Основные определения явления симметрии

Симметрией называется свойство неизменности вида тела при определённых изменениях. Существует несколько типов симметрии в геометрии: зеркальная, осевая, вращательная, центральная и т. д. Наибольший интерес в данном случае представляет собой осевая симметрия n-го порядка.

Под осевой симметрией n-го порядка понимается случай, когда фигура может повернуться вокруг некоторой оси на 360^о/n, где n — натуральное число, и при этом самосовместиться.

Примеры осевой симметрии различных порядков вокруг оси О представлены на рисунке:

Явление симметрии весьма распространено в природе. Например, зеркальной (или почти зеркальной, за вычетом небольших различий) является симметрия лица относительно вертикальной линии, проходящей ото лба к подбородку. Примером осевой симметрии служит любой круг. Приведённый выше тип — осевая симметрия n-го порядка — также встречается в жизни, а описан наукой кристаллографией.

В кристаллографии существуют осевые симметрии только 2, 3, 4 и 6го порядков. Это связано с тем, что иные структуры на момент зарождения теории классификации кристаллов (1848 — Огюст Браве нашел основные типы кристаллических решёток) были неизвестны. Однако в 1982 году Даном Шехтманом впервые наблюдались квазикристаллы. Эти кристаллы не попадают под классическую теорию, так как содержат оси симметрии 5го порядка, а также дальний порядок (повторяемость на неограниченно больших расстояниях упорядоченности во взаимном расположении атомов или молекул).

Тип структуры вирусного капсида — икосаэдрическая. Там-то как раз и проявляется осевая симметрия 5-го порядка. Рассмотрим фигуру икосаэдра подробнее.

На рисунках изображен икосаэдр (справа) и икосаэдр в развертке (слева). Как видно из рисунков, икосаэдр содержит в себе 20 граней (правильных треугольников), которые дадут в совокупности 10 осей симметрии 3его порядка. Эти оси симметрии будут проходить через центры каждого из треугольников (напоминание, в правильном треугольнике центр — точка пересечения медиан, или высот, или биссектрис; в икосаэдре каждому из этих треугольников будет соответствовать парная фигура, находящаяся в параллельной плоскости к плоскости данного треугольника; таким образом, линия, проходящая через центры треугольников, будет перпендикуляром к плоскостям этих треугольников — в силу строения икосаэдра).

Далее существуют 15 осей второго порядка — это середины 30 ребер икосаэдра.

Наконец, осями пятого порядка в икосаэдре будут прямые, проходящие через симметричные вершины икосаэдра.