Материальная точка в механике

СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

1. Теоретическая часть работы

1.1 Определение реакций опор твердого тела

1.2 Определение скорости и ускорения точки

1.3 Дифференциальные уравнения движения материальной точки

1.4 Теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

1.5 Уравнение Лагранжа второго рода

2. Практическая часть работы

1.1 Определение реакций опор твердого тела

1.2 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

1.3 Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

1.4 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

1.5 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

1.6 Применение уравнения Лагранжа 2 рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы

Список используемой литературы.

Из истории развития механики.

Механика является одной из древнейших наук, возникновение и развитие которой обусловлено потребностями практики.

Энгельс отмечает, что развитие механики тесно связано с развитием земледелия (подниманием воды для орошения в Египте), с ростом городов, возведением крупных построек, развитием ремесел, а и мореплавания. Известно, например, что при постройке египетских пирамид применялись некоторые простейшие механические приспособления: рычаги, блоки, наклонная плоскость. Таким образом, еще в древние времена человечество обладало некоторыми эмпирическими знаниями по механике, но потребовался длительный период времени для того, чтобы установить основные законы механики и заложить фундамент этой науки.

В древности не существовало деления науки по отраслям знаний, а поэтому механика, наряду с философией, естествознанием и другими естественными науками, являлась составной частью единой науки о природе и обществе.

Лишь после Аристотеля (384—322 гг. до н. э.) начинается процесс выделения отдельных, частных, наук из общего естествознания.

На первой стадии развития механики, от древнего мира до эпохи Возрождения (14—16 вв.), в результате изучения простейших машин создается учение о силах.

Основоположником механики как науки является знаменитый ученый древности Архимед (287—212 гг. до н. э.). Архимед дал точное решение задачи о равновесии сил, приложенных к рычагу, и создал учение о центре тяжести тел. Кроме этого, Архимед открыл и сформулировал закон о гидростатическом давлении жидкости на погруженное в нее тело, который носит его имя.

Быстрое и успешное развитие механики начинается лишь с эпохи Возрождения, когда создаются условия для развития науки и техники.

С эпохи Возрождения начинается следующий период развития механики. Для решения практических задач требуются исследования движений тел. На основе накопленного за четыре столетия опыта к концу 17 в. создаются основы динамики — науки об общих законах движения материальных тел.

Блестящим представителем эпохи Возрождения является гениальный итальянский художник, физик, механик и инженер Леонардо да Винчи (1451—1519). В области механики Леонардо да Винчи изучил движение падающего тела, движение тела по наклонной плоскости, явление трения и ввел понятие момента силы.

Зарождение небесной механики — науки о движении небесных тел — связано с великим открытием Николая Коперника (1473— 1543) — созданием гелиоцентрической системы мира, сменившей геоцентрическую систему Птоломея. Это открытие произвело переворот в научном миросозерцании той эпохи — освободило естествознание от теологии.

На основании учения Коперника и астрономических наблюдений Кеплер (1571—1630) сформулировал три закона движения планет, которые впоследствии привели к открытию Ньютоном закона всемирного тяготения.

Создание основ динамики принадлежит великим ученым — итальянцу Галилео Галилею (1564—1642) и англичанину Исааку Ньютону (1643—1727). В знаменитом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 г., Ньютон в систематическом виде изложил основные законы так называемой классической механики. Эти законы, установленные на основании наблюдений и опытов Ньютона и его предшественников, являются объективными законами природы.

18 В. характеризовался разработкой общих принципов классической механики и важнейшими исследованиями по механике твердого тела, гидромеханике и небесной механике.

Развитие науки в России связано с образованием по инициативе Петра 1 в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук. Большое влияние на развитие механики оказали труды гениального русского ученого, основателя Московского университета, акад. М. В. Ломоносова (1711—1765) и знаменитого математика, астронома и физика Леонарда Эйлера (1707—1783).

За 30 лет работы в Российской Академии наук Эйлер создал большое количество работ по математике, механике твердого и упругого тела, гидромеханике и небесной механике.

Деятельность русских ученых, несмотря на крайне тяжелые условия развития науки в дореволюционной России, значительно способствовала развитию как общей теоретической механики, так и специальных механических дисциплины.

В настоящее время ведется большая работа по дальнейшему развитию механики. Тесная связь науки и практики обеспечивает прогресс механики, с помощью которой решаются многочисленные задачи, выдвигаемые практикой строительства.

Теоретическая механика является научной основой важнейших областей техники. Российскими учеными-механиками выполнены фундаментальные исследования по теории полета ракет, реактивных самолетов, искусственных спутников Земли и космических кораблей. Реальным подтверждением все возрастающего значения механики являются выдающиеся достижения во многих областях техники.

Развитие теоретической механики и далее будет способствовать успешному решению ряда технических задач.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Определение реакций опор твердого тела

Согласно принципу освобождаемости от связей, несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, находящееся под действием задаваемых сил и реакций связей.

Для системы произвольно расположенных взаимно уравновешивающихся задаваемых сил и реакций связей, приложенных к несвободному твердому телу, можно составить шесть уравнений равновесия. Из этих уравнений определяются реакции опор и устанавливаются условия, которым удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу, находящемуся в покое.

Так как оси координат могут иметь любые направления, то их следует проводить так, чтобы они пересекали возможно большее число неизвестных сил или были перпендикулярны к ним, т. е. чтобы каждое из уравнений равновесия со держало возможно меньшее число неизвестных величин.

1. Твердое тело с одной закрепленной точкой. Допустим, что на твердое тело с неподвижно закреп ленной точкой, А действует система задаваемых сил (рис1.1.1.)Заменим действие связи в точке, А (сферического шарнира) реакцией, направление которой неизвестно. Проведем оси координат х, у, z из точки, А и разложим эту реакцию на три составляющие направленные по осям координат.

Если силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются, то для этих сил можно составить шесть уравнений равновесия.

Составляющие реакции связи не имеют моментов относительно осей координат и не входят в уравнения моментов.

Уравнения равновесия имеют вид:

рис. 1.1.1.

Здесь — суммы проекций задаваемых сил, приложенных к твердому телу на оси x, y, z; - суммы моментов задаваемых сил относительно тех же осей.

Первые три уравнения, не содержащие реакций опор, выражают те условия, которым удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с одной закрепленной точкой, если оно находится в покое.

Эти условия формулируются так: если твердое тело с одной закрепленной точкой находится в покое, то суммы моментов всех приложенных к твердому телу задаваемых сил относительно трех координатных осей, проведенных через закрепленную точку, равны нулю.

Из этих трех условий следует, что главный момент системы задаваемых сил относительно закрепленной точки равен нулю, т. е. система задаваемых сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через точку А.

Из трех уравнений проекций сил определяются величины составляющих реакции связи — закрепленной точки:

Реакция связи уравновешивает равнодействующую задаваемых сил, т. е. эти силы равны по модулю и противоположно направлены:

2. Твердое тело с двумя закрепленными точками. Рассмотрим твердое тело с двумя неподвижно закрепленными точками, А и В. Допустим, что на это тело действует система задаваемых сил (рис. 1.1.2.)

рис. 1.1.2.

Расстояние между точками, А и В обозначим l. Заменим действие связей в точках, А и В реакциями, направления которых не известны. Начало координат поместим в одну из закрепленных точек, например А, и одну из осей проведем через вторую закрепленную точку В.

Разложим каждую из реакций на три составляющие по осям координат:

.

Составим шесть уравнений равновесия для сил, действующих на твердое тело:

Здесь — суммы проекций задаваемых сил, приложенных к твердому телу на оси х, у, z; — суммы моментов задаваемых сил относительно тех же осей.

Из шести составленных уравнений равновесия только одно уравнение =0 не содержит реакций опор и выражает то условие, которому удовлетворяют задаваемые силы, приложенные к твердому телу с двумя закрепленными точками, если оно находится в покое.

Это условие формулируется так: если твердое тело с двумя закрепленными точками находится в покое, то сумма моментов всех приложенных к твердому телу задаваемых сил относительно оси, проходя щей через точки закрепления, равна нулю.

Остальные пять уравнений равновесия используются для определения составляющих реакций связей:

Последнее уравнение показывает, что величины составляющих реакций вдоль оси, проходящей через точки закрепления, определить невозможно. Поэтому для рассматриваемая задача статически неопределенна.

Если предположить, что точка, А закреплена неподвижно, а в точке В имеется подшипник, тогда продольная реакция Y_B = 0, а Y_A = В

При этом условии задача становится статически определенной.

1.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ

Определим модуль и направление скорости точки по уравнениям

ее движения в декартовых координатах.

Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 1.2.1.):

рис. 1.2.1.

Обозначим орты осей координат. Проведем из начала координат О в движущуюся точку М радиус-вектор. Согласно рис. 1.2.1.

Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени. Найдем эту производную, учитывая, что орты имеют неизменные модули и направления, т. е. постоянны и могут быть вынесены за знак производной:

Построив прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям координат, а диагональ совпадает со скоростью, получим проекции скорости на оси координат, равные алгебраическим величинам отрезков Ма, МЬ, Мс.

Тогда разложение скорости на компоненты по осям координат примет вид

Сопоставляя обе формулы, определяющие скорость, находим

Следовательно, проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Пользуясь принятым обозначением производных по времени, имеем:

Вычислив проекции скорости на оси декартовых координат, можно определить модуль и направление скорости точки по следующим формулам:

Движение точки в плоскости хОу (рис. 1.2.2.) задается двумя уран нениями движения:

рис. 1.2.2. рис. 1.2.3.

Модуль и направление скорости точки в этом случае определяются

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением

х = f (t).

В этом случае модуль скорости точки равен абсолютной величине проекции скорости на ось х:

При › 0 точка движется по направлению оси х (рис. 1.2.3.), при ‹ 0 — противоположно направлению оси.

Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением.

Определим модуль и направление ускорения точки по уравнениям ее движения в декартовых координатах.

Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 1.2.4.):

рис. 1.2.4. рис. 1.2.5.

Радиус-вектор движущейся точки М представим в виде:

Так как ускорение точки равно второй производной от радиуса вектора по времени, а векторы, постоянны, то имеем:

Разлагаем ускорение на составляющие по осям координат:

где — проекции ускорения на оси х, у, z. Сопоставляя обе формулы, определяющие ускорение, получаем:

Так как первые производные от координат точки по времени равны проекциям скорости на соответствующие оси, т. е. dx/dt =, dy/dt =, dz/dt =, то проекции ускорения точки можно представить в другом виде:

Таким образом, проекции ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

Вычислив проекции ускорения на координатные оси, можно определить модуль и направление ускорения точки по следующим формулам:

Движение точки в плоскости хОу задается двумя уравнениями движения:

рис. 1.2.6.

Модуль и направление ускорения точки в этом случае (рис. 1.2.5.) определяются:

Прямолинейное движение точки задается одним уравнением

В этом случае модуль ускорения равен абсолютному значению его проекции на ось х, т. е:

Ускорение направлено в сторону оси х, если › 0 (рис. 1.2.6.), и противоположно оси х, если ‹ 0.

1.3 Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Рассмотрим движение материальной точки М массой m под действием приложенных к ней сил, (рис. 1.3.1.). Выберем прямоугольную систему осей координат х, у, z.

рис. 1.3.1.

Основное уравнение динамики имеет вид:

Проектируем обе части векторного равенства на координатные оси:

где Х₁, У₁, Z₁; Х₂, У₂, Z₂;… Х_n, У_n, Z_n— проекции сил на оси х, у, z.

Из кинематики известно, что проекция ускорения точки на каждую ось декартовых координат равна второй производной по времени от соответствующей координаты точки, т. е.

Подставляем эти значения равенства в равенства:

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениял4и движения материальной точки.

1.4 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Установим зависимость между изменением кинетической энергии механической системы и работой приложенных к ее точкам сил. Для этого разделим силы, действующие на точки М₁, М₂, М₃,…, М_n на внешние силы …, и внутренние силы …,…,. Применим к движению каждой точки М_i теорему об изменении кинетической энергии. Предположим, что

при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка М_i, перемещается из М_i(1) в М_i(2) причем скорость ее изменяется от (1) до (2) (рис. 1.4.2.).

Тогда для каждой материальной точки

рис. 1.4.2.

где —работа силы и — работа силы на перемещении М_i(1) М_i(2).

Просуммируем левые и правые части составленных n равенств

— кинетическая энергия системы в первом ее положении; — кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении.

Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом перемещении равна нулю, т. е.

Для твердого тела уравнение принимает вид

т. е. изменение кинетической энергии твердого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении.

1.5 УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

Вывод уравнений Лагранжа II рода

Тождества Лагранжа. Для получения уравнений Лагранжа потребуется использовать три тождества. Одно из них — хорошо известная формула дифференцирования скалярного произведения двух любых векторов и, т. е.

Или

.

Если принять за вектор скорости, а за — вектор, то в соответствии с этим тождеством получим:

.

Другое тождество (тождество Лагранжа) выражается в виде

где точки над величинами означают их производные по времени.

Величина =dq_i/dt называется обобщённой скоростью. Тождество утверждает, что «точки» (дифференцирование по времени) можно поставить одновременно в числителе и знаменателе или их «сократить». Справедливость уравнения доказывается вычислением входящих в него величин и их сравнением. Действительно, в общем случае

.

При движении системы обобщенные координаты тоже есть функции времени. Дифференцируя по времени как его сложную функцию, имеем

.

Частные производные /q_i и /t не могут зависеть от обобщенных скоростей, следовательно, дифференцирование частным образом по с фиксированным номером обеих частей дает только коэффициент при этой переменной. Все остальные слагаемые при дифференцировании дадут нули, так как они не зависят от, с этим фиксированным номером. Имеем

.

Тождество доказано.

Другое тождество Лагранжа заключается в перестановке порядка дифференцирования по времени и обобщенной координате вектора, т. е.

.

Для доказательства этого тождества вычислим, используя и учитывая, что обобщенные скорости не зависят от обобщенных координат. Получим:

.

С другой стороны, есть сложная функция времени, которая зависит от него не только явно, но и через обобщенные координаты. По правилу дифференцирования сложных функций имеем:

.

Порядок частного дифференцирования в смешанных производных можно изменять. Таким образом, второе тождество Лагранжа доказано.

Вывод уравнений Лагранжа.

— принцип Даламбера для системы.

Для получения уравнений Лагранжа для обобщенной силы инерции необходимо доказать справедливость следующей формулы:

где — кинетическая энергия системы при ее д

вижении относительно инерциальной системы отсчета. Для доказательства вычислим, используя её определение через силу инерции. Имеем

.

Преобразуем выражение

.

Применим тождества Лагранжа:

;.

После этого

.

Подставляя это значение, А и внося постоянную массу под знак производных, а производные вынося за знак сумм, получим

.

Формула доказана.

Подставляя выражение для, получим следующую систему уравнений Лагранжа:

;i =1,2,…, n.

Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы системы.

Структура уравнений Лагранжа и их составление

Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу для, имеем

где введены обозначения

;;

Величины А_ij, B_i, С могут зависеть от обобщенных координат и времени, но не зависят от обобщенных скоростей. С учетом этого

и .

Это выражение содержит, т. е. производную от обобщенной координаты только второго порядка. Другие слагаемые уравнений Лагранжа содержат производные от обобщенных координат не выше первого порядка. Активные силы, если они не зависят от ускорений точек, не могут дать зависимости Q_i, от обобщенных ускорений.

Интегрируя уравнения Лагранжа для случая заданных активных сил, получим все обобщенные координаты как функции времени и 2•n постоянных интегрирования. Для определения этих постоянных следует дополнительно задать начальные условия, т. е., например, при t=0 задать

;,

где и — начальные значения обобщенных координат и обобщенных скоростей.

При составлении уравнений Лагранжа можно рекомендовать следующий порядок операций:

1. Вычислить кинетическую энергию системы в ее движении относительно инерциальной системы отсчета;

2.Выбрав обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы системы, преобразовать кинетическую энергию к обобщенным координатам;

3.Выполнить операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные уравнениями Лагранжа;

4.Вычислить одним из способов обобщенные силы системы;

5.Приравнять величины левой и правой частей, входящих в уравнения Лагранжа.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ РАБОТЫ

2.1 Определение реакций опор твердого тела

ДАНО:

T=2t-> t= T/2=2 kН; t||Aх; T + Aу; Q + Aу; P||A_Z.

Q=1 kH

T=4 kH

G=2 kH

a=30 см

b=40 см

c=20 см

R=20 см

r=10 см

Решение:

F_kx=0 (1)

F_ky=0 (2)

F_kz=0 (3)

m_x(F_k)=0 (4)

m_y(F_k)=0 (5)

m_z(F_k)=0 (6)

(1) P*r+t*r-T*R-Gr=0

Из (1) найдём Р

P=10 (2+)/20=> P=1,71 kH

На ось Z:

(2) Q-G-P+T+Z_A+Z_B=0

(3) Qa-(a+b+c)T-X_B(a+b)-t (a+b+c)=0

Из (3) X_B = (0,75*30 -90*T* 0.866−90*)

=> X_B=-6.71 kH

На ось Х:

(4) X_B+X_A -Q*+t+Tcos30=0

(5) Tsin30(a+b+c)+(a+b)Z_B+a*Qa*P-G*a=0

Из (5) Z_B =(G*a+P*a-Q*a-Tsin (30)*(a+b+c))/(a+b)

=> Z_B= -1.28 kH

Из (2) Z_A=G+P-Q*0.71−½*T-=2.28 kH

Из (4) X_A= -X _B+Qt-T *cos30 = 1,96 kH

Проверка :

:

Проверка сошлась!

2.2 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.

Дано:

уравнения движения точки М:

;

; (1)

t₁=1c

Определить:

1) положение точки на траектории;

2) -?

3) -?

4) -?

Решение:

1) Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (1):

Получаем, т. е. траекторией точки является эллипс (в конце).

Найдём координаты точки при t=t₁:

2) Вектор скорости точки:

Вектор ускорения:

Здесь , — орты осей x и y;, , -проекции скорости и ускорения точки на оси координат. Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

По найденным проекциям определяются модуль скорости:

и модуль ускорения точки:

3) Модуль нормального ускорения точки:

Модуль нормального ускорения точки:

4) Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений приведены в табл.1.

Таблица 1

Дополнение к заданию К.1.

Дано:z=1t, см Определить:

1)-?

2) -?

3) -?

Решение:

1)

Модуль скорости:

2)

Модуль ускорения точки:

Модуль касательного ускорения точки:

Модуль нормального ускорения точки:

3) Радиус кривизны траектории:

Результаты вычислений:

2.3 Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки Задание: По заданным уравнениям относительного движения точки М и переносного

движения тела D определить для момента времени t=t₁ абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M.

Исходные данные:

Решение:

Будем считать, что в расчетный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью окружности D. Положение точки M на теле D определяется расстоянием

S_r = OM. При t = 4/3 c

Абсолютную скорость точки M найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:

Модуль относительной скорости:

где

При t = 4/3 c:

Отрицательный знак у величины показывает, что вектор направлен в сторону убывания S_r.

Модуль переносной скорости: На основании рисунка 1 составим пропорцию из условий:

При S_r = K=45^o;

=> x = 50^o;

При S_r = 31.41=x^o;

R_L — радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка M,

R_L = S_r sin50^o + a = 44 см.

При t = 4/3:

Отрицательный знак у величины показывает, что вращение треугольника происходит вокруг оси Oz в сторону, обратную направлению отсчета угла. Поэтому вектор направлен по оси Oz вниз (см. рисунок 2).

Переносная скорость:

Вектор направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела. Так и взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки M определится:

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

или

Модуль относительного касательного ускорения:

где

При t = 4/3 c:

Отрицательный знак показывает, что вектор направлен в сторону отрицательных значений S_r.

Относительное нормальное ускорение:

Т.к. точка М движется по окружности, то .

Модуль переносного вращательного ускорения: ,

где — модуль углового ускорения тела D;

Вектор направлен в ту же сторону, что и .

Модуль переносного центростремительного ускорения:

Вектор направлен к центру окружности L.

Кориолисово ускорение: ;

Модуль кориолисова ускорения:

где =140^o.

В соответствии с правилом векторного произведения вектор направлен перпендикулярно к плоскости окружности в ту же сторону, что и векторы и .

Модуль абсолютного ускорения точки М находим методом проекций. Согласно выбранным осям:

Результаты расчета сведены в таблице:

Рисунки Рисунок 1

Рисунок 2

материальная точка механический дифференциальный лагранж Рисунок 3

2.4 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил Задание: Лыжник подходит к точке, А трамплина АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длину l, со скоростью а. Коэффициент трения скольжения на участке АВ равен f. Лыжник от, А до В движется с; В точке В со скоростью в он покидает трамплин. Через T c лыжник приземляется в точ Дано: а — 15°; f = 0; a = 12м/с;? = 60°; d = 50 м.

Определить и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Решение. Рассмотрим движение лыжника на участке АВ. Принимая лыжника за материальную точку, покажем действующие на него силы: вес, нормальную реакцию и силу трения скольжения. Составим дифференциальное уравнение движения точки на участке АВ:

X1:

т.к. f = 0, то или Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи:

при t = 0 и .

Составим уравнения, полученные при интегрировании, для t=0

;

Найдем постоянные:

Тогда Для момента, когда лыжник покидает участок, т. е.

Рассмотрим движение лыжника от точки В до точки С.

Показав силу тяжести, действующую на лыжника, составим дифференциальные уравнения его движения:

Начальные условия задачи: при

Интегрируя дифференциальные уравнения дважды:

;

;

Напишем полученные уравнения для

Отсюда найдем, что Получим следующие уравнения проекций скорости лыжника:

и уравнения его движения:

Уравнение траектории лыжника найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

В момент падения y=-h; x=d.

Получим

;

Отсюда выразим в:

где h = d*tg?, тогда т.к. из предыдущего решения, то

=

тогда:

=1,21c

Ответ: 1.21сек

2.5 Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы Задание: Определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным S.

Дано:

Определить:

V₁ — ?.

Решение:

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

Т.к. системы состоят из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями, то. Т.к. в начальном положении система находится в покое, то T₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Найдем скорости всех тел, входящих в систему, относительно скорости тела 1:

V₂ = 0; V_C3 = V₁; V₄ = 2V_C3 = 2V₁;

Вычислим энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4:

(3)

Т.к. для блоков радиусы инерции не даны, значит, они однородные цилиндры, следовательно:

;

;

;

;

Найдем энергию системы в конечном положении по формуле (3):

;

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении.

Работа силы тяжести :

;

Работа силы трения скольжения :

Так как:

то

;

Работа силы тяжести :

;

Работа силы тяжести :

;

Сумма работ внешних сил определится по формуле:

;

Подставляя известные значения, получаем:

или

;

Согласно теореме (2) приравняем значения и :

откуда:

м/с Рисунок 1. Схема механизма

2.6 Применение уравнения Лагранжа 2 рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы Задание: Механическая система 1−5 движется под воздействием постоянных сил и пар сил с моментами М и сил тяжести.

Дано:

Определить:

Уравнение движения системы в обобщенных координатах при заданных начальных условиях.

Решение:

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

Т.к. системы состоят из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями, то. Т.к. в начальном положении система находится в покое, то T₀=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Вычислим энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4, 5:

(3)

Т.к. для блоков радиусы инерции не даны, значит, они однородные цилиндры, следовательно:

;

;

;

;

;

Найдем энергию системы в конечном положении по формуле (3):

Т=+++=

Вычислим скорость и ускорение, взяв дважды дифференциал:

Найдем сумму работ всех сил, приложенных к системе, на заданном перемещении.

=

=

Приравняем выражения:

Сократив m получим:

Мы получили 2 уравнения с 2 неизвестными, выразим из них :

Тогда:

1. Никитин Н. Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностроительной и приборостроительной специальностей вузов. — Высш. шк., 1990,-607с.

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механики: Учебное пособие для технических вузов. Под ред. Яблонского. — М.:Интеграл-Пресс, 2001.-384с.