Математическое моделирование технологических процессов на ЭВМ

МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ УКРАИНЫ ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

по теме: «Математическое моделирование технологических процессов на ЭВМ»

ЗАДАНИЕ

1. Теоретическая часть

1.1 Математическое моделирование. Классификация методов моделирования

1.2 Информационное и техническое обеспечение моделирования

1.3 Отделение корней методом простых интеграций. Составить блок-схему, алгоритм и программу на языке программирования ''BASIC''

1.4 Дифференцирование и аппроксимация зависимостей Методом наименьших квадратов

2. Практическая часть

2.1 Решение нелинейного уравнения вида f (x)=0 методом Ньютона

2.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя

2.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом итераций

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Математическое моделирование. Классификация методов моделирования математическое моделирование линейное уравнение Модель является формой и одним из средств отражения действительности. Понятие «модель» чаще всего употребляют в двояком смысле — как образец чего-то (модель машины, одежды и т. д.) и как изображение изучаемого явления или процесса (представление электрического тока в виде движения жидкости, мнемоническая световая схема технологического процесса, модель солнечной системы и пр.).

Под моделью подразумевают такую мысленно представленную или материально реализованную систему, которая. отображая или воспроизводя объект исследования (оригинал), способна замещать его на определенном этапе исследования. Форма и средства представления при этом могут быть различными: математическое или словесное описание, физическая установка, алгоритм или программа на вычислительной машине. Модель в отличие от описания играет активную роль в исследовании, поскольку на модели можно с минимальными затратами времени определить режимы другие характеристики технологического процесса, конструктивные параметры машины или аппарата, затраты на производство готового продукта.

Моделирование решает задачу установления требований, которым должна соответствовать модель. При том процессы, происходя не в ней, должны быть подобны или аналогичны процессам, происходящим в оригинале. В связи с этим иногда основную задачу конкретной науки рассматривают как построение моделей тех объектов, которые она изучает, а моделирование — как первостепенный научный метод. Большой вклад в теорию подобия внесли советские ученые М. В. Кирпичев, Г. А. Гухман, М. А. Михеев, А. В. Лыков и др.

Моделирование — основной метод исследования таких технологических процессов, для которых невозможно определить экспериментально их основные характеристики в производственных условиях.

Методы моделирования вообще и математического в частности играют большую роль в интенсификации научных исследований и технического прогресса, так как позволяют получить количественную оценку предполагаемых технических решений наиболее экономичными способами.

К моделированию предъявляются два основных требования:

§ исследования на модели должны быть экономичнее, проще, безопаснее, т. е. в определенном смысле лучше, чем на оригинале;

§ должно быть известно правило расчета характеристик оригинала на основе данных, полученных на модели, так как в противном случае исследование на модели не имеет смысла.

Физическое моделирование позволяет углубить знания о комплексе происходящих явлений в моделируемого объекте, уточнить количественную оценку и облегчить математическое описание отдельных сторон процесса. Методы физического моделирования лучше и нагляднее воспроизводят процессы, протекающие в оригинале по сравнению с другими методами. Измерительные и регулирующие приборы могут быть присоединены к модели без специальных преобразующих устройств, которые вносят искажения и дополнительные погрешности.

Исследования методами физического моделирования проводят в следующем порядке:

§ устанавливают основные, подлежащие численному определению, параметры технологического процесса, характеризующие качество процесса, аппарата или продукта;

§ исходя из количества подлежащих определению параметров и выбранных масштабов, рассчитывают и изготовляют одну либо несколько физических моделей (лабораторных или полупроизводственных (опытных, пилотных) установок);

§ с помощью этих установок (моделей) получают численные значения подобных параметров и пересчитывают их для определения параметров оригинала (исследуемого объекта).

Лабораторные установки (физические модели) сохраняют физическую природу изучаемых этапов технологических процессов. Поскольку природа процесса при этом сохраняется, установки или модели воспроизводят весь комплекс явлений, характеризующий моделируемый процесс, в который могут входить и стороны процесса, не подлежащие на данном этапе изучению путем математического описания, т. е. не могут быть представлены математическими соотношениями.

Исходной предпосылкой теории подобия является то, что подобные явления описываются одинаковыми уравнениями. Процессы, связанные с движением ньютоновских жидкостей, описываются уравнениями Навье-Стокса и неразрывности. Следовательно, эти уравнения должны входить в математическое описание любого гидродинамического процесса. Тепловые процессы описываются уравнениями Фурье-Кирхгаа, Навье-Стокса и неразрывности, процессы массопереноса — уравнениями переноса массы, движения и неразрывности. Еще более сложными системами уравнений описываются процессы связанного тепломассопереноса, химических и биохимических превращений.

В соответствии с принципами теории подобия, между подобными явлениями (между оригиналом и моделью) должно быть геометрическое подобие, подобие физических величин, начальных и граничных условий. Уравнения переноса, геометрические и физические характеристики системы, граничные и начальные условия составляют математическое описание процесса.

Критерии или числа подобия используются в качестве обобщенных переменных. Это имеет большое практическое значение, так как позволяет варьировать не все физические величины, а только критерии подобия.

Вместе с тем физическому моделированию присущи недостатки, которые ограничивают либо делают в некоторых случаях невозможным исследование технологических процессов этими методами.

§ При исследовании нового процесса или другой стороны одного и того же процесса необходимо создавать новую модель, а изменение параметров моделируемого объекта требует трудоемких переделок модели или полную ее замену.

§ Особенно недостатки физических моделей проявляются при совместном моделировании целого ряда этапов технологического процесса.

§ Нагромождение физических моделей требует их взаимной увязки и построения не менее сложной системы управления моделями, чем система управления технологическим процессом (оригиналом).

§ В случае применения одной физической модели (лабораторной установки), моделирующей производственный комплекс, исследование всего технологического процесса на физической модели происходит медленнее, чем течение технологического процесса в производственных условиях, что ведет к значительным погрешностям.

Аналоговое моделирование .

В теории подобия, которая положена в основу физического моделирования, принято считать, что в оригинале и модели протекают одинаковые по природе явления. Отличие модели от оригинала заключается в различных численных значениях сходственных параметров модели и оригинала. Масштабы для пересчета сходственных параметров выбирают исходя из равенства симплексов и комплексов (критериев) подобия.

Аналогичными считают объекты и процессы. описываемые аналогичными или одинаковыми по форме уравнениями. Уравнения называют аналогичными, если они содержат различные физические величины, но все операторы (знаки алгебраических действий, символы функций, дифференцирования и интегрирования и т. д.) совпадают и следуют в одном и том же порядке. Величины, которые в аналогичных уравнениях стоят на одинаковых местах, называют аналогами. Методы изучения явлений на основе аналогов называют аналоговым моделированием и широко используют в науке и технике.

Любую физическую систему можно использовать в качестве аналоговой модели, если в ней существуют определенные математические соотношения между непрерывно изменяющимися физическими величинами, подобные или аналогичные исследуемой физической системе (оригиналу) или решаемой математической задаче.

Существуют два типа АВМ. Первые моделируют физическую систему по ее отдельным частям (физическое моделирование), а вторые — по операциям математического уравнения (математическое моделирование). АВМ второй группы представляют собой счетно-решающие устройства, состоящие из отдельных операционных блоков, каждый из которых может выполнять какую-либо математическую операцию:

сложение, умножение, интегрирование и т. д., т. е. блоки операций, представленные структурой ЭВМ, изоморфны математическим операциям.

ЭВМ первой группы получили название модели-аналоги, так как воспроизводят решение задачи в ее физической постановке, на основе метода аналогий.

1.2 Информационное и техническое обеспечение моделирования Под информационным обеспечением понимают совокупность информационных процессов, методов и средств их организации и преобразования, которые осуществляются в процессе моделирования и автоматизированного проектирования. Исходя из структуры и задач информационного обеспечения моделирования можно определить требования к программному обеспечению и выбрать технические средства, т. е. вычислительную машину или их комплекс. Информационное обеспечение или исходные данные для моделирования обычно представляют в виде банка данных (БД).

Под исходными данными понимают совокупность сведений об объекте моделирования и окружающей его среде, представленных условиями, требованиями, значениями показателей или графическими изображениями. Например, для систем автоматизированного проектирования предприятий исходные данные содержат задание на проектирование, технические условия на площадку строительства, сведения о материальных, трудовых и топливно-энергетических ресурсах, характеристики технологических процессов и оборудования и пр.

Исходные данные различаются содержанием, объемом и формами их представления и должны обеспечить разработчика модели необходимым объемом]сведений, для решения технической задачи с помощью математической модели.

Сведения об источниках информации определяются их наименованиями, местом нахождения и числом обращений к ним. Для обеспечения информационной целостности и совместимости с системой управления процессом проектирования ИД должны быть организованы на базе принципов унификации с обеспечением единообразия форм и содержания входных, промежуточных и выходных данных на основе единых требований и принципов их классификации, с учетом сокращения типов и числа этих документов В информационное обеспечение входят сбор, хранение, обработка, поиск и выдача потребителю сведений в частности, в информационное обеспечение входят все модели машин и аппаратов, используемых при проектировании технологических линий. Для составления математических моделей отдельных видов технологических процессов и оборудования в БД должны входить сведения о физических свойствах, химическом составе, расходах входных потоков, а также тип, геометрические характеристики машин и аппаратов.

Важным компонентом информационного обеспечения является организация поиска необходимых данных. Поисковый запрос представляет собой сформулированное на естественном языке осознанное требование, адресованное в информационную поисковую систему (ИПС) в определенный период времени. Смысловое содержание запроса, выраженное в терминах информационно-поискового языка, составляет поисковое предписание. Запрос и поисковое предписание включают в себя набор поисковых признаков, которым должны соответствовать искомые объекты, т. е. оборудование, унифицированные решения.

Основными техническими средствами математического моделирования являются современные вычислительные машины, которые по форме представления разделены на цифровые, аналоговые и аналого-цифровые Единая система электронных цифровых вычислительных машин (ЕС ЭВМ) представляет собой семейство программно совместимых машин, построенных на единой элементной и конструктивно-технологической основе, с единой структурой, системой программного обеспечения и унифицированным набором внешних устройств. Аналогично организована и единая система СМ ЭВМ.

В основу построения ЕС и СМ ЭВМ положены также принципы: мультипрограммирование совместимость систем программирования на уровне машинных кодов отдельно для ЕС и СМ, высокий уровень стандартизации и унификации внутри каждого ряда, широкое применение интегральной микроэлектроники, возможность организации многоэтапной работы по созданию и совершенствованию технических и программных средств ЕС и СМ ЭВМ.

Одной из особенностей машин Единой системы является возможность работы в режиме разделения времени, при котором несколько абонентов, удаленных от ЭВМ на достаточно большие расстояния, могут общаться с ней непосредственно, оперативной независимо друг от друга. Взаимодействие удаленных абонентов с ЭВМ осуществляется с помощью периферийной аппаратуры, подсоединенной к каналам через стандартную систему сопряжения Благодаря стандартному сопряжению центральный процессор может работать с большим набором разнообразных периферийных устройств.

Ряд моделей ЕС ЭВМ объединяет машины, имеющие общую логическую структуру и принцип работы. Под логической структурой ЭВМ понимается совокупность функциональных средств и принципов их взаимодействия. Однородность логической структуры всех моделей ЕС ЭВМ достигается тем, что предусмотренные в ней средства выполняют одинаковые функции и одинаково взаимодействуют между собой. Но несмотря на общность логической структуры, различные модели ряда отличаются производительностью, емкостью памяти, конфигурацией и т. д. К центральным устройствам, составляющим ядро ЭВМ, относятся процессоры, оперативные запоминающие устройства, мультиплексные и селекторные каналы: к периферийным — внешние устройства (внешние запоминающие устройства, устройства ввода — вывода данных, устройства систем телеобработки данных, устройства подготовки данных и сервисные).

Эффективное использование технических средств ЕС ЭВМ обеспечивается развитой системой программного обеспечения (СПО), в состав которой входят операционные системы (ОС), пакеты прикладных программ (ППП) и комплексы программ технического обслуживания (КПТО).

Операционная система является неотъемлемой частью комплекса технических средств. Это ядро системы программного обеспечения любой ЭВМ. В СПО ЕС ЭВМ имеются следующие операционные системы: операционная система ОС 10, ОС 11 и ОС 12 для моделей ЭВМ ЕС-1010, ЕС-1011 и ЕС-1012 соответственно; малая операционная система МОС ЕС для ЕС-1021; дисковая операционная система ДОС ЕС для ЭВМ, начиная с модели ЕС-1020 и старше (за исключением ЕС-1021), с памятью малой емкости (64—12S К байт); операционная система ОС ЕС для ЭВМ, начиная с модели ЕС-1020 и старше (за исключением ЕС-1021 и ЕС-1025), с памятью большей емкости (128 К байт и выше).

Математическое обеспечение семейства микро ЭВМ «Электроника» включает в себя ассемблер: БЕЙСИК, ФО-КАЛ, ТМОС, ФОДОС и ОСДВК и различные стандартные и вспомогательные программы.

1.3 Отделение корней методом простых интеграций. Составить блок-схему, алгоритм и программу на языке программирования ''BASIC''

От исходного уравнения (1.1) перейдем к эквивалентному уравнению

f (x, p1, p2Рп) = 0, (1.1)

где f — заданная функция;

х — неизвестная величина;

р1, р2,…, рп — параметры задачи х = <�р (х). (1.2)

Пусть известно начальное приближение к корню х = х0, тогда подставим его в первую часть уравнения (1.2) и получим новое приближение х1 = <�С (х0), затем аналогичным образом получим х2 = <�р (х1) и так далее,

Xk+1 = ц (Xk) (1.3)

Необходимо установить, при каких условиях итерационный процесс (1.3) будет сходиться к корню уравнения х*.

Рис. 1. Метод простых итераций: а — односторонний сходящийся процесс; б — односторонний расходящийся процесс; в — двухсторонний сходящийся процесс; г — двухсторонний расходящийся процесс Рассмотрим процесс графически (рис. 1. Из графиков видно, что при ц' (х) > 0 и при ц' (х) > 0 возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационные процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной ц (х). Чем меньше

¦ц' (х)¦ вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Установим теперь критерий сходимости математически. Будем считать, что в итерационной формуле (1.3)

хк = х* + еk, xk+1 = х* + еk+1,

где ек и ек+1 отклонения к и к + 1 приближения от корня. Если процесс уточнения осуществляется вблизи корня х*, то функцию ц (х) можно приближенно представить двумя членами ряда Тейлора Тогда итерационная формула (1.3) примет вид

x*+ек+1= ц (x*)+екц'(x*),

но так как х* является корнем уравнения, то х* = ц (х*) и, следовательно, ек+1=екц'(x*).

Для того чтобы итерационный процесс был сходящимся, необходимо выполнить условие

¦ек+1¦<�¦ек¦

или ¦ц'(x)¦<1 (1.4)

Переход от уравнения (1.1) к уравнению (1.2) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции f (x). При таком переходе необходимо построить функцию ц (х,) так, чтобы выполнялось условие сходимости (1.4). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (1.1) к уравнению (1.2). Умножим левую и правую части уравнения (1.1) на произвольную константу b и добавим к обеим частям неизвестное х. При этом корни исходного уравнения не изменятся

x+ bf (x) = х +0? b.(1.5)

Введем обозначение ц (х)=x+ bf (x) (1.6)

и перейдем от соотношения (1.5) к уравнению (1.2).

Произвольный выбор константы b позволит обеспечить выполнение условия сходимости (1.4). Желательно выбрать величину b такой, чтобы -1 < ц'(x) < 0, тогда сходимость итерационного процесса будет двухсторонней (рис. 1.11,е). В этом случае в наиболее простом виде можно представить критерий окончания итерационного процесса

¦xk+1 — xk¦< е (1.7)

где е — заданная абсолютная погрешность вычисления корня.

Если функция ц (х) выбрана в виде (1.6), то производная по х от этой функции будет ц'(x) =1+ bf '(x)

Наибольшую скорость сходимости получим при ц'(x) = 0, тогда и итерационная формула (1.3) переходит в формулу Ньютона Программа для метода простых итераций

10 REM «Метод простых итераций «

20 REM «Палько А. В. «

30 INPUT «Введите начальное значение Х0, EPSIL»; Х0, EPSIL

40 DEF FN FUN (Х) =2*X5 — 4*X = 0

50 X1 = FN FUN (X0)

60 IF ABS (X1*0) < EPSIL THEN GOTO 80

70 X0 = X1: GOTO 50

80 PRINT «Корень Х1, функция (Х0), погрешность EPSIL »; Х1, FN FUN (Х0), EPSIL

90 END

Блок-схема для метода простых итераций

1.4 Дифференцирование и аппроксимация зависимостей Методом наименьших квадратов Нередко для экспериментатора представляет интерес не только аппроксимирующая функция ц (х), но и ее производные по аргументу х.

Первую производную функции ц (х) найдем, дифференцируя по х правую часть формулы с учетом независимости коэффициентов Ск от х.

ц '(x)= УСk ц '(x) (4.26)

Аналогичным образом можно определить производные более высоких порядков

ц «(х) = УСk ц"k (x) ,…,

при полиномиальных базисных функциях г < m.

Таким образом, для вычисления производных аппроксимирующей функции ц (х), необходимо знать производные базисных функций цk (x)

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1 Решение нелинейного уравнения вида f (x)=0 методом Ньютона Рассмотрим графическую иллюстрацию метода (рис. 2). Предположим, что графическим методом определено начальное приближение х0 к корню. В точке х0 вычислим левую часть решаемого уравнения f0 = f (x0), а также производную в этой точке

f'(x0) = tgб. Следующее приближение к корню найдем в точке х1, где касательная, к функции f (x), проведенная из точки (х0, f0), пересекает ось абсцисс. Затем считаем точку x1 в качестве начальной и продолжаем итерационный процесс. Из рис. 2 видно, что таким способом можно приближаться к корню х*. При этом с каждой итерацией расстояние между очередным хк+1 и предыдущим хк приближениями к корню будет уменьшаться. Процесс уточнения корня закончим, когда выполнится условие

¦xk + 1-xk¦< е,(2.1)

где е — допустимая погрешность определения корня.

Из геометрических соотношений рис. 2 получим основную формулу метода Ньютона В общем виде для к-го шага итерационного процесса последнее соотношение принимает вид

(2.2)

Рис. 2. Метод Ньютона 3. Модифицированный метод Ньютона Алгоритм Ньютона можно получить другим способом с помощью разложения в ряд Тейлора левой части уравнения f (x) вблизи корня х*. Итак, пусть xk+1=xk+ 6, тогда

F (k+1) = f (Xk) + дfґ(Xk) +…

и так как f (xk +1)> 0.

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10−5 — 10−6 достигается через 5−6 итераций.

Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

Можно, несколько уменьшив скорость сходимости, ограничиться вычислением производной f'(x) только на первой итерации, а затем вычислять лишь значения f (x), не изменяя производной f'(x). Это алгоритм так называемого модифицированного метода Ньютона (рис. 3)

(2.3)

Метод Ньютона (2.2) — (2.3) можно использовать для уточнения корней в области комплексных значений х, что необходимо при решении многих прикладных задач, в частности при численном моделировании электромагнитных колебательных и волновых процессов с учетом временной и пространственной диссипации энергии. В этом случае начальное приближение к корню х0 необходимо выбирать комплексным.

Блок-схема программы почти аналогична блок-схемам программ методов дихотомии и хорд. Отличие состоит в том, что программа блока 2 составлена для вычисления отношения левой части уравнения к ее производной по х — f (x)/f'(x). Кроме того, обычно нет необходимости задавать полосу шума функции, так как по разности двух последующих приближений к корню — хк можно оценивать сразу и величину отношения f (x)/f'(x).

Решим уравнение методом Ньтона в EXCEL

2.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя Этот метод относится к итерационным процессам решения системы линейных алгебраических уравнений.

Суть этого метода заключается в последующей подстановке столбца начальных приближений алгебраических уравнений, нахождение переменных величин с данными приближениями, после чего проводится сравнение найденных переменных с заданной степенью точности. Итерационный процесс производится до тех пор, пока не выполнится условие: | X (m+1) — X (m)| < .

Дана система уравнения (3), решить методом Зейделя

1,5×1 — 4,5×2 + 3×3 =10,5 (1)

3x1 + 1,5×2 — 3×3 =-1,5 (2)

6X1 + 9×2 + 1,5×3 =4,5 (3)

Разделим систему уравнений на 3

0,5×1 — 1,5×2 + x3 = 3,5 (1)

x1 + 0,5×2 — x3 = -0,5 (2)

2X1 + 3×2 + 0,5×3 = 1,5 (3)

Преобразуем матрицу, чтобы коэффициенты главной диагонали имели максимальное значение по модулю из всех элементов рассматриваемого столбца.

Ур-е (3) ставим в позицию (2), а в позицию (3) подставим (2),

а в (1) — (3+1)

Получим матрицу вида

2,5 1,5 1,5 5

2 3 0,5 1,5

1 0,5 -1 3,5/

X10=x20=x30=1

Проверяем условие для нахождения корня Продолжаем до тех пор пока x1=1,49, x2=-0,76, x3=1,61

Блок-схема для метода Зейделя

Рис. Алгоритм для метода Зейделя Программа для решения СЛАУ методом Зейделя.

5 CLS

10 INPUT «EPSILON, N=»; EPSILON, N

20 DIM A (N, N+1), X0(N), X1(N)

30 FOR I=1 TO N

40 J=1 TO N+1

PRINT «A («; I; «,»; J; «) =»;

INPUT A (I, J)

50 NEXT J: NEXT I

60 FOR I=1 TO N

70 X0(I) =1: X1(I) =1

80 NEXT I

85 FOR K=1 TO N

87 SUM1=0

90 FOR S=1 TO K-1

100 SUM1=SUM1+A (K, S)*X1(S)

110 NEXT S

115 SUM0=0

120 FOR T=K TO N

130 SUM0=SUM0+A (K, T)*x0(T)

140 NEXT T

150 X1(K) = (A (K, N+1) — (SUM1+SUM0))/A (K, K)+X0(K)

160 DELT (K) =ABS (X0(K) — X1(K))

170 DELTA= DELTA+DELT (K)

180 X0(K) =X1(K)

182 NEXT K

185 DELTA=ABS (DELTA)

190 IF DELTA>EPSILON THEN GOTO 385

200 FOR I=1 TO N

210 PRINT «X1(»; I; «) =»; X1(I)

220 NEXT I

240 PRINT «DELTA=»; DELTA

250 END

385 DELTA =0: GOTO 85

2.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом итераций Дана система уравнения (7), решить методом простых итераций

— 4×1 — 4×2 + x3 = -8 (1)

— 2×1 + 2×2 + x3 =-6 (2)

— X1 -2×2 — 3×3 = - 17 (3)

Преобразуем матрицу, чтобы коэффициенты главной диагонали имели максимальное значение по модулю из всех элементов рассматриваемого столбца.

В позицию (2) подставим (1−2)

Получим матрицу вида

— 4 -4 1 -8

— 2 — 6 -6

— 1 -2 -3 -17/

X10=x20=x30=1

Проверяем условие для нахождения корня Продолжаем до тех пор пока х1=4,36; х2=-1,12; х3=4,96

Блок-схема для метода простых итераций, для решения СЛАУ

Алгоритм метода простых итераций, для решения метода СЛАУ Программа для метода простых итераций, для СЛАУ.

10 REM «Метод простых итераций «

20 REM «Пальто А.В.»

30 INPUT «Введите значение погрешности EPSIL, количество участков разб. N»; EPSIL, N

40 DIM A (N, N+1), X0(N), X1(N)

50 FOR I = 1 TO N

60 FOR J = 1 TO N+1

70 PRINT «A (; I; «, «; J; «= «: INPUT A (I, J) «

80 NEXT J: NEXT I

90 FOR I = 1 TO N

100 X0(I) = 1: X1(I) = 1

110 NEXT I

115 DELTA = 0

120 FOR K = 1 TO N

130 SUM1 = 0

140 FOR S = 1 TO K-1

150 SUM1 = SUM1 + A (K, S) * X0(S)

160 NEXT S

170 SUM0 = 0

180 FOR T = K TO N

190 SUM0 = SUM0 + A (K, T) * X0(T)

200 NEXT T

210 X1(K) = (A (K, N+1) — (SUM1+SUM0))/A (K, K) + X0(K)

220 DELTK = ABS (X1(K)-X0(K))

230 DELTA = ABS (DELT (K) + DELTA)

240 X0(K) = X1(K)

250 NEXT K

260 IF DELTA > EPSIL THEN GOTO 115

270 FOR I = 1 TO N

280 PRINT «X («; I; «) = «; X1(I)

290 NEXT I

300 PRINT «DELTA»; DELTA

310 END

1.Мудров А. Е. Численне методы для ПЭВМ. — Томск: МП «РАСКО». ;

272с.

2.Остапчук Н. В., Станкевич Р. Н. Математическое моделирование процессов пищевых производств.-К.:Вища шк.-175с.