Представление чисел в ЭВМ

Бит, байт, слово.

Бит — единица количества информации, которое показывает, что произошло одно из двух равновероятных событий. Бит соответствует одному двоичному разряду и записывается в виде одной двоичной цифре (0 или 1).

Байт — состоит из 8 двоичных разрядов и является минимальной единицей информации, обрабатываемой в ЭВМ.

Слово — группа последовательно расположенных байтов, обрабатываемых ЭВМ одновременно. Длина слова — количество бит (разрядов), которое оно содержит.

Разрядность процессора — это длина обрабатываемого слова. Чем больше разрядность процессора, тем больше его быстродействие, стоимость и точность вычислений.

Прямой, обратный и дополнительный коды представления чисел в ЭВМ Коды представления чисел в ЭВМ используются для упрощения арифметических операций.

Преимущества их использования Операция вычитания сводится к сложению.

Упрощается определение знака результата операции.

Облегчается выработка признаков переполнения разрядной сетки.

Для обозначения знака числа в этих кодах выделяется специальный знаковый разряд слева от цифровых (нулевая позиция), который отделяется при записи точкой. Если на этой позиции стоит 0, то число положительное, 1 — отрицательное.

Прямой код x_{пр. Отличается от рассмотренной ранее записи числа только наличием знакового разряда. Сложение чисел в прямом коде выполняется просто, при вычитании (алгебраическом сложении) — возникают трудности, т.к. приходится 1) определять большее по модулю число; 2) производить вычитание; 3) присваивать разности знак большего по модулю числа.}

Обратный и дополнительный коды используются для представления отрицательных чисел.

Обратный код x_{обр отрицательного числа х получается по следующему правилу: в знаковый разряд числа записывается 1, в цифровых разрядах производится инверсия т. е.0−1.}

Дополнительный код х_{доп отрицательного числа х получается из обратного кода хобр путем прибавления 1 к младшему разряду.}

Пример:

Тогда операция алгебраического сложения сводится к арифметическому сложению. Для этого:

Положительные числа записываются в прямом коде, отрицательные — в инверсном (обратном или дополнительном).

Производится арифметическое суммирование, причем знаковые разряды рассматриваются как старшие.

Возникающая единица переноса из знакового разряда при использовании обратного кода циклически прибавляется к младшему разряду, при использовании дополнительного кода — отбрасывается.

Пример:

х=+6₁₀=+110₂; у=-3₁₀=-011₂

х_пр=0.110; у_пр=1.011; у_обр=1.100; у_доп=1.101.

Для обратного кода Для дополнительного кода Преимущества дополнительного кода:

Только в дополнительном коде представление +0 и -0 — единственное.

• (+0)_пр=0.000 (-0)_пр=1.000
• (+0)_обр=0.000 (-0)_обр=1.111
• (+0)_доп=0.000 (-0)_ддоп=0.000
• 2) При заданной длине разрядной сетки дополнительный код представляет на одно отрицательное число больше, чем прямой и обратный коды.

Пример: 8-разрядная сетка, наибольшее положительное число +127, наибольшее отрицательное число в дополнительном коде -128 (1.0). Поэтому для представления отрицательных чисел чаще всего исользуют дополнительный код.

Переполнение разрядной сетки Переполнение разрядной сетки возникает, когда результат сложения превышает предельно допустимое положительное или отрицательное значение. Обнаруживается путем анализа переносов в знаковый разряд и из него.

Положительное переполнение — наличие переноса в знаковый разряд суммы при отсутствии переноса из знакового разряда. Результат (сумма)> 0.

Отрицательное переполнение — наличие переноса из знакового разряда суммы при отсутствии переноса в знаковый разряд суммы. Результат (сумма) <0.

Отсутствие переносов туда и обратно, или наличие обоих переносов означает, что сумма положительна и представлена в прямом коде. Если в знаковом разряде стоит 1, то сумма отрицательна и представлена в дополнительном коде.

Пример: сложение х = -6₁₀ = -110₂; у = -3₁₀= -011₂.

В 4-х разрядной сетке:

х_пр=1.110; у_обр=1.001; х_доп=1.010.

у_пр=1.011; у_обр=1.100; у_доп=1.101.

В дополнительных Перенос из знакового разряда суммы свидетельствует об отрицательном переполнении, т. е. сумма отрицательна и превышает предельно допустимое значение. Сдвинем полученный результат на 1 разряд вправо:

(х+у)_доп=(1.0111)_доп=(1.0110)_обр=(1.1001)_пр=-1001₂=-9₁₀ и т. д.

Примечание:

Дополнительный код:

• 1) используем для кодировки только целых чисел;
• 2) диапазон представления -2^n-1 … 2^n-1-1, где n — разрядность кода, т. е. при n=16 -32 768 … 32 767.

Прямой код:

• 1) используется для записи дробей с плавающей запятой;
• 2) диапазон — 32 767.

Представление дробей. Числа с фиксированной и плавающей запятой Представление дробей, при котором положение запятой в записи двойного дробного числа, заранее оговорено, называется представлением с фиксированной запятой.

Пример:

Недостатки:

• 1) При записи очень большие числа не укладываются в разрядную сетку. Например: 32-х разрядная сетка соответствует диапазону абсолютных десятичных целых чисел 10⁹. Использование больших чисел потребует введения масштабных коэффициентов и затруднит программирование.
• 2) Относительная точность расчетов зависит от величины чисел и является максимальной при выполнении операций с максимально возможными числами.

Представление чисел с плавающей запятой содержит явно выраженную информацию о месте положения запятой.

Пример:

Для удобства числа представляют так, чтобы после запятой оказалась первая значащая цифра.

— 1,56· 10⁶ = -0,156· 10⁷ — такая запись называется нормализованной. Таким образом, число N можно записать в виде.

N=m· S ^р

где |m|<1 — мантисса N; S — основание системы счисления; р — порядок.

В разрядной сетке записывается мантисса ±т со своими знаками и порядок ±р. Знак числа определяется знаком мантиссы. На практике мантисса начинается с первой значащей цифры, заданная разрядность используется максимально, что приводит к максимальной относительной точности вычислений.