Построение ПИД-регулятора

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И МЕХАНИКИ КАФЕДРА ТЕХНИЧЕСКОЙ КИБЕРНЕТИКИ И АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Контрольная работа

ТЕМА:

ПОСТРОЕНИЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРА Профессор, доктор технических наук Лозгачев Г. И.

Научный руководитель Лозгачев Г. И.

Выполнил студент 4 курса в/о Анчаков П.Ю.

Воронеж 2013

Содержание

• Введение
• 1. Постановка задачи
• 2. Построение передаточной функции
• 3. Построение области устойчивости
• 4. Подбор коэффициентов для определения наибольшей устойчивости системы
• Выводы
• Список использованных источников

Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор - устройство в цепи обратной связи, используемое в системах автоматического управления для поддержания заданного значения измеряемого параметра.

ПИД-регулятор был изобретен в 1910 г.; позже, в 1942 г., Зиглер и Никольс разработали методику его настройки, а после появления микропроцессоров в 80-х годах развитие ПИД-регуляторов происходит нарастающими темпами.

ПИД-регулятор относится к наиболее распространенному типу регуляторов. Причиной столь высокой популярности является простота построения я промышленного использования, ясность функционирования, пригодность для решения большинства практических задач и низкая стоимость.

Основной задачей данной курсовой работы является практическое использование знаний, полученных в процессе изучения курса, развитие навыков в расчете областей устойчивости ПИД-регулятора и выборе оптимальных параметров регулирования.

Цель работы — построить область устойчивости и подобрать оптимальные параметры для заданного переходного процесса в системе MatLab.

1. Постановка задачи

Необходимо определить, как Y меняется во времени, то есть построить переходный процесс Y (t) —? при Хз =

2. Построение передаточной функции

Запишем зависимость Y от Хз:

После преобразования получим:

Таким образом, передаточная функция имеет вид:

Рассмотрим знаменатель:

Знаменатель D (p) определяет устойчивость линейной системы.

3. Построение области устойчивости

Для определения устойчивости существует несколько критериев:

1) Критерий устойчивости Гурвица

Пусть дано характеристическое уравнение системы вида при а0 > 0.

Гурвиц предложил алгебраический критерий, который основан на построении специальных определителей характеристического уравнения (2), называемых определителями Гурвица. Они составляются по следующим правилам:

по главной диагонали выписывают все коэффициенты от а1 до аn в порядке возрастания индекса;

дополняют столбцы определителя вверх от диагонали коэффициентами с последовательно возрастающими, а вниз — с последовательно убывающими индексами;

на место коэффициентов, индексы которых больше n и меньше 0, ставят нули.

В соответствии с этими правилами, определитель Гурвица n-го порядка имеет вид:

регулятор устойчивость передаточная функция Определители Гурвица более низкого порядка являются диагональными минорами Dn. Например, при n = 3

; ;

Поскольку в последнем столбце определителя Dn стоят нули, за исключением, то Критерий Гурвица формулируется следующим образом:

для того чтобы АСУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительными, и при этом выполнялось условие a0>0.

2) Критерий устойчивости Рауса

Этот критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ.

Критерий Рауса требует несколько меньшего объема вычислений, чем критерий Гурвица и более удобен для программирования на ЭВМ. Для суждения об устойчивости системы по этому критерию необходимо составить таблицу Рауса.

Таблица Рауса

В первой строке таблицы записывают коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четные индексы в порядке их возрастания. Во второй строке таблицы записывают коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания. В последующие строки вписывают коэффициенты, определяемые как

Условия устойчивости Рауса: Чтобы САУ была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, то есть были положительными. Если не все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, то есть САУ неустойчива, число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

В данной работе, поскольку количество коэффициентов мало, удобнее использовать критерий устойчивости Гурвица.

Найдем область устойчивости по критерию Гурвица. Для этого составим из коэффициентов матрицу и потребуем, чтобы ее главные миноры были положительны.

k₃ > 0

k₁k₃ — k₂ > 0

k₂ (k₁k₃ — k₂) > 0

т.к. k₁k₃ — k₂ > 0, то в последнем неравенстве достаточно потребовать, чтобы k₂ > 0. В итоге имеем систему:

k₃ > 0

k₂ > 0

k₁k₃ > k₂

Найдем область устойчивости сначала для двух коэффициентов k₂ и k₃:

Далее будем подбирать k₁ так, чтобы выполнялось неравенство k₁k₃ > k₂.

4. Подбор коэффициентов для определения наибольшей устойчивости системы

Для построения переходного процесса умножим передаточную функцию на Хз

получим

Возьмем для начала k₁ = 3 k₂ = 0,1 k₃ = 2

С помощью системы MatLab разложим нашу дробь на сумму простых дробей.

>> [R, S, K] = RESIDUE (c, d)

R =

0.4998 — 0.3627i

0.4998 + 0.3627i

0.0004

1.0000

S =

0.9830 + 1.4024i

0.9830 — 1.4024i

0.0341

K =

[]

Здесь R — вектор числителей нашей суммы дробей, S — корни полинома в знаменателе.

Теперь получаем оригинал по формуле

с помощью функции

>> y=R (1). * (exp (S (1). *t)) +R (2). * (exp (S (2). *t)) +R (3). * (exp (S (3). *t)) +R (4). * (exp (S (4). *t));

Затем выводим график функции:

>> plot (t, y)

В данном случае мы наблюдаем достаточно большое отклонение (около 0.3) и достаточно длительное (5 сек) время нормализации.

Попробуем увеличить k₂: k₁ = 3 k₂ = 1 k₃ = 2

Видим, что увеличилось отклонение (больше 0.3) и время (около 6 сек).

Увеличиваем остальные коэффициенты: k₁ = 9 k₂ = 1 k₃ = 11

Отклонение и время нормализации заметно уменьшились. Попробуем увеличить k₂

k₁ = 9 k₂ = 2 k₃ = 11

Снова наблюдаем улучшение по всем параметрам. Увеличиваем k₂ еще на 1.

k₁ = 9 k₂ = 3 k₃ = 11

Заметных изменений нет. Значительно увеличиваем k₂

k₁ = 9 k₂ = 9 k₃ = 11

Заметна потеря устойчивости. Для проверки еще увеличим k₂

k₁ = 9 k₂ = 30 k₃ = 11

Видим, что k₂ увеличивать не стоит.

Попытаемся увеличить остальные коэффициенты

k₁ = 17 k₂ = 1 k₃ = 15

Время стабилизации сократилось до 3-х, отклонение — до 0,05. Попробуем увеличить k₂

k₁ = 17 k₂ = 2 k₃ = 15

Видим, что возросло отклонение. Уменьшаем k₂

k₁ = 17 k₂ = 0,1 k₃ = 15

Отклонение и время уменьшились, увеличиваем коэффициенты

k₁ = 30 k₂ = 1 k₃ = 30

Отклонение стало меньше 0.03, что на данный момент является наилучшим результатом. Зная, что k₂ лучше уменьшать, уменьшим его

k₁ = 30 k₂ = 0,1 k₃ = 30

Видим, что отклонение теперь составляет около 0.025, время — около 3.

Это наименьшие результаты, которых нам удалось достичь, поэтому будем считать, что при данных коэффициентах система наиболее устойчива.

Выводы

На примере был исследован ПИД-регулятор. Построена область устойчивости с помощью критерия Гурвица.

Математическая модель реальной системы не выбирается однозначно, это связано с тем, что существуют факторы, влияние которых можно проверить лишь экспериментально. Но она должна как можно полнее отражать свойства оригинала, и оставаться по возможности простой чтобы не усложнять исследования.

Исходя из структурной схемы, я построил передаточную функцию и определила область устойчивости системы.

Подбирая различные коэффициенты из области устойчивости, я выяснил, что система работает наиболее устойчиво при как можно меньшем k₂ и как можно больших k₁ и k₃.

Путем построения графика переходного процесса в системе MatLab мною было выяснено, что система наиболее устойчива при k₁ = 30 k₂ = 0,1 k₃ = 30.

Список использованных источников

1. Курс лекций по ТАУ, Лозгачев Г. И.

2. Теория автоматического управления. Том 1. Линейные системы.

3. Ким Д. П., Москва «ФизМатЛит — 2003»

4. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. пособие для втузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ. — мат. лит., 1989. — 304 с.

5. ПИД-регулятор [статья]: —. — (URL: http://ru. cybernetics. wikia.com/wiki/%D0%9F%D0%98%D0%94-%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80) (дата обращения: 12.06.2012).