Энергетический метод. 
Механика разрушения

Известно несколько энергетических методов, наиболее распространенным из которых является метод полной энергии. Интенсивность G освобождения энергии, которое имеет место при распространении трещины в упругом теле, связана с КИН зависимостью.

.

При распространении трещины на величину, А изменение энергии деформации составляет U. Интенсивность освобождения энергии можно также представить как G=U/А. Таким образом, если в результате использования МКЭ установить интенсивность освобождения энергии G, можно определить КИН. Однако видно, что найденный таким образом КИН должен относиться к трещине одного из типов, т. е. для этих типов трещин расчет К возможен только порознь.

При определении интенсивности освобождения энергии можно воспользоваться изложенными ниже двумя способами.

А. Методом конечных элементов проводят численное решение для трещины площадью А. При этом определяют энергию упругой деформации U (A). Затем рассматривают рост трещины на один элемент. При тех же граничных условиях вновь МКЭ решают задачу и определяют U (A+А). Тогда G=(U (A+А) — U (A))/ А. Энергию упругой деформации можно установить путем интегрирования энергий деформации в отдельных точках по всей рассматриваемой области. Полученное значение должно быть равно работе внешних сил. Однако расчет работы внешних сил довольно прост и позволяет исключить сложности, связанные с интегрированием.

Б. Можно не рассматривать рост трещины на один элемент, а за счет соответствующего смещения координаты вершины трещины задавать ее распространение (рис. 64). В результате такой операции будет происходить изменение жесткости. При этом можно считать, что жесткость меняется лишь у тех элементов, которые окружают вершину трещины. Если принять это во внимание и путем исключения решать систему линейных уравнений, можно за одно решение определить U= U (A+А) — U (A). При этом необходимо в процессе исключения вначале соответствующим образом вводить указанную операцию распространения трещины.

В случае использования метода, А необходимо по отдельности дважды проводить решение. В рассматриваемом же методе в этом нет необходимости. Его можно эффективно использовать при большом числе уравнений, в частности при решении трехмерных задач. Метод Б носит название метода виртуального роста трещины, а метод, А — метода податливости.

Использование специальных элементов Методы, использующие аналитические решения. На рис. 65 изображен треугольный элемент с трещиной, предложенный Бисковым. В качестве решения вводится решение, полученное из функции напряжений Мусхелишвили. При этом аналитическое решение имеет особенность напряжений, характерную для вершины трещины. В случае такого элемента восьми степеням свободы узлов соответствует восемь независимых переменных: три переменные, характеризующие перемещения твердого тела, три средних напряжения и КИН КI и КII.

Рис. 65. Специальные элементы Бискова и Уилсона

Руководствуясь аналогичными соображениями, Уилсон предложил круглый элемент с трещиной (рис. 65) и нашел решение, используя до высоких порядков разложение функции перемещения в окрестностях трещины.

Необходимо отметить, что при использовании этих элементов в реальных условиях обычно их окружение составлено из треугольных элементов. При этом обеспечиваются такие условия, при которых перемещения смежных элементов в узлах совпадают, однако в общем случае не выполняется условие неразрывности перемещений на границах элементов, за исключением узлов. Поэтому не существует теоретического обоснования сходимости. Тем не менее, численные эксперименты показали, что при этом не возникает существенных проблем.

Методы, использующие простые функции для описания особенностей. На рис. 66 показан предложенный Уилсоном элемент, представляющий собой равнобедренный треугольник, вершина которого находится в вершине трещины. Для этого элемента перемещение можно представить таким образом.

.

Аналогично можно определить перемещение v. Такой элемент для напряжений и деформаций имеет особенность в вершине трещины.

Деформированные изопараметрические элементы. У обычного восьмиузлового изопараметрического элемента узлы находятся на серединах сторон. Если сместить узлы в точки, соответствующие ј длины стороны, то можно получить особенность в вершине трещины (рис. 67). Однако в этом случае будет отсутствовать сходимость решения и энергия деформации будет иметь особенность в вершине трещины. В связи с этим предложено считать длину одной из сторон четырехугольника равной нулю. В результате объединения смежных узлов удалось получить элемент, который одновременно обладал всеми необходимыми свойствами (рис. 67).

Рис. 67. Деформированные элементы

Такой элемент может быть использован как для упругого тела, так и для идеально пластического без деформационного упрочнения.