Теоретические сведения. 
Моделирование случайных чисел

Основные вероятностные понятия

Случайным опытом или экспериментом называется процесс, при котором возможны различные исходы, так что нельзя заранее предсказать, каков будет результат. Величина X={xi}=x1, x2, …, xn, представляющая собой результат случайного опыта, называется случайной величиной. Непостоянство результата такого опыта может быть связано с наличием случайных ошибок измерений или со статистической природой самой измеряемой величины (например, процесс распада радиоактивного вещества). Будем обозначать отдельные значения, которые принимает случайная величина (не обязательно численные), как xi, где i = 1, 2, …, n. Любая функция от xi будет также случайной величиной.

Под моделированием случайной величины Х принято понимать процесс получения на ЭВМ её выборочных значений x1, …, xn.

На практике используются три основных способа генерации случайных чисел:

• — табличный (файловый) — ввод таблиц равномерно распределённых случайных чисел во внешнюю или оперативную память ЭВМ;
• — аппаратный (физический) — использование специального приспособления к ЭВМ — «датчика» случайных чисел, формирующего случайные величины путём физического моделирования некоторых случайных процессов (излучения радиоактивных источников, шумов электронных ламп и др.);
• — алгоритмический (программный) — использование псевдослучайных (квазислучайных) последовательностей, реализуемых программным генератором случайных чисел. Псевдослучайными числами называются числа, вырабатываемые ЭВМ рекуррентным способом по специальным алгоритмам, когда каждое последующее число xi получается из предыдущих в результате применения некоторых арифметических и логических операций. Такая последовательность чисел удовлетворяет известным критериям случайности, хотя входящие в эту последовательность числа зависимы между собой. Одним из недостатков этого метода является периодичность образованных программным способом псевдослучайных чисел, но для ряда задач, не требующих большого количества случайных чисел, длина периода является достаточной.

Первый способ. При решении задачи без применения ЭВМ чаще всего используют таблицы случайных чисел. Таблицы получают с помощью специальных приборов (типа рулетки) и заносят в память ЭВМ, используются по мере необходимости.

В таблицах случайных чисел случайные цифры имитируют значения дискретной случайной величины с равномерным распределением:

При составлении таких таблиц выполняется требование, чтобы каждая из этих цифр от 0; 1; …; 9 встречалась примерно одинаково часто и независимо от других с вероятностью pi = 0,1.

Самая большая из опубликованных таблиц случайных чисел содержит 1 000 000 цифр. Таблицы случайных чисел составить не так просто. Они требуют тщательной проверки с помощью специальных статистических тестов.

Основной недостаток? необходимость в памяти достаточно большой емкости, затрудняющий решение «больших» задач, тем более что преимущество «случайных» таблиц перед «псевдослучайными» числами, получаемыми алгоритмически, никем не было доказано.

Во втором способе используются аппаратные датчики, основанные на некоторых физических процессах, случайных по своей природе (шумы в электронных и полупроводниковых приборах, процессы при радиоактивном распаде и т. п.).

Или же при решении задач на ЭВМ для выработки случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;1), могут применяться генераторы случайных чисел. Данные генераторы преобразуют результаты случайного физического процесса в двоичные числа. В качестве случайного физического процесса обычно используют собственные шумы (случайным образом меняющееся напряжение).

Основные недостатки? невозможность повторного получения одной и той же последовательности случайных величин для проверочных расчетов и невозможность гарантировать постоянную надежную работу датчика.

Третий способ. Получение псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения заключается в выработке псевдослучайных чисел. Псевдослучайные числа — это числа, полученные по какой-либо формуле и имитирующие значения случайной величины. Под словом «имитирующие» подразумевается, что эти числа удовлетворяют ряду тестов так, как если бы они были значениями этой случайной величины.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел предложил Дж. Нейман. Это так называемый метод середины квадратов, который заключается в следующем:

и т.д.

Метод средин квадратов фон Неймана является сравнительно бедным источником случайных чисел, т.к. последовательность стремится войти в привычную колею, т. е. короткий цикл повторяющихся элементов.

Назовем достоинства метода псевдослучайных чисел.

• 1. На получение каждого случайного числа затрачивается несколько простых операций, так что скорость генерирования случайных чисел имеет тот же порядок, что и скорость работы ЭВМ.
• 2. Малый объем памяти ЭВМ для программирования.
• 3. Любое из чисел легко воспроизвести.
• 4. Качество генерируемых случайных чисел достаточно проверить один раз.

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные, одномерные (зависящие от одной переменной) или многомерные (зависящие от двух и более переменных).

Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

Полной характеристикой случайной величины X с вероятностной точки зрения является ее закон распределения, т. е. заданная в той или иной форме связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Универсальной формой закона распределения (непрерывных и дискретных величин) является функция распределения вероятностей? это такая функция F (x), значение которой в точке x равно вероятности (P) того, что при проведении опыта значение случайной величины X окажется меньше, чем x:

F (x) = P (X < x).

Основные свойства функции распределения вероятностей следующие:

• 1) числовые значения заключены в пределах 0? F (x)? 1;
• 2) если x1? x2, то F (x1)? F (x2), т. е. F (x)? неубывающая функция;
• 3) F (x) > 0 при x > ??, F (x) > 1 при x > ?.

Рисунок 1 — Графическое изображение функции распределения вероятностей Если случайная величина дискретна, то ее функция распределения представляет собой ступенчатую функцию (рисунок 1, a), а у непрерывных случайных величин функция распределения также непрерывна (рисунок 1, b).

Функцию распределения вероятностей F (x) непрерывной случайной величины можно представить в виде интеграла от некоторой неотрицательной функции f (x):

.

Функция f (x) называется плотностью распределения вероятности. Основные свойства плотности вероятности таковы:

• 1) ;
• 2)
• 3) плотность вероятности пропорциональна вероятности события (x? X? x + dx).

Кроме закона распределения, случайную величину характеризуют значениями некоторых параметров, определяющих наиболее существенные особенности ее распределения. Наиболее часто используемыми параметрами распределения являются математическое ожидание или среднее значение случайной величины, а также дисперсия случайной величины.