Метод расчета показателей надежности при использовании марковских процессов

В основе этого метода расчета надежности лежит описание функционирования энергоблоков марковским процессом с дискретным множеством состояний.

Метод используется в предположении экспоненциальных законов определения времени работы и восстановления i = const, i = const. Рассмотрим методические подходы к оценке надежности энергоблока на примере графа состояний (рис. .1) с двумя состояниями: работоспособным — 1, полного отказа — 2.

Стрелки графа указывают направления возможных изменений состояний. Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется по принципу однородного марковского процесса с интенсивностью (характеристикой является постоянство интенсивностей переходов). Переход из состояния 2 в 1 осуществляется с интенсивностью, так как энергоблок является восстанавливаемым.

Вероятность того, что в момент времени + энергоблок находится в состоянии 1 оценивается следующим алгоритмом. Очевидно, что в состоянии 1 энергоблок по истечении времени + может находится по двум причинам: 1.1 — в момент времени он находился в состоянии 1 и за период не перешел в состояние 2; 1.2 — в момент времени энергоблок находился в состоянии 2 и за период времени перешел в состояние 1.

Вероятность нахождения энергоблока в состоянии 1 по п. 1.1 определяется произведением Р1() на вероятность (1) того, что энергоблок не перешел в состояние 2 за время. Аналогично по п. 1.2 имеем Р2(). Используя правило сложения вероятностей, найдем.

Р1 (+) = Р1()(1) + Р2().

Преобразим это уравнение к виду:

.

При 0 получим:

.

Подобные дифференциальные уравнения называются уравнениями Колмогорова. Очевидно, что подобное уравнение можно составить для каждого состояния графа. При этом граф состояний будет описываться системой дифференциальных уравнений, в которой их количество равно числу состояний на графе.

Для второго состояния энергоблока найдем.

.

При составлении дифференциальных уравнений для каждого из состояний пользуются следующим математическим правилом. Производная вероятности (нахождения элемента в каждом из состояний) по времени равна алгебраической сумме произведений вероятностей состояний (связанных между собой стрелками на графе) на интенсивность переходов, при этом слагаемые берутся со знаком минус, если стрелка выходит из вершины, для которой записывается уравнение, и со знаком плюс, если стрелка входит в вершину графа.

Для решения системы уравнений Колмогорова дополнительно вводится уравнение нормировки.

.

Применительно к графу на рис. .1 можно записать (опуская для простоты записи):

При устанавливается стационарный режим, для которого система уравнений запишется как.

Из решения следует, что.

.

Граф состояний формируется на основе последовательной процедуры преобразования функциональной (технической схемы) энергоблока в структурную схему, на базе которой строится граф достижимых состояний.

Функциональная тепловая схема энергоблока (рис. .2) преобразуется в структурную схему в соответствии с принципом: включаются только те элементы и связи, которые структурно определяют надежность функционирования энергоблока.

По влиянию на надежность элементы функциональной тепловой схемы энергоблока можно разделить на четыре группы:

элементы, отказ которых приводит к полному останову энергоблока (котел, турбина, главные паропроводы);

элементы, отказ которых приводит к уменьшению энергетической производительности (питательные и конденсатные насосы, тягодутьевые машины);

элементы, отказ которых приводит к понижению экономичности энергоблока (регенеративные подогреватели);

элементы системы управления и аварийной защиты.

Отказ котла, турбины, электрогенератора и доаэратора (рис. .2) приводит к останову всего энергоблока. Отказ же питательного насоса уменьшает мощность энергоблока на 50%, а аварийный останов конденсатного насоса снижает мощность на 0%. Степень детализации структурной схемы определяется характером решаемой задачи.

На основе структурной схемы разделяются состояния энергоблока на работоспособные и неработоспособные. Граф включает только достижимые состояния.

Число возможных состояний определяется как.

.

где m — количество элементов структурной схемы, Z — количество однотипных единиц оборудования, составляющих данный сложный элемент (например, 6-й элемент схемы состоит из двух параллельно включенных питательных насосов). В общем случае сложный элемент может состоять из рабочих и резервных однотипных единиц оборудования.

Число достижимых состояний находится как.

.

где m — число сложных элементов в схеме, для которых Zj > zj — максимального количества отказавших единиц оборудования, при котором наступает отказ сложного элемента и как следствие — энергоблока.

Пример .1. Определить коэффициент готовности энергоблока, состоящего из котла и турбогенератора, структурная схема которого приведена на рис. . надежность дифференциальный тепловой энергоблок.

Интенсивности отказов элементов: 1 = 210−4 ч-1; 2 = 110−4 ч-1. Интенсивности восстановлений: 1 = 110−2 ч-1; 2 = 1,2510−2 ч-1.

Структурная схема состоит из двух элементов, m = 2.

Число возможных состояний

,.

так как Z1 = 1, Z2 = 1.

Число достижимых состояний

так как Z1 = z1, Z2 = z2, m = 0 (отсутствуют сложные элементы, для которых Zj > zj).

Достижимые состояния: (0) = (0, 0) — энергоблок работоспособен (котел и турбогенератор находятся в работе); (1) = (1, 0) — энергоблок неработоспособен (котел отказал, турбогенератор работоспособен); (2) = (0, 1) — энергоблок неработоспособен (котел работоспособен, турбогенератор отказал). Состояние () = (1, 1), когда отказали одновременно и котел и турбогенератор, недостижимо, поскольку вероятность одновременного возникновения двух несовместных событий равна нулю (например, если котел отказал, то работоспособный турбогенератор остановлен и не работает, следовательно, не может возникнуть его отказ).

Система уравнений Колмогорова:

Решая систему, например, методом преобразований Лапласа, найдем вероятность работоспособного состояния Р0, которая совпадает с нестационарным значением коэффициента готовности КГ ():

,.

где .

Подставляя значения 1, 2, 1, 2, найдем а1 = -1,2 110−2; а2 = -1,25 810−2.

Из выражения для Р0 следует, что при = 0 Р0 = 1, а при

Результаты расчета по полученной формуле приведены на рис. .4. из рисунка следует, что при > 400 ч КГ () приближается к стационарному значению. При система уравнений Колмогорова:

Решая систему относительно Р0 (по правилу Крамера), найдем:

Подставив в эту формулу исходные данные, получим стационарный коэффициент готовности KГ=Р0=0,972.