Словесное описание алгоритма

Пример. Некоторая компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы вполне достаточны для того, чтобы вместить один из этих заказов. В табл. 13.29 содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем. Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?

Таблица 2.1. Расстояние от сбытовых баз до потребителей.

Решение Понимание существа проблемы можно в значительной степени облегчить, если перед тем, как применять Венгерский метод, попытаться решить поставленную задачу, используя один из широко известных методов. Метод Вогеля и насколько он приближает нас к оптимальному решению, Значения общего спроса и общего предложения для всех строк и столбцов равны единице.

Этап 1 Венгерского метода: В каждой строке находится наименьший элемент.

Таблица 2.2. Выявление наименьших элементов по строкам.

Наименьший элемент вычитается из всех элементов соответствующей строки Таблица 2.3. Вычитание наименьшего элемента по строкам и выявление наименьшего элемента по столбцам.

Найденный наименьший элемент вычитается из всех элементов соответствующего столбца.

Таблица 2.4. Вычитание наименьшего элемента по столбцам.

В соответствии с процедурой, описанной в этапе 2, осуществляются назначения. Наличие назначения обозначается через все нули таблицы.

Таблица 2.5. Назначения в клетки с нулевыми значениями.

На данном этапе мы можем осуществить только три нулевых назначения, тогда как требуемое их количество равно четырем. Полученное распределение является недопустимым. Переходим к этапу 3. Проводим наименьшее число прямых, проходящих через все нули таблицы.

Наименьшим элементом, через который не проходит ни одна из прямых, является число 2. Скорректируем таблицу так, как это описано выше в соответствии с этапом 3, т. е. вычтем 2 из каждого элемента, через который не проходит ни одна прямая, и добавим 2 ко всем элементам, лежащим на пересечении двух прямых, оставив без изменения все прочие элементы, через которые проходит только одна прямая. Теперь перераспределим соответствующие назначения сбытовых баз и потребителей.

Таблица 2.6. Скорректированная таблица с назначениями для нулевых клеток.

Теперь требование о размещении четырех назначений в клетки с нулевой стоимостью выполняется, следовательно, полученное решение является оптимальным. Перевозки осуществляются со сбытовой базы, А к потребителю I, с базы В — к потребителю II, с базы С — к потребителю III и с базы D — к потребителю IV. Хотя данное решение и является оптимальным, однако оно не единственное. В любом оптимальном решении должен присутствовать маршрут (С, III), поскольку это единственный элемент с нулевой стоимостью в строке С. Два других оптимальных распределения назначений представлены ниже.

Таблица 2.7. Первое альтернативное оптимальное решение.

Таблица 2.8. Второе альтернативное оптимальное решение.

Минимальную дальность перевозок для каждого из трех решений можно вычислить из исходной таблицы:

Решение 1: 68 + 60 + 35 + 45 — 208 миль;

Решение 2: 68 + 63 + 35 + 42 = 208 миль;

Решение 3: 72 + 56 + 35 + 45 = 208 миль.

Общая дальность перевозок для всех трех решений одинакова.

Примечание: в задачах большей размерности, чем задача из примера убедиться в том, что проведенное в соответствии с пунктом 1 этапа 3 число прямых является минимальным, гораздо труднее.

В этой связи может оказаться полезным так называемое «правило правой руки» :

• 1. Выбирается любая строка или столбец, содержащие только один нулевой элемент.
• 2. Если выбрана строка, прямая проводится через столбец, в котором находился данный нулевой элемент.
• 3. Если выбран столбец, прямая проводится через строку, содержащую данный нулевой элемент.
• 4. Пункты 1−3 повторяются до тех пор, пока не будут учтены все входящие в таблицу нули.