Классификация поверхностей. 
Классификация поверхностей

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Поверхностью называют множество последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности.

Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим, представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим.

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и не линейчатыми или криволинейными, например сфера.

Поверхности классифицируются по многим признакам.

Некоторые из них:

• 1) Кривизна: каждому направлению поверхности от заданной точки соответствует своя форма сечения, которая и определяет кривизну;
• 2) Наличие касательной к поверхности: обычно касательная к поверхности — это плоскость. В некоторых случая через одну точку поверхности можно провести сколь угодно много касательных. Наличие касательной у какой-либо поверхности влияет на ее гладкость;
• 3) Метрика и внутренняя геометрия;
• 4) Нормаль: за нормаль к поверхности принимают единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке. Существует так же нормальное сечение;
• 5) Геодезические линии: кривая на поверхности называется геодезической линией, если во всех её точках главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности;
• 6) Площадь: площадь в общем смысле — это числовая характеристика. Существуют поверхности с бесконечной площадью, например параболоид;
• 7) Ориентация: ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Поверхности вращения кривых первого порядка.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой — оси i (рис. 1, а).

Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 1, б).

Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 1, в). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному меридиану f, точка В — экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h'.

Рис. 1:

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности.

Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 2, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 2, б). Открытый тор называется еще кольцом.

Рис. 2:

Поверхности вращения кривых второго порядка.

Эллипсоид — образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей (рис. 3, а).

Параболоид — вращением параболы вокруг ее оси (рис. 3, б).

Гиперболоид однополостный (рис. 3, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 3, г) — вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Поверхности Каталана.

Геликоид — линейчатая винтовая поверхность.

Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей i по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси i;при этом образующая l пересекает винтовую ось под прямым углом (рис. 4, а). Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также силовых резьбах, в станках. Наклонный геликоид образуется движением образующей по винтовой направляющей т и ее оси i так, что образующая l пересекает ось i под постоянным углом ф, отличным от прямого, т. е., в любом положении образующая l параллельна одной из образующих направляющего конуса с углом при вершине, равным 2ф (рис. 4, б). Наклонные геликоиды ограничивают поверхности витков резьбы.

Рис. 3:

Коноид — линейчатая поверхность, у которой образующие пересекают фиксированную прямую — ось коноида.

Если все образующие коноида перпендикулярны его оси, то такой коноид называют правильным.

Прямым коноидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум направляющим, одна из которых — кривая.

А вторая — прямая, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма.

Рис. 4:

Коноид, направляющими которого являются кривая m (m1, m2) и прямая n (n1, n2), а плоскостью параллелизма — плоскость (1) П1, изображен на рис. 5.

Цилиндроид — линейчатая поверхность третьего порядка (рис. 6).

Прямым цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум криволинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой заданной плоскости.

Рис. 5:

Эта плоскость называется плоскостью параллелизма.

Рис. 6:

Торсовые поверхности.

Торс — поверхность, образованная прямолинейной образующей l.

Поверхность, касающаяся при своем движении во всех своих положениях некоторой пространственной кривой m, называемой ребром возврата.

Рис. 7:

Гранные поверхности.

К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность, если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность.

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками.

Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и конгруэнтные многоугольники.

А многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например: гексаэдр — куб, тетраэдр — правильный четырехугольник октаэдр — многогранник.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S. На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек.

инженерный тор гранный Рис. 8:

Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей.

Рис. 9:

• 1. Учебник: Инженерная графика, автор: А. И. Лагерь.
• 2. Сайт: Википедия — свободная энциклопедия.