Дискретные вейвлеты. 
Цифровая обработка изображений

Зная, что такое вейвлет-преобразование, необходимо сделать его теперь применимым на практике. Однако, есть три свойства преобразования, которые делают сложным его применение в виде (1.1).

Первое — избыточность непрерывного вейвлет-преобразования (НВП).

Второе — бесконечное количество вейвлетов (масштаб можно изменять бесконечно).

Третье — для большинства функций вейвлет-преобразование не может быть вычислено аналитически, только при помощи численных методов и аналоговых компьютеров. Так возникает необходимость решить эти три проблемы и создать быстрый алгоритм вычисления вейвлет-преобразования.

Избавимся от избыточности.

НВП преобразует одномерный сигнал в двумерное представление по частоте и по времени, которое является избыточным. Для решения проблемы избыточности вводят понятие дискретных вейвлетов. Дискретные вейвлеты не могут быть масштабированы и сдвигаемы по временной оси непрерывно. Эти две операции над дискретными вейвлетами можно проводить только дискретными шагами. Это достигается преобразованием вейвлет-функции (1.3) к следующему виду.

(1.7).

Хотя это называется дискретным вейвлетом, обычно это представляет собой (кусочно) непрерывную функцию. В (1.7) j и k — целые числа, а s₀ > 1 — шаг расширения.

Коэффициент сдвига ₀ зависит от шага расширения. Эффект дискретизации вейвлета заключается в том, что теперь выборка в частотно-временной области осуществляется дискретными интервалами. Обычно принимают s₀ = 2. Коэффициент сдвига принимают ₀ = 1.

Когда для преобразования непрерывного сигнала используют дискретные вейвлеты, результат представляет собой ряд вейвлет-коэффициентов и называется разложением в вейвлет-ряд. При этом обязательным является условие восстановления сигнала по коэффициентам разложения. достаточным для восстановления сигнала является ограничение (1.8) для энергии вейвлет-коэффициентов.

|| f ||² -энергия f (t), A > 0, B <; A, B не зависят от f (t). Когда (1.8) выполняется, семейств базовых функций _{j, k}(t) где j, k? Z называют фреймом с границами A и B. Если A = B, фрейм называют узким и дискретные вейвлеты представляют собой ортонормальный базис. Если A? B, точное восстановление сигнала возможно с условием использования двойного фрейма, в котором вейвлет, используемый при разложении, отличается от вейвлета, используемого при восстановлении сигнала.

Вернемся от фреймов к удалению избыточности. Приведем дискретные вейвлеты к ортонормальному базису. Дискретные вейвлеты могут быть ортогональны своим собственным расширениям и сдвигам благодаря специальному выбору материнского вейвлета, что значит:

Начальный сигнал может быть восстановлен суммированием ортогональных базисных вейвлет-функций, умноженных на коэффициенты вейвлет-преобразования.

(1.9).

обратное дискретное вейвлет-преобразование.

Ортогональность все же не является непременным условием вейвлет-преобразования сигналов. В некоторых приложениях выбор неортогональных вейвлетов (избыточное преобразование) помогает уменьшить чувствительность к шумам и улучшить нечувствительность к сдвигу сигнала. Одним из недостатков дискретного вейвлет-преобразования является его чувствительность к сдвигу во времени исходного сигнала. Вейвлет преобразования сигнала и его версии, сдвинутой во времени не будут являться копиями друг друга, только сдвинутыми по времени.