Анализ различных подходов к понятию аналогии в научно-методических исследованиях

Интерес к изучению аналогии, нашедший свое отражение в научной и дидактико-методической литературе, нельзя назвать случайным. Действительно, использование аналогии можно наблюдать в разных областях деятельности человека. Аналогия помогает в познании процессов природы и объяснении причин поведения человека, является генератором новых идей и гипотез, упрощает исследование сложных объектов за счет рассмотрения их аналогов (моделей), помогает представить в более доступной форме абстрактные объекты, использование аналогии делает возможным описание явлений, недоступных прямому наблюдению.

Понятие аналогии мы используем, когда говорим о похожих друг на друга предметах, одинаково протекающих процессах, схожих явлениях и т. д. Нередко аналогия выражает и перенос свойств с одного объекта на другой: «По аналогии с … можно предположить о …».

Возникает вопрос необходимости определить понятие «аналогия». Чтобы ответить на него, обратимся к истории развития знаний человека и его представлений о мире.

Как известно, истоки науки в современном смысле этого слова можно найти в античной философии. Для философов Античности аналогия играла большую роль в познании явлений природы и, особенно, в обосновании философских знаний. Большая часть философских идей греческих мыслителей базировалась на умозаключениях по аналогии. Так, исходным при объяснении явлений у Гераклита был огонь, у Фалеса — вода, у Анаксимена — воздух, а методом пояснения была аналогия. Гераклит говорит: «На огонь обменивается все, и огонь на все, как на золото — товары и на товары — золото»^[1].

Считается, что термин «аналогия» происходит от греческого слова ашАоукх— соответствие, соразмерность. Первоначально у древнегреческих математиков он применялся к отношению между тремя числами: среднее геометрическое — число, которое относится к одному из чисел так же, как другое к нему самому. Позже стали говорить об аналогии как об отношении между четырьмя числами, из которых первое относится ко второму, как третье к четвертому.

Такое же определение аналогии мы можем встретить и у Аристотеля: «аналогия есть равенство отношений», «а под аналогией я разумею [тот случай], когда второе относится к первому так же, как четвертое к третьему»^[2]. Однако здесь следует заметить, что Аристотель рассматривает отношение не только чисел, его аналогия носит значительно более общий характер, чем равенство числовых отношений.

Так, например, в «Никомаховой этике» справедливость он связывает с равенством отношения между общественным положением людей и отношением между их материальным состоянием: «Для лиц и для вещей будет иметь место одно и то же уравнивание (isotes), ибо одинаково отношение одной пары [т.е. вещей] и другой [т.е. лиц], а именно, если люди не равны, они не будут обладать равными [долями] «^[3].

Идеи Аристотеля об аналогии между органами живых существ актуальны и в настоящее время — в биологии существует понятие «гомология», являющееся частным случаем аналогии и обозначающее сходство органов, имеющих родственную структуру и развивающихся из сходных зачаточных органов.

В математике во времена ее зарождения и развития обнаруживается тесная связь между алгебраическими утверждениями и геометрическими образами. Исторически теорема Пифагора всегда связывалась с понятием площади: «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах»^[4].

Аналогию между числами и геометрическими образами можно найти у Евклида. С числом у него связан образ отрезка, с произведением двух множителей — плоскостное число, с произведением трех чисел — телесное, а множители при умножении Евклид называет сторонами. «Когда же два числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее [число] называется плоскостным, стороны же его — перемножаемые между собой числа… Когда же три числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее есть телесное, стороны же его — перемножаемые между собой числа»^[5].

С появлением буквенной символики связь между числами и геометрическими образами начинает ослабевать. Э. Мах пишет: «Изобретение алгебры основано на том, что была усмотрена аналогия между операциями над числами при всем различии этих последних. Там, где величины аналогичным образом входят в вычисления, достаточно рассчитать только одну величину, чтобы потом одной подстановкой чисел по аналогии получить остальные»^[6].

Однако и на более высоких ступенях развития науки аналогия продолжает играть важную роль. В XVII в. благодаря работам французского философа и математика Р. Декарта возник метод координат, тем самым появилась возможность проводить аналогию между алгеброй и геометрией. Так, например, любому действительному числу можно сопоставить точку на числовом луче, паре действительных чисел — точку на координатной плоскости и т. д.

Сходство различных объектов и их свойств, явлений и их причин, а также их многообразие делают возможным применение аналогии в разных науках, таких как физика, математика, астрономия, медицина, химия и др.

В пользу применения аналогии в физике «при открытии истины» говорят такие слова Д. Дидро: «В физике все наши знания основываются только на аналогии: если бы сходство следствий не дало нам права заключить о тождестве их причин, что сталось бы с наукой?.. Что сталось бы с медициной… без этого принципа аналогии? Если бы одни и те же средства, применяемые в одинаковых случаях, не позволяли нам рассчитывать на одинаковый успех, как можно было бы лечить болезни?»^[7]

В Средние века бытовало мнение о том, что Земля является центром мира и вокруг нее вращаются все остальные небесные тела. Учение же Н. Коперника о гелиоцентрической системе мира считалось противоестественным и требовало доказательств. Г. Галилей открыл четыре спутника Юпитера и установил аналогию между их движением вокруг Юпитера и движением Луны вокруг Земли, а также и движением всех планет вокруг Солнца. Его открытие же явилось как бы моделью Солнечной системы и, как пишет Э. Мах, укрепило при посредстве аналогии систему Коперника, оказавшись для того более мощной опорой, чем все другие аргументы^[8].

Широко применялась аналогия в исследованиях И. Ньютона. Он переносит свойства одних тел, «которые постоянно при опытах обнаруживаются и которые, как не подлежащие уменьшению, устранены быть не могут» на свойства других тел^[9]. Примеры этому можно найти в трудах ученого. На основе аналогии с небесными телами о взаимном притяжении И. Ньютон говорит о том, что все тела тяготеют друг к другу. Или, например, «о том, что все тела подвижны и вследствие некоторых сил (которые мы называем силами инерции) продолжают сохранять свое движение или покой, мы заключаем по … свойствам тех тел, которые мы видим»^[10].

В XVII в. голландский физик и математик X. Гюйгенс говорит о волновой природе света, который, как и звук, обладает свойствами преломления, интерференции, отражения, прямолинейного распространения и т. д.

Идея М. Фарадея об аналогии между волновой теорией света и электричеством привела его к заключению о существовании поперечных магнитных колебаний, распространяющихся, как и свет, с конечной скоростью. А это, как отмечается в истории физики, и есть центральная идея электромагнитной теории света^[11].

Д. Максвелл на основании изучения экспериментальных работ М. Фарадея по электричеству и магнетизму построил теорию электромагнитного поля, применяя в своих «теоретических построениях метод моделей и математических аналогий»^[12].

Аналогия между природой и техническими изобретениями лежит в основе науки бионики, изучающей структуру и жизнедеятельность живых существ. Открытые при этом свойства и закономерности затем находят свое отражение в различных областях техники. Сравните: достаточно легкие надежные каркасные металлические конструкции и крепкие полые кости птиц (по строению), работу локатора и ориентировку летучей мыши (по принципу определения расстояний до предмета) и др.

Известный русский химик Д. И. Менделеев расположил все известные химические элементы в порядке возрастания атомных масс и упорядочил их в таблицу на основе периодичности изменения их свойств. Однако в такой таблице остались незаполненными места четырех элементов. Д. И. Менделеев предсказал существование этих элементов и указал их химические свойства по аналогии с нахождением свойств известных в то время элементов. Спустя несколько лет открытие ученого было подтверждено экспериментально^[13].

Примеров использования аналогии в различных сферах деятельности человека можно привести очень много, однако вернемся к вопросу о том, как трактуются данное понятие в дидактико-методических исследованиях на современном этапе развития науки.

В словаре по логике мы встречаем два подхода к определению аналогии. С одной стороны, аналогия выступает как сходство между предметами, явлениями и т. д. С другой стороны, аналогия рассматривается как индуктивное умозаключение, когда на основе сходства двух объектов по каким-то одним параметрам делается вывод об их сходстве по другим параметрам^[14].

Более полное определение аналогии можно встретить в толковом словаре В. Даля^[15]. Автор рассматривает определение аналогии с трех сторон. Во-первых, понятие «аналогия» характеризуется как «сходство, подобие, близость», во-вторых, аналогия связывается с видом отношения между предметами и, в-третьих, рассматривается представление об аналогии как о выводе из сравнительных заключений.

В исследованиях А. А. Ивина в области логики аналогия понимается как частный случай сходства; сходство — объективно, аналогия связана с мышлением человека. Автор пишет: «Сама аналогия — это всего лишь продолжение первоначального сходства, перенос его с известных свойств на неизвестные»^[16].

Известный американский математик Д. Пойа определил аналогию как род сходства; уточняя это понятие, он говорит, что сходные предметы согласуются друг с другом в некотором отношении, аналогичные предметы согласуются в определенных отношениях между их соответствующими частями^[17].

В своих книгах Д. Пойа обращается к аналогии в первую очередь как к методу познания. Так, в книге «Как решать задачу», он использует аналогичную более простую планиметрическую задачу о треугольнике для решения задачи, связанной с тетраэдром. При этом автор формулирует положения, полученные при рассмотрении подобного рода пар задач. А именно: решая какую-либо задачу, мы можем использовать решение аналогичной более легкой задачи — «нам может удастся использовать или ее метод, или ее результат, или то и другое»^[18].

Теоретическим исследованиям применения аналогии в области кибернетики, моделирования посвящены исследования А. И. Уемова^[19], К. Б. Батороева^[20], В. Г. Болтянского^[21], В. О. Штоффа^[22] и других.

А. И. Уемов отводит большую роль различным формам выводов по аналогии в научном познании, при этом он основывается главным образом на материалах из истории физики. Автор говорит об аналогии как об умозаключении, в котором вывод относится к предмету, отличному от того, о каком говорится в посылке^[23]. Здесь он видит главное отличие аналогии от дедукции и индукции, для которых классы рассматриваемых предметов совместимы.

Предмет, который непосредственно исследуется с помощью аналогии, Уемов называет моделью, а предмет, на который переносится информация, — прототипом. Причем Уемов указывает на то, что «выводы по аналогии являются логической основой использования моделей в процессе познания», а поэтому «следует говорить не о двух различных методах — аналогии и моделировании, а об одном методе — аналогомодельном, который может рассматриваться в разных аспектах»^[24].

К. Б. Батороев также отмечает неразрывную связь понятия модели в науке с понятием аналогии. Он пишет, что в области кибернетики аналогия играет роль ведущего теоретического метода научного исследования^[25]. При этом автор выделяет, что аналогия еще не дает модели, но точно установленная аналогия — непременное условие для создания модели или для выбора естественного объекта в качестве модели интересующего исследователя объекта.

Батороев отмечает, что аналогия может носить и интуитивный, и модельный, и теоретический характер, но вместе с тем он пытается дать общее определение аналогии. «Аналогия есть такая форма мышления, которая на основании установления сходства и различия одного предмета с другим предметом изучения приводит к получению нового знания о свойствах изучаемого предмета или позволяет нагляднее обосновать какое-либо высказанное положение»^[26].

О пользе применения аналогии в обучении говорят в своих работах по методике преподавания математики С. Ф. Бондарь, А. Л. Жохов, В. А. Далингер, Ю. М. Колягин, Г. И. Саранцев, А. А. Столяр, А. Я. Цукарь, Р. С. Черкасов, П. М. Эрдниев, Б. 3. Хынг и другие.

П. М. Эрдниев связывает определение аналогии с понятием умозаключения по аналогии, являющегося частным видом гипотетических умозаключений^[27]. Отличие же от индуктивного (имеется ввиду полная индукция) и дедуктивного умозаключений он видит в том, что умозаключения по аналогии являются «умозаключениями вероятности» и их необходимо исследовать, чтобы выяснить достоверность или ложность вывода. В этом Эрдниев видит один из плюсов применения аналогии в процессе обучения. Помимо того, что ученик сам может прийти к открытию и формулировке теоремы, доказательство ее «появляется в ходе проверки умозаключения по аналогии»^[28].

В учебниках по методике преподавания математики аналогия трактуется в основном как процесс, при котором знания, полученные при исследовании одного объекта, переносятся на другой. Авторы одного из пособий отмечают такую роль аналогии: «…широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному»^[29].

А. Л. Жохов дает следующее определение аналогии: «сложный объект X аналогичен (находится в отношении аналогии к) сложному объекту У относительно набора S характеристик, если в S найдется хотя бы одна характеристика, общая для X и Y»^[30]. Таким образом, автор рассматривает аналогию как вид отношения между сложными объектами; он говорит далее, что это отношение симметрично, рефлексивно и не транзитивно.

Подчеркивая тот факт, что аналогия между объектами устанавливается именно относительно набора S характеристик, Жохов тем самым придает отношению аналогии субъектный оттенок. Действительно, мы можем выбрать такие характеристики для некоторого объекта X, среди которых не найдется ни одной общей с характеристиками объекта У, а можем, наоборот, рассматривать набор характеристик, общих для объектов X и У. Тогда, соответственно, эти объекты не будут аналогичны или, наоборот, будут находиться в отношении аналогии.

Б. 3. Хынг прежде всего под аналогией подразумевает «понятие, обозначающее некоторое сходство между различными объектами, процессами или системами в тех или иных свойствах, функциях, соотношениях элементов, структурах и порядке действий»^[31]. Определив аналогию как вид сходства, он видит отличие последнего от аналогии в том, что «сходство существует объективно. Аналогия — это продолжение начального сходства с участием мышления человека»^[10].

Хынг выделяет такую схему умозаключения по аналогии^[10]:

• • АиВ — аналогичные объекты;
• • А имеет свойство х;
• • возможно, В имеет свойство х', аналогичное х.

Данная схема, как и приведенная нами ранее, имеют место в выводах по аналогии. Первая схема описывает процесс вывода по аналогии в тех случаях, когда аналогия между двумя объектами используется редко и для обоснования перенесения некоторого свойства одного объекта на другой объект выделяется система их общих свойств и признаков.

При неоднократном совместном рассмотрении двух объектов их общие свойства и признаки в каждом конкретном случае не выделяются, так как на некотором шаге у нас формируется устойчивое представление об аналогии этих объектов. В таких случаях мы приходим ко второму виду схемы умозаключения по аналогии.

Однако выделение какого-либо свойства геометрического объекта всегда явно или неявно, осознанно или неосознанно связано с его другими свойствами, а поэтому не учитывать первую схему нельзя. Так, в приведенном выше примере тот факт, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений, неразрывно связан с наличием диагонали, возможностью найти «квадрат диагонали», возможностью рассмотреть отношение равенства и т. д. При переносе указанного свойства на прямоугольный параллелепипед, хотим мы того или нет, нам приходится учитывать подобные свойства стереометрической фигуры.

Дадим характеристику аналогии как метода познания.

В общенаучном, философском понимании метод — это способ достижения определенной цели, определенным образом упорядоченная деятельность, выражающаяся в совокупности приемов или операций практического или теоретического освоения действительности^[34].

При трактовке понятия «аналогия» как метода познания выделим те различные качества, в которых может выступать аналогия:

• • средство решения проблемных ситуаций, учебных задач;
• • способ восприятия и передачи информации;
• • способ осмысления недоступных восприятию человека явлений, процессов, объектов;
• • средство познания причин каких-либо явлений, процессов;
• • моделирование как средство предвидения результата.

Нетрудно заметить, что отмеченные аспекты использования аналогии как метода познания имеют место и в процессе обучения. В учебнике по методике преподавания математики говорится, что «в процессе обучения учащиеся… ставятся в положение первооткрывателей математических истин (самостоятельно или с помощью учителя), и поэтому научные методы математического исследования в то же время служат и методами учебной работы учащихся»^[35].

Однако отождествлять аналогию как метод научного познания с методом обучения было бы неверно, поскольку методы обучения представляют собой единство методов преподавания и методов учения, и в этом смысле они являются способами взаимосвязанной деятельности учителя и учеников. В этом двустороннем характере методов обучения и заключается «принципиальное» отличие их от методов науки, которые в теоретическом плане связываются с действиями лишь одного ученого.

Под аналогией в обучении геометрии будем понимать такой метод обучения, при котором обоснованно и целенаправленно устанавливаются связи между геометрическими фигурами, величинами и задачами с целью выявления их сходства и различия, обеспечивающего перенос свойств, отношений с одних объектов на другие. Такое понятие аналогии мы связываем с методом аналогии в обучении геометрии.

«В связи с тем что процесс обучения, в отличие от процесса научного познания, в субъективном отношении двусторонний (преподавание, учение), — пишет С. А. Шапоринский, — управление познавательной деятельностью учащихся и, в особенности, сама деятельность последних приобретают очень важное значение»^[36]. Поэтому в плане реализации внутрипредметных связей курса геометрии посредством использования аналогии мы уделяем внимание организации деятельности учащихся, которая направлена на перенос метода решения одной задачи на другую и составление аналогичных задач на основе исходной.

• [1] Материалисты Древней Греции. М.: Изд-во Политической литературы, 1955. С. 49.
• [2] Уемов А. И. Аналогия в практике научного исследования. Из истории физико-математических наук. М.: Наука, 1970. С. 54.
• [3] Аристотель. Сочинения. В 4 т. / пер. с древнегреч.; общ. ред. А. И. Доватура. М. :Мысль, 1983. Т. 4. С. 151.
• [4] Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. М.: Педагогика, 1985. С. 236.
• [5] Евклид. Начала. Книги VII—X / пер. с греч. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтов-ского; при ред. участии И. Н. Веселовского. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1949. С. 10.
• [6] Мах. Э. Указ. соч. С. 227.
• [7] Дидро Д. Собрание сочинений. В 10 т. Т. 7. М.; Л.: Изд-во художественной литературы, 1939. С. 192.
• [8] Мах. Э. Указ. соч. С. 223.
• [9] Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989.С. 503.
• [10] Там же.
• [11] Кудрявцев П. С. История физики. Т. II. От Менделеева до открытия квант. М., 1956.С. 151.
• [12] Там же. С. 175.
• [13] Химия: Справ, материалы: книга для учащихся / под ред. Ю. Д. Третьякова.2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1989. С. 20.
• [14] Кондаков Н. И. Логический словарь / отв. ред. Д. П. Горский. М.: Наука, 1971.
• [15] Даль В. И. Толковый словарь живого великорусского языка. В 4 т. Т. 1. М.: Русскийязык, 1978.
• [16] Ивин А. А. Искусство правильно мыслить: книга для учащихся старших классов.М.: Просвещение, 1986. С. 49.
• [17] Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1959. С. 44.
• [18] Там же. С. 48.
• [19] Уемов А. И. Аналогия в практике научного исследования. Из истории физико-математических наук. М.: Наука, 1970; Его же. Аналогия и учебный процесс //Логика и проблемы обучения. М.: Педагогика, 1977. С. 11—36; Его же. Истина и пути ее познания.М.: Наука, 1974.
• [20] Батороев К. Б. Аналогия и модели в познании. Новосибирск: Наука, 1981; Его же. Кибернетика и метод аналогий: учеб, пособие. М.: Высшая школа, 1974.
• [21] Болтянский В. Г. Аналогия — общность аксиоматики // Советская педагогика.1975. № 1. С. 73—82.
• [22] Штофф В. А. Об особенностях модельного эксперимента // Вопросы философии.1963. № 9. С. 40—50.
• [23] Уемов А. И. Аналогия в практике научного исследования. С. 19.
• [24] Уемов А. И. Истина и пути ее познания. С. 78.
• [25] Батороев К. Б. Кибернетика и метод аналогий. С. 18.
• [26] Там же. С. 17.
• [27] Эрдниев П. М. Сравнение и обобщение при обучении математике. М.: Учпедгиз, 1960. С. 15.
• [28] Там же. С. 34.
• [29] Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. С. 95.
• [30] Жохов А. Л. Указ. соч. С. 8.
• [31] Хынг Б. 3. Метод аналогии при обучении решению стереометрических задач в средней школе: автореф. дис. … канд. пед. наук. СПб., 1991. С. 7.
• [32] Там же.
• [33] Там же.
• [34] Кондаков Н. И. Логический словарь / отв. ред. Д. П. Горский. М.: Наука, 1971;Философский словарь / под ред. И. Т. Фролова. 6-е изд., перераб. и доп. М.: Политиздат, 1991.
• [35] Методика преподавания математики в средней школе. С. 37.
• [36] Шапоринский С. А. Обучение и научное познание. М.: Педагогика, 1981. С. 193.