Исследовательская часть. 
Метод максимального правдоподобия и его модификации

В этой главе будут продемонстрированы результаты проверки и сравнения эффективности работы всех трех методов для реальных данных и сделаны выводы касательно их применимости для решения практических задач.

Выбор реальных данных

Поскольку нашей целью является все же проверка применимости разработанных методов в реальной жизни, то нам требуются такие данные, чтобы, исходя из логики и здравого смысла, было понятно, каким приблизительно должен получиться результат применения метода, если он действительно работает.

В качестве таких данных было решено выбрать еженедельные средние потребительские цены на некоторые продукты питания. В данном случае признаками являются товары, а наблюдениями — моменты времени. Напомним, что в модели факторного анализа предполагается, что наблюдения независимы и одинаково распределены. Но цены на товары растут с течением времени, поэтому, чтобы предположения модели выполнялись, под реализациейго признака дляго наблюдения (далее обозначается как) мы будем понимать не саму цену товара в момент времени (далее обозначается), а величину относительного прироста цены, т. е.

.

Чтобы по этим данным было понятно, каким должен получиться результат работы метода в случае, если этот метод действительно работает, товары следует выбирать так, чтобы они, опять же, образовывали группы. В одной группе должны находиться товары, изменения цен которых взаимозависимы. Например, очевидно, что изменение цены на сметану находится в прямой зависимости от изменения цены на молоко.

Итак, в качестве признаков были выбраны следующие товары:

• 1. говядина
• 2. сосиски и сардельки
• 3. колбаса полукопченая и варено-копченая
• 4. колбаса вареная I сорта
• 5. говядина и свинина тушеная консервированная
• 6. масло сливочное
• 7. сметана
• 8. творог жирный
• 9. сыры сычужные твердые и мягкие
• 10. мука пшеничная
• 11. хлеб и булочные изделия из пшеничной муки

Еженедельные средние потребительские цены на эти продукты за период времени с января 2008 г. по апрель 2014 г. были взяты с сайта Федеральной службы государственной статистики: http://www.gks.ru.

Очевидно, что первые пять продуктов образуют одну «мясную» группу. Продукты 6. — 9. образуют «молочную» группу, а последние два продукта — это «мучная группа» .

Таким образом, мы предполагаем, что, если метод на этих данных работает правильно, то он выделит каждую из групп в свой отдельный фактор. Однако, в отличие от эксперимента с искусственно смоделированными данными, мы не можем утверждать, что если на этих данных некий гипотетический метод работает идеально, то полученная им нагрузочная матрица должна иметь вид:

Потому что:

• 1. Реальные данные значительно «зашумлены»
• 2. Изменения цен на продукты из разных групп, скорее всего, зависимы, пусть и значительно слабее, чем внутри групп.
• 3. Зависимости внутри групп носят более сложный характер, чем в случае искусственно смоделированных данных. В качестве доказательства этого утверждения, ниже продемонстрирован график зависимости изменения цены на сосиски и сардельки от изменения цены на говядину.

Рисунок 4.1. Зависимость изменения цены на сосиски и сардельки от изменения цены на говядину Однако нами выбраны такие данные, что мы заранее знаем, что матрица, полученная этим идеальным методом должна быть достаточно близка к матрице. Поэтому, при работе с этими реальными данными мы по-прежнему можем использовать коэффициенты эффективности, определенные в предыдущей главе, с той лишь разницей, что небольшие расхождения в значениях этих коэффициентов для двух методов не дают нам права утверждать, что один из них работает лучше, чем другой. (Потому что из того, что одна из матриц находится чуть ближе к матрице, не следует, что она ближе и к идеальной матрице). Но, если эти расхождения значительны, мы можем это утверждать.

Более того, мы не рассчитываем (по тем же самым причинам 1. — 3.), что наши методы будут работать на этих данных так же хорошо, как на искусственно смоделированных. Поэтому, мы не ожидаем, что как при эксперименте с искусственно смоделированными данными нам удастся сразу (т.е. без использования методов вращения) получить нагрузочную матрицу, которая будет близка к матрице. Нам достаточно того, чтобы строки первоначальной матрицы сгруппировались «по похожести». То есть первые пять строк полученной нагрузочной матрицы должны быть очень похожи друг на друга (т.е. их поэлементные разности должны быть малы), и значительно отличаться от всех остальных строк. Строки с шестой по девятую, аналогично, должны быть похожи друг на друга и ни на какие другие. И то же самое для последних двух строк. Однако с помощью методов вращения мы надеемся свести первоначально полученную матрицу к более близкой к эталонной.