Определение теоретических частот нормального распределения

Вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала (б_i — в_i) приближенно равна произведению длины интервала на значение плотности вероятности этой случайной величины в одной из точек этого интервала (обычно берут середину интервала). Следовательно, это можно представить как.

.

где, (б_i — в_i) = ?t_i — длина интервала; f (t_i) — плотность вероятности попадания случайной величины на интервал.

Рассмотрим, каким образом определить величину f (t_i). Плотность вероятности нормального распределения в общем виде выражается как.

Если выражение (t_i-t_ср)/у в показателе степени при экспоненте заменим на t₀, то выражение (4) преобразуется в.

Величина = f (t_o) табулирована и определяется с учетом ее четности, т. е. f (-t₀)=+f (t₀).

Тогда плотность вероятности f (t) через табулированную функцию определится как.

(6).

Учитывая изложенное выше, можно записать.

(7).

Таким образом, вероятность попадания случайной величины (отказа) в любой интервал определяется через табулированную функцию плотности вероятности, длины интервала и среднеквадратичное отклонение.

Теоретическое число отказа, попадающее в каждый интервал, получается путем умножения значения вероятности попадания случайной величины в этот интервал на общее количество наблюденных отказов. Полученное значение частоты округляется до целой величины, т.к. отказ не может быть дробным.

В качестве примера в таблице 2 приведены расчеты по определению теоретических частот в каждом интервале. Для сокращения расчетов, зависимость (7) предварительно преобразована: в нее подставлены значения? t и у и, кроме того, числитель и знаменатель разделены на? t.

В результате получим.

Это значение и помещено в графу 6 таблицы 2.

Таблица 2. Расчет теоретических частот.

Граница интервалов бi — вi	Середина инт. ti	ti-tср	f (t0).	Теоретическое число отказов ni0=P (ti)· N0
0−4,67.	2,335.	— 16,423.	— 2,278.	0,0297.	0,019.	1,156>1.
4,67−9,34.	7,005.	— 11,753.	— 1,63.	0,10 557.	0,068.	4,102 >4.
9,34−14,01.	11,675.	— 7,083.	— 0,982.	0,2462.	0,159.	9,57>10.
14,01−18,68.	16,345.	— 2,413.	— 0,335.	0,3773.	0,244.	14,66>15.
18,68−23,35.	21,015.	2,257.	0,313.	0,3799.	0,246.	14,765>15.
23,35−28,02.	25,685.	6,927.	0,96.	0,2514.	0,163.	9,77>10.
28,02−32,69.	30,355.	11,597.	1,608.	0,10 932.	0,0708.	4,248>4.
32,69−37,36.	35,025.	16,267.	2,256.	0,3 124.	0,0202.	1,214>1.