи ветвей, а контурные токи.

I_ii=_i/_z,

где _z— определитель матрицы сопротивлений, _i— определитель матрицы сопротивлений в которой i-тый столбец матрицы заменен на столбец левых частей.

Контурные токи совпадают по направлению с выбранными контурами, при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Токи ветвей находятся как алгебраическая сумма контурных токов. Число независимых уравнений, в МКТ, равно числу независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. В МКТ выдвигаются условия к типу источника сигнала, используется только источник напряжения, источники тока пересчитываются в источники напряжения через эквивалентное преобразование.

МУП основан на введении понятия узлового напряжения (потенциала). Узловое напряжениенапряжение между i-тым узлом и узлом, принимаемым за нулевой, нулевой узел выбирается из условия рациональности расчёта.

U_i=_i/_y,

где _y— определитель матрицы проводимостей, _i— определитель матрицы проводимостей в которой i-тый столбец матрицы заменен на столбец левых частей.

Узелточка соединения нескольких элементов или ветвей. Ветвьэлемент или последовательна соединенные элементы, включенные между двумя узлами.

Токи в любой ветви находятся как произведение узлового напряжения на проводимость ветви, включенной между этими узлами.

МЭГ основан на теореме об эквивалентном источнике. Ток ветви не изменится, если эквивалентный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить на эквивалентный источник тока или ЭДС. Ветвь в которой нужно найти ток удаляется. По получившейся после удаления ветви модели любым удобным способом (МКТ, МУП или др.) находится Uxx=Eэг_. Второй параметр эквивалентного генератора Z_эг (Z_эг входное сопротивление).

2. Исходные данные

В предложенном задании была дана следующая схема, с соответствующими значениями величин элементов:

w = 10 000 рад/с

E₁=5B

J₀= -i2.5

R₁=3Om

R₂=3Om

R₃=3Om

L₁=0.6*10^-3Гн

L₂=0.3*10^-3Гн

C₁=16.7*10^-6Ф

C₂=33.3*10^-6Ф

3. Математическая модель цепи

3.1 Математическая модель цепи для мгновенных значений при действии источников сигнала произвольной формы e (t) и j (t)

Составим ММЦ для мгновенных значений при действии сигнала произвольной формы e (t) и j (t).

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов минус один.

N₁ =N_у -1= 4−1 = 3

где N₁ -число уравнений составляемых по первому закону Кирхгофа,

N_у — число узлов_.

Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно число ветвей минус число узлов плюс один.

N₂=N_в-N_у+1 = 6−4+1 = 3

где N₂— число уравнений составляемых по второму закону Кирхгофа,

N_в— число ветвей.

Баланс мощности для данной цепи:

3.2 Математическая модель цепи для комплексных значений при действии источников гармонического сигнала

Заменив элементы цепи соответствующими комплексными изображениями.

В результате получается система из шести независимых уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Уравнений, в полученной системе, столько же, сколько и в первом случае.

Баланс мощности в комплексном виде для данной цепи:

4. Расчет тока ветви

4.1 Расчет тока ветви методом контурных токов

Для расчета тока методом МКТ необходимо заменить источник тока источником ЭДС.

E₀ = J₀R₁ = -2.5i3 = -7.5i

в результате преобразования схемы и назначения контурных токов получаем что

I₂ = I₂₂

составим систему уравнений, по второму закону Кирхгофа, в матричном виде. Число независимых уравнений равно:

N₂=N_в-N_у+1 = 6−4+1 = 3

По методу Крамера получаем:

I₂₂=₂/_z

I₂=I₂₂=0.663 857+0.45 5819i

4.2 Расчет тока ветви методом узловых напряжений

Для расчета тока методом МУП необходимо заменить источник напряжение источником тока и последовательно соединённые сопротивления эквивалентным.

в результате преобразования схемы назначения узлов получим, что

I₂ = U₂₃y_3, а U₂₃ = U₂ — U₃,

где U₂₃ -напряжение в ветви, где надо найти ток.

Составим систему уравнений в матричном виде:

По методу Крамера получаем:

U₂=₂/_Y

U₃=₃/_Y

U₂₃=U₂+U₃=(0.813 013−2.191 354)-(1.437 111+1.167 677)=-0.624 098−3.35902i

I₂=U₂₃Y₃=(-0.624 098−3.35902i)(0.166 667−0.16 6667i)=-0.663 857−0.45 5819i

4.3 Расчет тока ветви методом эквивалентного генератора

Для расчета тока ветви по МЭГ необходимо отключить ветвь схемы, в которой следует рассчитать ток, и найти параметры эквивалентного генератора U_xx=E_эг и Z_эг. (U_{хх -} напряжение холостого хода, Z_{эг -} сопротивление эквивалентного генератора).

Определим параметры эквивалентного генератора, используя МУП.

U_XX=₂/_Y

U_XX=(0.46 111−0.18 5278i)/(0.9 204+0.9306i)= -7.587 132−12.45 8947i

Z_эг=₂₂/_Y

Z_эг=(0.83 334+0.16 6555i)/(0.9 204+0.9306i)=13.524 581+4.42 1474i

В результате замены получаем простую цепь, содержащую источник ЭДС и последовательно соединённые сопротивления.

Отсюда следует, что:

Теперь, когда результаты всех трех методов сошлись, подсчитаем мгновенное значение искомого тока (I_2m)

=arctan (y/x)=(-0.455 819/(-0.663 857))=0.60 168

5. Расчет токов ветвей при постоянном токе

Вычислим токи всех ветвей в предположение, что задающие источники сигнала являются источниками постоянного тока и постоянного напряжения, значение которых задаются условием:

E₁=(e (t))/w=0 и J₀=(j (t))/w=0

E₁=5B и J₀=2.5A

Преобразуем источник тока в источник напряжения.

E₀=JR₁ =2.53=7.5B

В результате преобразования схема примет вид

I=(E₀+E₁)/(R₁+R₂+R₃)=(7.5+5)/(3+3+3)=1.38 8889A

Так как схема преобразовалась в чисто последовательную цепь, по ней протекает один ток I, токи I₄=I₂=I₃=I₇=I, а I₁=I₅=0,

I₆=I₇-J₀=1.388 889−2.5= -1.11 1111A

Составим систему уравнений по второму законам Кирхгофа, для нахождения U_C1 и U_C2.

Баланс мощности для постоянного тока:

Проверим выполнение баланса мощности.

6. Заключение

математический электрический цепь ток

В результате проделанной работы были рассмотрены и применены на практике три метода расчета линейных электрических цепей (МУП, МКТ, МЭГ) и рассчитано значение тока ветви J₂=0.663 858+0.45582i и |J₂|=0,805 281А.

Все методы применимы для расчета электрических цепей при гармоническом воздействии, состоящих из линейных элементов. Метод МЭГ применим так же при наличии ветви содержащей нелинейный элемент. В отличие от этих методов, ММЦ позволяет рассчитать цепь при любом воздействие и содержащих как линейные, так и нелинейные элементы. Выбор между методами осуществляется для каждой цепи в отдельности.