Обсуждение результатов и возможные перспективы дальнейшего развития

В настоящей главе был рассмотрен круг проблем, связанный с построением одностороннего аналога преобразования Адамара. Основой такого построения служит теорема о разложении, представленная в разделе 2.2. Под термином односторонний аналог гейта Адамара понимается прямое преобразование входных базисных элементов в их суперпозиции. Обратное преобразование рассматривается в Главе 3. Но зесть один момент, заслуживающий значительного внимания. Входные и выходные базисные элементы определены в отличных Гильбертовых пространствах. Поэтому важно еще рассмотреть преобразование суперпозиции входных базисных состояний. И данный вопрос преобразования тесно связан с вероятностью успеха сгенерировать суперпозиционные состояния. Вероятность успеха для обоих суперпозиционных состояний одинакова при преобразовании Адамара. Если вероятности в аналоге преобразования Адамара отличаются друг от друга, то это ведет к потере точности выходных состояний. Более подробно данный вопрос изложен в Главе 3, где также рассматривается вопрос обратного преобразования.

Материал данной главы может служить введением в теорию построения обусловленных элементарных одно-кубитовых преобразований на основе теоремы о разложении. Данный тип преобразований является вероятностным, то есть преобразование определенно выполняется при обнаружении некоторого исхода в вспомогательных модах. Если нужный исход измерения не наблюдается, то невозможно ничего сказать про выходные состояния. Стоит только отметить, что как показано в разделе 2.3, возможна реализация и детерменированных преобразований с помощью специального заранее подготовленного состояния. Выходные состояния генерируются всегда при взаимодействии входных базисных состояний с таким специальным состоянием. Естественно, что такой круг проблем не ограничивается приведенными примерами, он значительно шире. Но в основе анализа данных квантовых протоколов лежит теорема о разложении.

Движущей силой для генерации новых неклассических состояний света является техника извлечения или добавления фотонов к исходным состояниям [80−119]. Данная техника позволяет генерировать новые экзотические состояния, а также некоторые комбинации операторов рождения и уничтожения. Состояние единичного фотона было экспериментально показано в работе [123]. Усовершенствованная техника генерации единичного фотона была показана в работе [124]. Фотон извлеченные состояния использованы в разделе 2.3 для реализации одно-кубитовых преобразований. Добавление некоторого числа фотонов рассмотрено в разделе 2.4. Фотонное состояние является частным случаем перемещенного фотонного состояния в случае, когда амплитуда перемещения становится равной нулю. Естественно предположить, что извлечение перемещенного фотонного состояния расширяет возможности генерации новых состояний света. Действительно, все результаты, полученные посредством извлечения фотонного состояния, могут быть получены из общего подхода с извлечением перемещенного фотонного состояния с нулевой амплитудой перемещения. Таким образом, амплитуда перемещения является дополнительной степенью свободы, которая может быть использована для манипуляции выходными состояниями. Переход от фотонного состояния к их перемещенным аналогам (как это описано в разделе 2.2) в вспомогательных модах составного запутанного состояния ведет к наложению дополнительного унитарного преобразования в оставшихся не измеряемых модах в этом состоянии. Проекционное измерение на перемещенное фотонное состояние в измеряемых модах ведет к генерации нового преобразованного состояния, которое определяется уже матрицей преобразования (2.2.23). Один из возможных путей использования техники извлечения перемещенных состояний продемонстрирован на рисунке 2.14. Более подробно техника извлечения перемещенного фотонного состояния излагается в Главе 3. Стоит отметить, что перемещенный единичный фотон был экспериментально продемонстрирован в [125].

1. Полностью разработан математический аппарат матричного преобразования из одного бесконечного набора базиса перемещенных фотонных состояний в другой с отличной амплитудой перемещения. Каждый из наборов перемещенных фотонных состояний является полным, что позволяет выразить произвольное состояние в терминах базисных состояний. Получены как прямая, так и обратная матрицы преобразования между отличными базисными наборами перемещенных фотонных состояний. Аналитические выражения коэффициентов унитарной матрицы преобразования представлены. Данное матричное преобразование позволяет ввести понятие представления для любого состояния. представление определяется разложением исходного состояния по базисным перемещенным фотонным состояниям с амплитудой перемещения. Построены графики распределения перемещенных фотонных состояний для некоторых состояний. Сделано интересное наблюдение, что состояние с меньшей энергией (микроскопическое) может быть разложено в ряд по состояниям с большей энергией (макроскопическое), что может противоречить общепринятой классической точки зрения. Показано, что никакого противоречия не существует, поскольку оператор перемещения является унитарным, у которого всегда существует обратная матрица. Поэтому имеет также место и обратное преобразование, при котором состояние с большей энергией (макроскопическое) разлагается в ряд по состояниям с меньшей энергией (микроскопические). Данное обстоятельство уже не противоречит общепринятым классическим представлениям об окружающем мире. Данный факт может также служить новой чертой, которая отличает квантовый взгляд на мир от классического. Соответственно перемещенные фотонные состояния с большой амплитудой перемещения могут быть выбраны в качестве макроскопических состояний, на которых можно будет проверить вопрос полноты квантовой механики. Применимы ли правила квантовой механики к макроскопическим состояниям? Данное обстоятельство может стать отправной точкой для будущих исследований. В целом перемещенные фотонные состояния с произвольной амплитудой перемещения могут быть использованы в протоколах квантовой информатики.

• 2. Получены аналитические выражения представления как четной, так и не четной суперпозиции когерентных состояний, которые могут быть рассмотрены в качестве оптического аналога Шредингеровских состояний котов. Практическая генерация данных суперпозиций большой амплитуды может разрешить Шредингеровский парадокс котов в оптическом диапазоне. Генерация суперпозиций когерентных состояний в средах с Керровской нелинейностью не возможна, благодаря малым значениям данной нелинейности и влиянию эффекта декогерентности на распространяющийся свет. Поэтому возможное решение данной проблемы —- это генерация усеченных состояний, которые аппроксимируют СКС с высокой точностью. Продемонстрированы графики точности между СКС и их усеченными аналогами в зависимости от амплитуды СКС и амплитуды перемещения. Показано, что точность приближается к идеальной единичной в широком диапазоне значений амплитуды СКС и сдвига в случае увеличения числа членов усеченной СКС.
• 3. представление СКС состояний положено в основу реализации квантовых преобразований. Рассмотрен вопрос реализации матрицы Адамара для неклассических состояний света. В данном случае стоит говорить о реализации аналога прямого действия матрицы Адамара. В качестве входных и выходных базисных состояний выбраны состояния из отличных друг от друга двухмерных Гильбертовых пространств. Рассмотрена реализация прямого действия матрицы Адамара на базисных состояниях одного Гильбертова пространства в суперпозиции базисных элементов другого Гильбертова пространства. В качестве базисных состояний отличных друг от друга Гильбертовых пространств были выбраны сжатые когерентные состояния света. Амплитуды сжатия и перемещения базисных состояний отличаются друг от друга, что позволяет говорить о двух отличных друг от друга Гильбертовых пространствах. Механизм извлечения фотонов из начальных состояний используется, чтобы реализовать прямое действие матрицы Адамара. Соответствующая оптическая схема, составленная из линейных оптических элементов и лавинных фотодиодов, предложена для реализации данного механизма. Показано, что данный метод работает и позволяет сгенерировать состояния, которые с высокой точностью аппроксимируют точные суперпозиции выходного Гильбертова пространства. Обнаружено, что чем больше фотонов извлекается из начальных состояний, тем выше точность генерируемого выходного состояния. Используемый метод также дает возможность реализовать на практике как четную так и не четнуб СКС большой амплитуды. На основе данного подхода была предложена оптическая схема для выполнения детерменированного (не вероятностного) прямого действия преобразования Адамара. В основу данного метода положена генерация некоторого вспомогательного состояния. Данное состояние реализуется посредством извлечения нескольких фотонов из начального сжатого когерентного состояния света. Дальнейшее проекционное измерение на базисные состояния начального Гильбертова пространства позволяет сгенерировать суперпозиции выходного Гильбертова пространства. Соответствующие графики зависимостей точности генерируемых суперпозиций от амплитуды получены, которые подтверждают осуществимость на практике данного подхода.
• 4. Рассмотрен вопрос реализации прямого действия матрицы Адамара, связывающей между собой два Гильбертовых пространства, посредством последовательности операторов рождения и перемещения. Показана возможность сгенерировать выходные суперпозиции с высокой точностью. Обнаружено, что чем длиннее цепочка из последовательности операторов рождения и перемещения, тем выше точность выходных состояний.
• 5. Данный подход, развиваемый на основе представления СКС состояний, может быть положен в основу всех методов по генерации СКС состояний и реализации одно-кубитовых преобразований в пространстве когерентных состояний. Данный подход позволяет рассмотреть как прямое действие преобразования Адамара на входных суперпозициях, так и обратное действие. Вполне возможно, что данный подход поможет найти общий алгоритм преобразования Адамара для одного Гильбертова пространства с когерентными состояниями, выбранными в качестве базисных.