Ставится задача: определить погрешность вычисленного значения величины, если известна погрешность измеренного значения величины. Функциональная зависимость может быть различной. Рассмотрим несколько видов функций:
Функция вида:
— измеренное значение величины с погрешностью .
— безошибочный постоянный сомножитель;
— вычисленное значение функции.
Если изменится на, то изменится на. Получаем:
где и — случайные погрешности аргумента и функции .
Сопоставляя это уравнение с исходным выражением, запишем:
Если величина измерялась раз, то таких уравнений будет:
Следуя формуле Гаусса: возведем в квадрат правые и левые части каждого уравнения и сложим их между собой:
Разделим правую и левую части на число измерений :
На основании формулы Гаусса:
Т. е. СКП равна произведения постоянного сомножителя на измеренный аргумент .
Средняя квадратическая погрешность функций измеренных величин
Алгебраическая сумма:
где и — независимые, непосредственно измеренные величины;
— функционально зависимая от и вычисляемая величина (косвенное измерение).
С учетом погрешностей:
где — погрешность алгебраической суммы.
Сопоставляя с исходным, получаем:
при многократном измерении величин и :
Возведем левые и правые части в квадрат, сложим все уравнения и разделим на количество измерений, получим:
На основании четвертого свойства случайных погрешностей:
На основании формулы Гаусса:
Рассуждая аналогично, можно доказать, что погрешность алгебраической разности выразится точно так же:
