Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Вновь будем считать, что производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты т/п от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа е > 0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства.

Эту вероятность будем обозначать так: Р(| т/пр < е).

Заменим неравенство (*) ему равносильными:

Умножая эти неравенства на положительный множитель yjn/(pq)> получим неравенства, равносильные исходному:

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа в форме, указанной в замечании (см. § 3). Положивx^f = -?yjn/(pq) их" = ?y]n/(pq), имеем.

Наконец, заменив неравенства, заключенные в скобках, равносильным им исходным неравенством, окончательно получим

Итак, вероятность осуществления неравенства | т/п — р | < г приближенно равна значению удвоенной функции Лапласа 2Ф (х) при.

х = Es]n/(pq).

Пример 1. Вероятность того, что деталь нестандартна, р = 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности р = 0,1 по абсолютной величине нс более чем на 0,03.

Р е ш е н и е. По условию, п = 400;р = 0,1; q — 0,9; е = 0,03. Требуется найти вероятность Р (| тл/400−0,11 Р (т/п-р

= 2(Zyjn/(pq)), имеем.

По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772. Следовательно, 2Ф (2) = 0,9544.

Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р = 0,1 но абсолютной величине не превысит 0,03.

Пример 2. Вероятность того, что деталь нестандартна, р = 0,1. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0,9544, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей (среди отобранных) отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Р е ш е и и е. По условию, р = 0,1; q = 0,9; е = 0,03; Р (| т/п — 0,11 < 0,03) = = 0,9544. Требуется найти п.

Воспользуемся формулой.

В силу условия.

Следовательно, Ф (0,14п) = 0,4772.

По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772.

Для отыскания числа п получаем уравнение 0, lvw = 2. Отсюда искомое число деталей п = 400.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей, то в 95,44% этих проб относительная частота появления нестандартных деталей будет отличаться от постоянной вероятности р = 0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,03, т. е. относительная частота заключена в границах от 0,07 (0,1 — 0,03 = 0,07) до 0,13 (0,1 + 0,03 = 0,13). Другими словами, число нестандартных деталей в 95,44% проб будет заключено между 28 (7% от 400) и 52 (13% от 400).

Если взять лишь одну пробу из 400 деталей, то с большой уверенностью можно ожидать, что в этой пробе будет нестандартных деталей не менее 28 и не более 52. Возможно, хотя и маловероятно, что нестандартных деталей окажется меньше 28 либо больше 52.