Умножение векторов. 
Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(8.1).

Эту формулу можно записать в виде.

.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. — переместительный закон.

• 2. — распределительный закон
• 3.

4., отсюда.

• 5. Если, то — условие перпендикулярности векторов и
• 6. , — вектор силы, — вектор перемещения, — работа силы .

Если и заданы в прямоугольной системе координат.

то (8.2).

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора виден совершающимся против часовой стрелки. Рис. 7.

Рис. 7.

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор, длина которого равна, он перпендикулярен векторам и и направлен в ту сторону, что векторы и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается .

Векторное произведение имеет следующие свойства:

• 1.
• 2.

3.

4. Если, то.

5., где — площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Если векторы и заданы в прямоугольной системе координат: и, то:

(8.3).

Если вектор силы, приложенной в точке, а радиус-вектор точки, то момент силы, относительно начала координат равен:

.

Смешанным произведением трех векторов и называется их векторно-скалярное произведение. Обозначается .

Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

(8.4).

Свойства смешанного произведения векторов:

1. — условие компланарности векторов;

2. — объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;

• 3. — циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;
• 4.

Пример 11. Даны вершины пирамиды. Найти 1) угол между ребром и гранью; 2) площадь грани; 3) объем пирамиды; 4) длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение. Вычислим координаты вектора :

.

Угол между ребром и гранью является дополнительным углом для угла, образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром.. Для нахождения вычислим координаты векторного произведения векторов и :

;

.

.

;

.

1) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах и, т. е.

.

2) Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,.

построенного на ребрах и. Следовательно.

.

3) Длина высоты определяется из формулы:

; .

Ответ:; ;; .

§ 9. Комплексные числа Комплексным числом называется выражение.

(9.1),.

где и — действительные числа; - мнимая единица, определяемая равенством.

или (9.2).

Число называют действительной частью комплексного числа и обозначают; - мнимая часть комплексного числа. Ее обозначают. Если, то число называют чисто мнимым, если, то число, есть действительное число.

Два комплексных числа и называют комплексно сопряженными числами.

Два комплексных числа и считаются равными, если и. Комплексное число, если и. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Иногда комплексное число удобнее изображать в виде вектора, начало которого совпадает с началом координат, соединяющего точку с точкой. Длина этого вектора называется модулем комплексного числа и обозначается .

.

Угол между осью и вектором, отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа и обозначается .

Аргумент числа определяется с точностью до слагаемого, где — целое число. Главное значение аргумента числа — значение аргумента, удовлетворяющее неравенству. Главное значение аргумента комплексного числа обозначается через: .

Запись числа в виде называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число.

(9.3).

Разностью комплексных чисел и называется комплексное число.

(9.4).

Произведение комплексного числа на действительное число называется комплексное число .

Произведение двух комплексных чисел и, записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:

Произведением двух комплексно сопряженных чисел служит действительное число.

Деление комплексных чисел определяется, как действие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел и определяется следующим образом:

Наряду с прямоугольной системой координат введем полярную систему, начало которой совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось — с положительным направлением оси. Рис. 8.

Рис. 8.

Из Рис. 8 следует, что:

.

Подставляя и в алгебраическую форму комплексного числа, получим.

Выражение (9.8) называют тригонометрической формой записи комплексного числа, где .

Пусть даны два комплексных числа и. Записанные в тригонометрической форме:

.

Тогда .

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Если — целое положительное число, то из (9.9) следует:

(9.10).

Корнемй степени из комплексного числа называется такое комплексное число, -я степень которого равна, т. е. .

Кореньй степени из обозначается .

Если, то равен:

(9.11).

Подставляя в (9.11) значения получим ровно различных корнейй степени из .

Пример 12. Дано комплексное число .

Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все корни уравнения .

Решение. Запишем число в алгебраической форме:

.

Найдем: .

Вычислим. Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет вид:

.

Вычислим :

при.

при.

при.

Кроме алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа, применяется более короткая, так называемая показательная форма комплексного числа, согласно которой.

.

Пусть и, тогда:

.