Постановка задач дисперсионного анализа

В практической деятельности встречаются объекты исследования, состояние которых определяется входными факторами, не имеющими количественного описания. Такими факторами могут быть переменные, которые по каким-либо причинам не доступны для измерения, однако, их уровни варьирования можно произвольно выбирать и фиксировать во времени. Например, на качество изготавливаемой продукции могут влиять следующие факторы: комплектующие, которые могут поступать от разных поставщиков, производственное оборудование однотипных производственных участков, технология изготовления, конкретные работники различных участков и смен.

Постановка задач дисперсионного анализа предполагает известным:

• § Отклик системы зависит от независимых управляемых факторов, не имеющих количественного описания.
• § Каждый фактор может варьироваться на уровнях.
• § Полный факторный эксперимент состоит из серий независимых наблюдений.
• § Каждаятая серия содержит наблюдений параллельных опытов.

Требуется определить меру влияния каждого фактора на отклик системы и выделить наиболее существенные факторы.

Дисперсионный анализ базируется на следующих допущениях:

• § Результаты измерений выходного сигнала — нормально распределенные случайные величины.
• § Дисперсия единичного наблюдения обусловлена случайными ошибками и постоянна во всех опытах и не зависит от сочетания входных факторов.

В качестве показателя влияния фактора принимают дисперсию фактора, то есть дисперсию выходной величины, обусловленную вариацией данного входного фактора:

где.

Сравнение дисперсий и соответствует сравнению влияния фактора и фактора случайности. Величина считается известной, в противном случае ее оценка совпадает с оценкой воспроизводимости. Результаты экспериментов позволяют вычислить оценку выборочной дисперсии:

Если отличие от незначительно, то влияние фактора несущественно, иначе — существенно. Дисперсия фактора может быть оценена по следующей формуле:

так как.

Дисперсионный анализ основан на разложении оценки общего рассеивания выходного сигнала на составляющие: зависящие от факторов и зависящие от случайных величин.

Стабилизация оценки дисперсии, вычисляемой по экспериментальной выборке значений исследуемой величины, свидетельствует о соответствии статистических свойств выборки свойствам генеральной совокупности. Стабилизация оценки дисперсии служит индикатором достаточности объёма выборки для вероятностной оценки по ней исследуемых свойств генеральной совокупности.