Численный метод решения задачи о расчете оболочечных конструкций

Задача о расчете составных оболочечных конструкций сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений (2.1) с переменными коэффициентами в интервале при заданных граничных условиях (2.2) и (2.3). Эта, так называемая, краевая задача (граничные условия сформулированы в крайних точках s = 0 и интервала интегрирования) в общем случае может быть решена численным методом с применением ЭВМ.

Расчеты с применением ЭВМ имеют ряд характерных особенностей. В частности, при реализации численных методов расчета на ЭВМ весьма эффективным оказывается использование матричной формы записи машинных алгоритмов. Применение матричной символики позволяет не только компактно записать уравнения и алгоритм решения задачи, но и облегчить процесс программирования.

Из величин, , …, составим вектор (т — индекс транспонирования), который будем называть вектором состояния, и запишем систему уравнений (2.1) в матричной форме:

(3.1).

(3.2).

— матрица коэффициентов системы (3.1);

• (3.3)
• — вектор, учитывающий поверхностную нагрузку и температурные деформации.

Наиболее распространенным методом численного решения линейной краевой задачи является метод начальных параметров, позволяющий свести решение краевой задачи к решению последовательности задач Коши. Напомним, что в задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

Общее решение системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений (3.1) можно представить в виде суммы какого-либо частного решения этой системы и линейной комбинации шести линейно-независимых решений, , системы однородных дифференциальных уравнений.

.(3.4).

Таким образом, можно записать.

(3.5).

где, , …, — постоянные интегрирования.

Вектор состояния можно найти, решая задачу Коши для системы (3.1) при произвольных начальных условиях. Векторы, …, можно найти, решив шесть задач Коши для системы однородных уравнений (3.4), задавая начальные условия, …,. При выборе начальных векторов, …, следует обеспечить их линейную независимость.

После построения частного решения неоднородного уравнения (3.1) и решений, …, однородного уравнения (3.4) коэффициенты, , …,, входящие в общее выражение (3.5) определяются из граничных условий (2.2) и (2.3).

Объем вычислений при численном решении рассматриваемой краевой задачи можно существенно сократить за счет оптимального выбора начальных векторов. Так как начальные значения всех векторов известны, то граничные условия при s = 0 представляют собой три линейных уравнения, связывающие постоянные интегрирования, , …,. Поэтому только три из этих постоянных независимы. Систему линейно независимых начальных векторов выбираем следующим образом:

.

.

.

.(3.6).

При таком выборе начальных векторов решение системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений (3.1) может быть представлено в виде.

.(3.7).

Решение (3.7) удовлетворяет граничным условиям (2.2) при любой комбинации параметров, независимо от значений произвольных постоянных, ,, которые при указанном выборе начальных векторов являются недостающими компонентами начального вектора = .

Из начальных векторов можно составить матрицу начальных условий:

= .(3.8).

Систему дифференциальных уравнений (3.1) можно представить в виде.

(3.9).

где — матрица решений;

, — частные решения однородной системы дифференциальных уравнений (3.4) при начальных условиях, определяемых первыми тремя столбцами начальной матрицы (3.9);

— решение неоднородной системы уравнений (3.1) при начальных условиях, определяемых четвертым столбцом матрицы; ;

— нулевой вектор;

— вектор, определяемый выражением (3.3).

Общее решение (3.7) рассматриваемой краевой задачи можно представить в матричной форме:

(3.10).

• (3.11)
• — вектор постоянных интегрирования.

Постоянные интегрирования, , определяются из граничных условий (2.3) на торце. В соответствии с этими условиям из строк матрицы формируем расширенную матрицу системы линейных алгебраических уравнений, которая служит для определения постоянных интегрирования задачи. Например, для случая жесткого защемления торца (на торце заданы кинематические граничные условия) матрица имеет вид:

(3.12).

где — элементы матрицы .

Система уравнений для определения постоянных интегрирования, , в этом случае имеет следующий вид:

,(3.13).

.

Изложенный метод решения краевой задачи (2.1) — (2.3) приводит к удовлетворительным результатам при относительно небольшом интервале интегрирования, т. е. при относительно небольшой длине оболочки. Точность расчета быстро уменьшается с увеличением интервала интегрирования, и численный расчет по методу начальных параметров оказывается практически невозможным.

Причиной такого явления является тот факт, что среди решений системы однородных дифференциальных уравнений (3.4) имеются компоненты как возрастающие с увеличением независимой переменной s, так и убывающие. При численном расчете, начиная с некоторого значения независимой переменой s, убывающие части становятся настолько малыми по сравнению с возрастающими, что практически из решения исчезают (так как разрядная сетка ЭВМ ограничена). Поэтому решения с одинаковой возрастающей частью (но разной убывающей) становятся при достаточно большом значении аргумента линейно зависимыми. Это приводит к тому, что система алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования из граничных условий (2.3) на торце становится плохо обусловленной, т. е. ее определитель представляет собой малую разность больших чисел.

оболочечный ортогональный прогонка программный.