Волны. 
Изучение образования стоячих волн в натянутой струне

Колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, увлекает за собой и приводит в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Благодаря наличию упругих связей между частицами колебания распространяются с характерной для данной среды скоростью по всей среде.

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной.

Различают два основных типа волн: продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны, а в поперечных — перпендикулярно к направлению распространения волны. Не во всякой упругой среде возможно распространение поперечной волны. Поперечная упругая волна возможна лишь в таких средах, в которых имеет место упругая деформация сдвига. Например, в газах и жидкостях распространяются только продольные упругие волны (звук).

Геометрическое место точек среды, до которых к данному моменту времени дошло колебание, называется фронтом волны. Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникали. В зависимости от формы фронта различают волны плоские, сферические, цилиндрические и т. д.

Уравнение плоской волны, распространяющейся без потерь в однородной среде, имеет вид:

(42).

где о (Х, t) — смещение частиц среды с координатой Х от положения равновесия в момент времени t, А — амплитуда, — фаза волны, — круговая частота колебания частиц среды, v — скорость распространения волны.

Длиной волны л называется расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2р, другими словами, длиной волны называется путь, проходимый любой фазой волны за один период колебаний:

л = vT,(43).

фазовая скорость, т. е. скорость распространения данной фазы:

л / Т (44).

Волновое число — число длин волн, укладывающихся на длине 2р единиц:

k = щ / v = 2р / л.(45).

Подставляя эти обозначения в (42), уравнение плоской бегущей монохроматической волны можно представить в виде:

(46).

Отметим, что уравнение волны (46) обнаруживает двойную периодичность по координате и времени. Действительно, фазы колебаний совпадают при изменении координаты на л и при изменении времени на период Т. Поэтому изобразить графически волну на плоскости нельзя. Часто фиксируют время t и на графике представляют зависимость смещения о от координаты Х, т. е. мгновенное распределение смещений частиц среды вдоль направления распространения волны (рис.11). Разность фаз Дц колебаний точек среды зависит от расстояния ДХ =Х₂ — Х₁ между этими точками:

(47).

Если волна распространяется противоположно направлению Х, то уравнение обратной волны запишется в виде:

о (Х, t) = АСos (щt + kX).(48).

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ — это результат особого вида интерференции волн. Они образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях, имеют вид:

о₁ =АСos (щt — kX).

о₂ = AСos (щt + kX).(49).

Складывая эти уравнения по формуле суммы косинусов и учитывая, что k = 2р / л, получим уравнение стоячей волны:

.(50).

Множитель Сos щt показывает, что в точках среды возникает колебание той же частоты щ с амплитудой, зависящей от координаты Х рассматриваемой точки. В точках среды, где,(51).

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. Эти точки называются пучностями.

Из выражения (51) можно найти координаты пучностей:

(52).

В точках, где.

(53).

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами.

Координаты узлов:

.(54).

Расстояния между соседними пучностями и соседними узлами одинаковы и равны л/2. Расстояние между узлом и соседней пучностью равно л / 4. При переходе через узел множитель меняет знак, поэтому фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на р, т. е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами.

Распределение узлов и пучностей в стоячей волне зависит от условий, имеющих место на границе раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если отражение волны происходит от среды более плотной, то фаза колебаний в месте отражения волны меняется на противоположную или, как говорят, теряется половина волны. Поэтому, в результате сложения колебаний противоположных направлений смещение на границе равно нулю, т. е. имеет место узел (рис. 12). При отражении волны от границы менее плотной среды фаза колебаний в месте отражения остается без изменения и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами — получается пучность.

В стоячей волне нет перемещения фаз, нет распространения волны, нет переноса энергии, с чем и связано название такого типа волн.