Построение экономической модели с использованием симплекс-метода

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методы моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Количественный аспект анализа экономических явлений и процессов всегда занимал большое место в работах классиков отечественной и зарубежной экономики. Например, еще в 1938 г. французский математик Курну в работе «Исследование математических принципов теории богатства» сформулировал «закон спроса». Ф. Кэнэ создал «экономическую таблицу», являющую собой попытку представить в форме математической модели процесс воспроизводства общественного продукта как единого целого.

Математическое моделирование — это теоретико-экспериментальный метод позновательно-созидательной деятельности, метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов — математических моделей. Существующие математические методы и модели позволяют решать задачи даже и большей размерности и учитывать большое число показателей и факторов влияния, а время решения задач значительно сокращается с применением компьютера.

Математические моделирование — наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее оптимального управления организационными системами.

Предмет математического моделирования — системы организационного управления или организации, которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений не всегда согласующихся между собой и могут быть противоположны.

Цель математического моделирования — количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями.

Решение, которое оказывается наиболее выгодным для всей организации называется оптимальным, а решение наиболее выгодное одному или нескольким подразделениям будет субоптимальным.

1 Общая часть

1.1 Основные понятия и принципы моделирования

моделирование математический экономический экспериментальный Модель должна строится так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.

Необходимым условием моделирования является подобие объекта и его модели.

Построенные модели необходимо исследовать и решить. Но прежде введем некоторые понятия.

Операция — всякое мероприятие (система действий), объединенных единым замыслом и направлением к достижению какой-либо цели.

Операция есть всегда управляемое мероприятие, т. е. от нас зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие ее организацию.

Всякий определенный набор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными.

Оптимальными называются решения, по тем или иным признакам предпочтительные перед другими. Иногда в результате исследования можно указать одно единственное строго оптимальное решение, но гораздо чаще выделить область практически равноценных оптимальных решений, в пределах которой может быть сделан выбор.

Параметры, совокупность которых образует решение, называется элементами решения.

В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа, векторы, функции, различные признаки и т. д.

1.2 Классификация экономико-математических методов и моделей

Разработка моделей всегда играла жизненно важную роль в духовной деятельности человечества с тех пор, как оно стало стремиться к пониманию и изменению окружающей среды. Люди всегда использовали концепцию модели, пытаясь представить и выразить с ее помощью абстрактные идеи и реальные объекты.

Модель — это, прежде всего, упрошенное представление реального объекта или явления, сохраняющее его основные, существенные черты. Обычно считается, что модель — это используемый для предсказания и сравнения инструмент, позволяющий логическим путем спрогнозировать последствия альтернативных действий и достаточно уверенно указать, какому из них отдать предпочтение. Хотя такое использование моделей имеет большое значение, оно ни в коей мере не исчерпывает целей моделирования. В определенных рамках модель может служить также эффективным средством общения и осмысления действительности, обучения и тренажа, средством постановки экспериментов, инструментом прогнозирования и управления.

Модели, отвечающие основным требованиям целей исследования экономических систем, отличаются друг от друга существенными признаками. Разные причины для нахождения этих отличий позволяют отнести модель к тому или иному подмножеству, определенные характеристики элементов которого соответствуют друг другу. Этот процесс называется классификацией экономико-математических моделей. Она позволяет упорядочить элементы множества моделей.

Процессы и объекты управления в экономике столь многообразны, что не существует классификации, претендующей на полноту охвата всего множества социально-экономических задач, описываемых различными моделями. Однако это многообразие вызвано диалектикой познания, а не скудостью математических методов.

Следует четко выделять классификационные признаки и рассматривать экономико-математические модели с различных точек зрения. Важно понять, что именно таким образом формируется системный взгляд на любой объект.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории:

· прошлое и настоящее экономических наблюдений и их обработка;

· будущее развитие объектов, включающее данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы).

2. Специальная часть

2.1 Содержательная постановка задачи

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.

1. Найти коэффициенты автокорреляции со смешением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью р = 0.95.

3. Построить коррелограмму.

4. Построить аддитивную (или мультипликативную) временного ряда.

2.2 Существующие методы решения

Характеристики временных рядов. Для более подробного изучения временных рядов используются вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд X (t) рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем). Основными характеристиками X (t) являются математическое ожидание X (t), т. е.

дисперсия X (t), т. е.

и автокорреляционная функция временного ряда X (t)

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда X (t) и X (s).

В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. Выделим сначала стационарные модели. В них совместные функции распределения для любого числа моментов времени k, а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем. В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t — s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными.

Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками. Как видно из сказанного выше, основное — это «очистка» временного ряда от случайных отклонений, т. е. оценивание математического ожидания. В отличие от простейших моделей регрессионного анализа, рассмотренных в главе 3.2, здесь естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными, а те, в которых нет зависимости от времени — гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной «время», но и к другим переменным.)

Проще всего задача оценивания решается для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей оценивания параметров в моделях линейной (по параметрам) регрессии. На случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.

Однако на более общую ситуацию такого простого переноса сделать нельзя. Так, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными. Формулы в терминах матричной алгебры будут отличаться. Поэтому рассматриваемый метод называется «обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)».

2.3 Конкретный метод решения

Коэффициенты автокорреляции со смещением (лагом) на K периодов находятся по формуле:

Функция r (k) называется автокорреляционной функцией, а ее график кореллограммой.

3. Расчетно-графическая часть

3.1 Решение задачи

1.1 Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 3.1.1

Таблица 3.1.1 — Расчеты

1.2 Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 2 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 3.1.2

Таблица 3.1.2 — Расчеты

1.3 Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 3.1.3

Таблица 3.1.3 — Расчеты

1.4 Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 4 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 3.1.4

Таблица 3.1.4 — Расчеты

Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции.

Значимость коэффициентов автокорреляции принято проверять с помощью двух критериев: критерия стандартной ошибки и Q — критерия Бокса — Пирса.

Первый критерий используется ятя проверки значимости отдельного коэффициента автокорреляции. С его помощью удается выявить среди запаздывающих переменных те, которые необходимо включить в модель.

Второй критерий позволяет сделать вывод о значимости всего множества переменных, включаемых в модель.

Суть проверки по первому критерию сводится к построению доверительного интервала для каждого коэффициента автокорреляции по формуле:

где n — число пар наблюдений временного ряда.

Возможность построения такого интервала основана на том, что коэффициенты автокорреляции случайных данных обладают выборочным распределением, приближающемся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением равным. Если рассчитанное значение автокорреляции попадает в этот интервал, то можно сделать вывод, что данные не показывают наличие автокорреляции k — го порядка с 95% уровнем надежности.

Статистика для проверки по Q критерию рассчитывается по формуле где n — объем выборочной совокупности (длина временного ряда);

m — максимальный рассматриваемый лаг.

Статистика Q имеет распределение с m — степенями свободы и поэтому в случае, когда расчетное значение Q превосходит критическое значение с соответствующими степенями свободы, то, в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m, считается значимой.

Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда с помощью критерия стандартной ошибки.

Доверительный интервал для k — го коэффициента автокорреляции исходного временного ряда в соответствии с формулой будет равен:

1) для или, так как объем выборки в этом случае составляет n-1=12−1=11 пар наблюдений;

2) для или, так как объем выборки в этом случае составляет n-2=12−2=10 пар наблюдений;

3) для или, так как объем выборки в этом случае составляет n-3=12−3=9 пар наблюдений;

4) для или, так как объем выборки в этом случае составляет n-4=12−4=8 пар наблюдений;

Рассчитанные значения коэффициентов автокорреляции исходного ряда составляют:

не попадают в соответствующие доверительные интервалы r (2), r (3).

Тогда делаем вывод, что данные наблюдений показывают наличие автокорреляции 2-ого, 3-его порядков.

Проверим значимость всей группы коэффициентов автокорреляции с помощью Q-критерия Бокса-Пирса.

Наблюдаемое значение Q-статистики равно:

Для уровня значимости и числа степеней свободы k= 4 находим по таблице критических точек распределения

Так как-то в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m = 4. Считается значимой.

Построим коррелограмму для исходного временного ряда (см. рисунок 3.1.1)

Рисунок 3.1.1 — График зависимости величины лага от коэффициента автокорреляции Знание автокорреляционной функции может оказать помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической опенки его параметров.

По коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию. Например, параболу второго порядка или экспоненту, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях временного ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка k, исследуемый ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в k моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебании, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Следует отметить, что интерпретация коррелограмм требует определенного навыка и не всегда легко осуществима.

Если при анализе временного ряда установлено, что ряд содержит сезонные или циклические колебания, то при моделировании сезонных колебаний применяют простейший подход — рассчитывают значения сезонной компоненты методом скользящей средней и строят аддитивную или мультипликативную модель временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий: Y=T+S+E.

Такая модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой Т, сезонной S и случайной Е компонент. Общий вид мультипликативной модели может быть представлен формулой

Y=T*S*E.

Данная модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой Т, сезонной S и случайной Е компонент. Выбор одной из двух моделей проводится на основе анализа структуры сезонных колебаний.

Если амплитуда колебании приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие пункты.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T+S) в аддитивной модели или (T*S) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (T+S) или (Т * S) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или (Т * S).

6. Расчет абсолютных или относительных ошибок.

4. Проведем анализ исходного временного ряда по его коррелограмме, по графику наблюдаемых значений временного ряда наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Поэтому во временном ряду возможно существование линейного тренда.

Рисунок 3.1.2 — График зависимости месяцев от стоимости акции

Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядков, свидетельствуют о том, что ряд содержит линейную тенденцию. Высокое значение коэффициента автокорреляции третьего порядка свидетельствует о том, что ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в 3 месяца.

Поскольку амплитуда колебаний приблизительно постоянна, выбираем аддитивную модель временного ряда.

Рассчитаем компоненты выбранной модели.

1) Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого: просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 3 месяца со сдвигом на один месяц и, разделив полученные суммы на 3, найдем скользящее среднее.

2) Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и уровнями скользящей средней. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем среднее за каждый месяц (по всем кварталам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. Для аддитивной модели это выражается в том, что сумма сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна нулю.

Таблица 3.1.5 — Расчет скользящей средней, сезонной компоненты

Таблица 3.1.6 — Расчет данных

Для данной модели получаем:

6,1−3, 86 667−3,4=-0,2 222

Коррелирующий коэффициент определяется по формуле:

Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом :

где i=1,2,3

Проверяем условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты

: 2,55 556−0,94 444−1,111 111=0

Окончательно, для сезонной компоненты получены следующие значения:

за 1 месяц, за 2 месяц, за 3 месяц Полученные данные заносим в таблицу 3.1.6.

3) Элиминируем влияние сезонной компоненты вычитая ее значение из каждого уровня исходного ряда

Таблица 3.1.7 — Расчет коэффициентов

4) Определим трендовую компоненту T данной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T+Е) с помощью линейного тренда. Для удобства переобозначим ряд (T+E) как W:

W=T+E

Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид:

Согласно методу наименьших квадратов параметры модели линейного тренда определяются из системы нормальных уравнений Таблица 3.1.8 — Расчет

Система нормальных уравнений имеет вид:

;

Линейная тенденция временного ряда имеет вид:

5) Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавляем к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

6) Расчет ошибки проводится по формуле:

Для выбора лучшей модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок, которая в нашем случае равна 1,965 442.

Средний уровень исходного временного ряда легко посчитать По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели составляем величину

1 — (1,965 442/120,0767) = 0,984 или 98,4%

Следовательно, можно утверждать, что аддитивная модель объясняет 98.4% обшей вариации уровней временного ряда стоимости акции за последние 12 месяцев.

Если при выборе модели сезонных колебании была выбрана мультипликативная модель, то методика её построения состоит из следующих шагов (на примере модели с периодичностью в 3 месяца):

1) Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 3 месяца со сдвигом на один месяц и, разделив полученные суммы на 3, найдем скользящие средние;

2) Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на уровни скользящей средней (см. таблицу 3.1.9). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем кварталам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. Для мультипликативной модели это выражается в том, что сумма сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле, то есть 3;

Таблица 3.1.9 — Расчет оценки сезонной компоненты

Таблица 3.1.10 — Расчет скоррелированной сезонной компоненты

Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как произведение средней оценки на корректирующий коэффициент :

(см. таблицу № 10)

Проверяется условие равенства трем суммы значений сезонной компоненты т. е. 1,52 815+0,975 751+0,971 434=3

3) Делится каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. При этом в таблицу заносится величина

4) Определим трендовую компоненту Т мультипликативной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (Т * Е) с помощью линейного тренда. Для удобства переобозначнм ряд (Т*Е) как W:

Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид:

Согласно методу наименьших квадратов параметры модели линейного тренда, а и b определяются из системы нормальных уравнений:

Подставив в уравнение значения i =1,2,3,… 12, получим выровненные уровни для каждого момента времени или, в старых обозначениях, уровни (Т*Е).

5) Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели. Для этого умножим уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

6) Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле

E=Y/(T*S).

Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются по формуле E' = y_t — (T*S) Делается в таблице восьмой столбец для величины Е' и девятый столбец для квадрата абсолютной ошибки (Е')². Рассчитаем отклонения уровней исходного ряда от его среднего для каждого месяца (в десятом столбце таблицы).

Рассчитаем сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня (в столбце 11 таблицы № 9).

С помощью величины вычисляется доля объясненной дисперсии уровней ряда, она равна как видно 98,38%.

Таким образом, рассчитанная мультипликативная модель исходного временного ряда с сезонной составляющей (см таблица 3.1.12)

Таблица 3.1.12 — Расчеты

3.2 Блок-схема задачи

Блок-схема решения задачи. Здесь, a, b, c — переменные, которые мы описывали в начале. Далее следует ввод формула D = b² — 4ac. После вывода первоначальной страницы, мы проверяем обратный запрос на истинность. Если запрос истинный, то у нас выполнится определенное действие, если нет, то программа обойдет то действие, которое будет выполнено в случае истинности запроса.

3.3 Решение задачи на компьютере

Решил расчитать коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц. Для этого составил расчетную таблицу 3.3.1:

Таблица 3.3.1 — Расчетная таблица

Результат решения в электронной таблице Excel:

Рисунок 3.3.1 — Таблица расчета коэффициента автокорреляции со смещением на 1 месяц.

Заключение

Я написал курсовую работу по дисциплине: «Моделирование экономических и производственных процессов», которая состоит из 3-х глав: задачи линейного программирования, методы решения задачи моделирования временных рядов, решения задачи моделирования временных рядов методом каррелограмма.

В Главе 1 раскрыл задачи линейного программирования, привел общую постановку задачи, описал целевую функцию и систему ограничений, привел методы решения задач линейного программирования В Главе 2 — привел решение задачи моделирования временного ряда симплексным методом. Получил оптимальное распределение анализа временного ряда, при котором целевая функция получила максимальное значение.

В Главе 3 — привел решение выборки курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев методом каррелограмма. Методом решил задачи моделирования временного ряда, получил оптимальное минимальное решение.

Список используемых источников

1. Акулич И. Л. «Математическое программирование в примерах и задачах», Высшая школа, 1986 г.

2. Воробьев Н. Н. «Теория игр для экономистов — кибернетиков», Наука, 1985 г.

3. Гершгорн А. С. «Математическое программирование и его применение в экономических расчетах», Экономика, 1968 г.

4. Житников С. А., Биржанова З. Н., Аширбекова Б. М. «Экономика-математические методы и модели», Караганда, 1998 г.

5. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. «Математические методы в экономике», 1997 г.

6. Колемаев В. А. «Математическая экономика», 1998 г.

7. Малыхин В. И. «Математическое моделирование экономики», 1998 г.

8. Нусупбеков С. И., Устенова О. Ж. «Математические методы моделирования экономических систем», Алматы, 2002 г.

9. Спирин А. А., Фомин Г. П. «Экономика-математические методы и модели в торговле», 1988 г.

10. Макконнел В. Н., Брю Л. «Экономикс», 1992 г.