Динамика гармонических колебаний

Для определения характера движения механической системы нужно, исходя из законов динамики или закона сохранения энергии, составить уравнение движения системы, и если оно приводится к виду (2.7), то можно однозначно утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором, частота щ которого равна корню квадратному из коэффициента при х. Рассмотрим несколько примеров с маятниками и затем обобщим полученные результаты.

Всякое твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси, называют маятником.

Грузик на пружине. Пусть грузик массы т, подвешенный на невесомой пружине жесткости k, совершает вертикальные колебания (рис. 2.2). Возьмем начало О оси X в положении равновесия, где , — растяжение пружины в этом положении. Тогда, согласно основному уравнению динамики,, или.

.

Из сопоставления с (2.7) видим, что это уравнение гармонического осциллятора, колеблющегося около положения равновесия с частотой щ и периодом Т, равными.

. (2.10).

Период колебаний Т не зависит от амплитуды а. Это свойство называется изохронностью колебаний. Изохронность, однако имеет место до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть изохронными, т. е. появляется зависимость периода колебаний от амплитуды.

Математический маятник. Материальная точка массы т, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной l, совершает колебания в вертикальной плоскости (рис. 2.3). Здесь удобнее всего использовать уравнение динамики в проекции на орт ф, направление которого совпадает с положительным направлением отсчета дуговой координаты s (величина алгебраическая, на рисунке изображен момент, когда s > 0). Начало отсчета s возьмем в положении равновесия — в точке О. Имея в виду, что, и что проекция силы натяжения, запишем:, или.

.

Из сопоставления с (2.7) видим, что это уравнение, вообще говоря, не является уравнением гармонического осциллятора, поскольку в нем вместо смещения и стоит. Однако при малых колебаниях, когда, уравнение совпадает с (2.7):

.

откуда следует, что частота щ и период Т математического маятника, совершающего малые колебания, равны.

. (2.11).

Физический, маятник. Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, жестко связанной с телом. Рассмотрим колебания под действием силы тяжести (рис. 2.4). Выберем положительное направление отсчета угла и против часовой стрелки (ось Z направлена к нам). Тогда проекция момента силы тяжести на ось Z запишется как и уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид.