Возникновение математики как науки. 
Построение первых математических теорий (математика Древней Греции)

VI в. до н. э. — систематическое введение логических доказательств, явившееся переломным моментом в развитии математики. В Пифагорейской научной школе было начато построение геометрии как отвлеченной науки, истины которой выводятся из немногих исходных аксиом с помощью доказательств. К пифагорейцам восходят первые математические теории: планиметрия прямолинейных фигур (включая строгое доказательство знаменитой теоремы Пифагора) и элементы теории чисел (введение понятий простого числа, взаимно простых чисел, исследование делимости, построение совершенных чисел). В этой же школе были открыты три из пяти правильных тел: куб, тетраэдр и додекаэдр.

V в. до н. э. — В Пифагорейской школе сделано величайшее открытие о несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Оно показало, что рациональных чисел (т. е. целых чисел и дробей) недостаточно для измерения геометрических величин и обоснования учения о подобии. Благодаря этому открытию возникла необходимость создания теории отношений как соизмеримых, так и несоизмеримых величин.

V в. до н. э. (вторая половина) — создана так называемая геометрическая алгебра, которая давала возможность в общем виде решать задачи, сводящиеся к квадратному уравнению или последовательности таких уравнений, чисто геометрически, с помощью циркуля и линейки. Геометрическая алгебра играла в античной математике роль нашей буквенной алгебры, но аппарат ее был гораздо менее удобен.

В это же время были сформулированы три знаменитые задачи древности:

• 1) удвоение куба (построить куб, имеющий объем в два раза больший данного),
• 2) трисекция угла (разделить произвольный угол на три равные части) и
• 3) квадратура круга (построить квадрат, равновеликий данному кругу).

Все эти построения, как было доказано в XIX в., невозможны с помощью циркуля и линейки. Древние использовали для их решения новые кривые: конические сечения (эллипс, гиперболу и параболу) и квадратрису (первую трансцендентную кривую).

В поисках квадратуры круга Гиппократ Хиосский открыл квадрируемые луночки (получившие название гиппократовых), т, е. фигуры, ограниченные дугами окружностей, для которых можно построить равновеликие им квадраты.

В конце V в. Гиппократ составил первые «Начала» — систематическое изложение основ математики своего времени. Труд этот до нас не дошел.

IV в. до н. э. (первая половина) — афинский математик Теэтет предпринял исследование алгебраических иррациоиальностей и начал классификацию их. Определил простейшие классы квадратичных иррациональностей, такие, как, ?, , которые были впоследствии описаны в «Началах» Евклида. Он показал также, что иррационален, если он не является кубом. Ему же принадлежит открытие октаэдра и икосаэдра.

IV в. до н. э. (середина) — математик и астроном Евдокс из Книда создал общую теорию отношений для любых однородных величин (как соизмеримых, так и несоизмеримых). Эта теория совпадает, по существу, с теорией действительных чисел, предложенной в конце XIX в. Р. Дедекиндом. Для определения площадей и объемов Евдокс разработал так называемый «метод исчерпывания». В основе обеих теорий лежало общее учение о величинах, причем впервые была сформулирована важнейшая аксиома, известная ныне под названием аксиомы Архимеда:

если а>b, то можно повторить b столько раз, что nb>a.

С помощью новых методов Евдокс впервые доказал, что конус равновелик цилиндра, имеющего одинаковые с ним основания и высоту, а пирамида равновелика соответствующей призмы. Он доказал также, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

300 г. до н. э. — Евклид создал «Начала», в которых подвел итог всему предшествующему развитию античной математики. Дедуктивный метод изложения «Начал» стал образцом для построения математической теории. В «Началах» систематически изложены геометрия, элементы теории чисел, алгебры, теория отношений и метод исчерпывания. Здесь сформулирован алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, доказано, что произведение чисел ab делится на простое число р тогда и только тогда, когда один из сомножителей делится на р, а также, что простых чисел бесконечно много. В «Началах» впервые встречается строгий вывод формулы суммы конечного числа членов геометрической прогрессии и показывается, что существует только пять правильных многогранников: куб, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

III в. до н. э. —Архимед разработал методы нахождения площадей и объемов, а также методы определения касательных и наибольших и наименьших значений величин, которые он применил для решения проблем статики, гидростатики и теории равновесия плавающих тел. Методы Архимеда легли в основу дифференциального и интегрального исчислений, созданных в XVII в. Архимед нашел все полуправильные многогранники. С помощью конических сечений он решал кубические уравнения вида.

х²(а±х)=b

и проводил полное их исследование.

Ill—II вв. до н. э. — Аполлоний систематически и всесторонне исследовал конические сечения. Его книги о конических сечениях послужили основой для создания аналитической геометрии Р. Декартом и П. Ферма (XVII в.), проективной геометрии В. Паскалем и Ж. Дезаргом (XVII в.), а также явились математическим аппаратом при исследованиях по механике и астрономии И. Кеплера, Г. Галилея и И. Ньютона.

I—II вв. н. э. — широкое развитие вычислительно-алгебраических методов в античной математике.

I в. (конец) — Менелай создал систематический курс сферической геометрии, построенный по образцу «Начал» Евклида, и развил сферическую тригонометрию.

II в. — Птолемей в своих астрономических трудах изложил плоскую и сферическую тригонометрию; он вывел формулу, равносильную формуле sin (a ± b) == sin a. cos b± cos a. sin b, и составил подробные таблицы хорд (вместо линии синуса древние рассматривали всю хорду). В таблицах Птолемей употреблял символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда. Возможно, что этот символ и явился прообразом нуля.

Ill в. н. э. — Диофант Александрийский написал «Арифметику», в которой расширил числовую область до поля рациональных чисел, сформулировал правило умножения относительных чисел, ввел алгебраическую символику: знаки для первых шести положительных и отрицательных степеней неизвестного, для вычитания и равенства. Там же приведены и правила переноса членов из одной части уравнения в другую и приведения подобных. В «Арифметике» рассмотрены проблемы решения неопределенных уравнений в рациональных числах и даны методы для нахождения рациональных решений неопределенных уравнений второй и третьей степени.